Рейтинг:   / 36
ПлохоОтлично 

Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство эллипса и гиперболы. 

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

 

Эллипс.

Эллипс с каноническим уравнением $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a\geq b>0,$ имеет форму изображенную на рисунке.

Параметры $a$ и $b$ называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно). Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0), $ $B_1(0, -b), $ и $B_2(0, b), $ его вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ - главными осями а центр симметрии $O -$ центром эллипса.

Точки $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt{a^2-b^2}\geq 0,$ называются фокусами эллипса векторы $\overline{F_1M}$ и $\overline{F_2M} -$ фокальными радиус-векторами,  а числа $r_1=|\overline{F_1M}|$ и $r_2=|\overline{F_2M}| -$ фокальными радиусами точки $M,$ принадлежащей эллипсу. В частном случае $a=b$ фокусы $F_1$ и $F_2$ совпадают с центром, а каноническое уравнение имеет вид $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1,$ или $x^2+y^2=a^2,$ т.е. описывает окружность радиуса $a$ с центром в начале координат. 

Число $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} \,\, (0\leq e<1)$ называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его "сплюснутости" (при $e=0$ эллипс является окружностью.)

Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами эллипса.

Теорема. (Директориальное свойство эллипса)

Эллипс является множеством точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно и равно $e.$

Примеры.

2.246. Построить эллипс $9x^2+25y^2=225.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет;  г) уравнения директрис.

Решение.

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:

$$ 9x^2+25y^2=225 |:225\Rightarrow\frac{9x^2}{225}+\frac{25y^2}{225}=1\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\Rightarrow\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1.$$

а) Находим полуоси $a=5,$ $b=3.$

б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt{a^2-b^2}:$

$c=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\Rightarrow F_1(-4, 0),\qquad F_2(4, 0).$

в) Эксцентриситет $e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}.$

г) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$


 $D_1: x=-\frac{5}{4/5}=-\frac{25}{4}$ и $D_2: x=\frac{5}{4/5}=\frac{25}{4}.$

Сделаем рисунок:

Ответ: а)  $a=5,$ $b=3;$ б) $ F_1(-4, 0),\qquad F_2(4, 0);$ в) $e=\frac{4}{5};$ г) $D_1: x=-\frac{25}{4}$ и $D_2: x=\frac{25}{4}.$

  

2.249 (a). Установить, что уравнение $5x^2+9y^2-30x+18y+9=0$ определяет эллипс, найти его центр $C,$ полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.

Решение.

 Приведем уравнение эллипса к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты: 

$$5x^2+9y^2-30x+18y+9=(5x^2-30x)+(9y^2+18y)+9=$$

$$5(x^2+6x+9-9)+9(y^2+2y+1-1)+9=5(x+3)^2-45+9(y+1)^2-9+9=$$

$$5(x+3)^2+9(y+1)^2-45=0\Rightarrow5(x+3)^2+9(y+1)^2=45|:45\Rightarrow$$

$$ \frac{(x+3)^2}{9}+\frac{(y+1)^2}{5}=1\Rightarrow\frac{(x+3)^2}{3^2}+\frac{(y+1)^2}{(\sqrt 5)^2}=1.$$

Это уравнение эллипса. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$ полуоси $a=3,$ $b=\sqrt 5.$

$c=\sqrt{a^2-b^2}\Rightarrow c=\sqrt{9-5}=\sqrt 4=2\Rightarrow e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}.$

Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

 $D_1: x=-\frac{3}{2/3}=-\frac{9}{2} $ и $D_2: x=\frac{3}{2/3}=\frac{9}{2}.$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$

$$D_1: x=3-\frac{9}{2}=\frac{6-9}{2}=-\frac{3}{2}\Rightarrow 2x+3=0 $$  $$D_2: x=3+\frac{9}{2}=\frac{6+9}{2}=\frac{15}{2}\Rightarrow2x-15=0.$$

Ответ: $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$  $a=3,$ $b=\sqrt 5;$ $ e=\frac{2}{3}.$ $D_1:2x+3=0, $ $D_2: 2x-15=0.$

 

2.252. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осми, проходят через точки $M_1(2, \sqrt 3)$ и $M_2(0, 2).$ Написать его уравнение, найти фокальные радиусы точки $M_1$ и расстояния этой точки до директрис.

Решение.

Поскольку оси эллипса совпадают с координатными осями, то центр эллипса совпадает с началом координат. Следовательно, из того, что точка $(0, 2)$ принадлежит эллипсу, можно сделать вывод, что $b=2.$

Далее, чтобы найти $a,$ подставим найденное значение $b$ и координаты точки $M_1(2, \sqrt 3)$ в каноническое уравнение эллипса $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1:$

$$\frac{2^2}{a^2}+\frac{(\sqrt 3)^2}{2^2}=1\Rightarrow \frac{4}{a^2}+\frac{3}{4}=1\Rightarrow \frac{4}{a^2}=\frac{1}{4}\Rightarrow a^2=16\Rightarrow a=4.$$

Таким образом, уравнение эллипса $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1.$

Далее найдем координаты фокусов:

$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt 3\Rightarrow F_1(-2\sqrt 3, 0),\,\,\, F_2(2\sqrt 3, 0).$

Отсюда находим $\overline {F_1M_1}=(2+2\sqrt 3, \sqrt 3),$ $\overline{F_2M_1}=(2-2\sqrt 3, \sqrt 3).$ 

Соответственно, $r_1=|\overline {F_1M_1}|=\sqrt{(2+2\sqrt 3)^2+ (\sqrt 3)^2}=\sqrt{4+8\sqrt 3+12+3}=$ $=\sqrt{16+8\sqrt 3+3}=\sqrt{(4+\sqrt 3)^2}=4+\sqrt 3,$

$r_2=|\overline {F_2M_1}|=\sqrt{(2-2\sqrt 3)^2+ (\sqrt 3)^2}=\sqrt{4-8\sqrt 3+12+3}=$ $=\sqrt{16-8\sqrt 3+3}=\sqrt{(4-\sqrt 3)^2}=4-\sqrt 3.$

Чтобы найти расстояния от точки $M_1$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

$e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt 3}{4}=\frac{\sqrt 3}{2};$

$D_1: x=-\frac{4}{\frac{\sqrt 3}{2}}=-\frac{8}{\sqrt 3}\Rightarrow \sqrt 3 x+8=0;$

$D_2: x=\frac{4}{\frac{\sqrt 3}{2}}=\frac{8}{\sqrt 3}\Rightarrow \sqrt 3 x-8=0.$

Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=\left|\frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|.$$

Таким образом, расстояние от точки $M_1(2, \sqrt 3)$ до прямой $D_1: \sqrt 3 x+8=0$

$$d_1=\left|\frac{2\sqrt 3+8}{\sqrt{(\sqrt 3)^2}}\right|=\frac{2\sqrt 3+8}{\sqrt 3};$$

расстояние от точки $M_1(2, \sqrt 3)$ до прямой $D_2: \sqrt 3 x-8=0$

$$d_2=\left|\frac{2\sqrt 3-8}{\sqrt{(\sqrt 3)^2}}\right|=\frac{8-2\sqrt 3}{\sqrt 3}.$$

Ответ: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1,$ $r_1=4+\sqrt 3,$ $r_2=4-\sqrt 3,$ $d_1=\frac{8+2\sqrt 3}{\sqrt 3},$ $d_2=\frac{8-2\sqrt 3}{\sqrt 3}.$

 

Гипербола.

Гипербола с каноническим уравнением $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1, a,b>0,$ имеет форму изображенную на рисунке.

Параметры $a$ и $b$ называются полуосями гиперболы. Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0) - $ ее вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ - действительной и мнимой осями а центр симметрии $O -$ центром гиперболы.

Прямые $y=\pm\frac{b}{a}x$ являются асимптотами гиперболы.

Точки $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt{a^2+b^2}\geq 0,$ называются фокусами гиперболы, векторы $\overline{F_1M}$ и $\overline{F_2M} -$ фокальными радиус-векторами,  а числа $r_1=|\overline{F_1M}|$ и $r_2=|\overline{F_2M}| -$ фокальными радиусами точки $M,$ принадлежащей гиперболе. 

Число $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} \,\, (1<e<+\infty)$ называется эксцентриситетом гиперболы и является мерой ее "сплюснутости". В частном случае $a=b$ гипербола называется равносторонней; ее эксцентриситет равен $e=\sqrt{2},$ а угол между асимптотами равен $\pi/2.$

Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2:x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами гиперболы. 

Теорема. (Директориальное свойство гиперболы).

Гипербола является геометрическим местом точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно и равно $e.$

 

Примеры.

2.265. Построить гиперболу $16x^2-9y^2=144.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет;  г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.

Решение.

Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:

$$ 16x^2-9y^2=144 |:144\Rightarrow\frac{16x^2}{144}-\frac{9y^2}{144}=1\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\Rightarrow\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{4^2}=1.$$

а) Находим полуоси $a=3,$ $b=4.$

б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt{a^2+b^2}:$

$c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\Rightarrow F_1(-5, 0),\qquad F_2(5, 0).$

в) Эксцентриситет $e=\frac{c}{a}=\frac{5}{3}.$

г) Асимптоты гиперболы находим по формулам $y=\pm\frac{b}{a}x:$ 

$$y=\pm\frac{4}{3}x.$$

д) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

 $D_1: x=-\frac{3}{5/3}=-\frac{9}{5}$ и $D_2: x=\frac{3}{5/3}=\frac{9}{5}.$

Сделаем рисунок:

Ответ: а)  $a=3,$ $b=4;$ б) $ F_1(-5, 0),\qquad F_2(5, 0);$ в) $e=\frac{5}{3};$ г) $y=\pm\frac{4}{3}x;$ д$D_1: x=-\frac{9}{5}$ и $D_2: x=\frac{9}{5}.$

 

2.269 (a). Установить, что уравнение $16x^2-9y^2-64x-54y-161=0$ определяет гиперболу, найти ее центр $C,$ полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис.

Решение.

 Приведем заданное уравнение к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты: 

$$16x^2-9y^2-64x-54y-161=(16x^2-64x)-(9y^2+54y)-161=$$

$$16(x^2-4x+4-4)-9(y^2+6y+9-9)-161=16(x-2)^2-64-9(y+3)^2+81-161=$$

$$16(x-2)^2-9(y+3)^2-144=0\Rightarrow16(x-2)^2-9(y+3)^2=144|:144\Rightarrow$$

$$ \frac{(x-2)^2}{9}-\frac{(y+3)^2}{16}=1\Rightarrow\frac{(x-2)^2}{9}-\frac{(y+3)^2}{16}=1.$$

Это уравнение гиперболы. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(2,-3);$ полуоси $a=3,$ $b=4.$

$c=\sqrt{a^2+b^2}\Rightarrow c=\sqrt{9+16}=\sqrt {25}=5\Rightarrow e=\frac{c}{a}=\frac{5}{3}.$

 

Асимптоты гиперболы c центром в начале координат, находим по формулам $y=\pm\frac{b}{a}x,$ а с центром в точке $C=(x_0, y_0) -$ по формуле $y-y_0=\pm\frac{b}{a}(x-x_0),$

 $$y+3=\frac{4}{3}(x-2)\Rightarrow 3y+9=4x-8\Rightarrow 4x-3y-17=0.$$

 $$y+3=-\frac{4}{3}(x-2)\Rightarrow 3y+9=-4x+8\Rightarrow 4x+3y+1=0.$$

 

Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

 $D_1: x=-\frac{3}{5/3}=-\frac{9}{5} $ и $D_2: x=\frac{3}{5/3}=\frac{9}{5}.$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$

 $$D_1: x=2-\frac{9}{5}=\frac{10-9}{5}=\frac{1}{5}\Rightarrow 5x-1=0 $$  

$$D_2: x=2+\frac{9}{5}=\frac{10+9}{5}=\frac{19}{5}\Rightarrow 5x-19=0 $$

Ответ: $C=(2, -3);$  $a=3,$ $b=4;$ $ e=\frac{5}{3},$ $4x-3y-17=0,$ $4x+3y+1=0,$ $D_1:5x-1=0, $ $D_2: 5x-19=0.$

 

2.272. Убедившись, что точка $M(-5, 9/4)$ лежит на гиперболе $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1,$ найти фокальные радиусы этой точки и расстояния этой точки до директрис.

Решение. 

Проверим, что заданная точка лежит на гиперболе:

$$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\Rightarrow \frac{(-5)^2}{16}-\frac{(9/4)^2}{9}=\frac{25}{16}-\frac{81}{16\cdot 9}=\frac{25\cdot 9-81}{144}=\frac{144}{144}=1.$$

Следовательно, точка $M(-5, 9/4)$ лежит на гиперболе $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1.$

Для того, чтобы найти фокальные радиусы, найдем фокусы гиперболы:

$c=\sqrt{a^2+b^2}\Rightarrow c=\sqrt{16+9}=\sqrt {25}=5$ Следовательно, фокусы имеют координаты $F_1(-5, 0), F_2(5, 0).$

Фокальные радиусы точки, можно найти по формулам $r_1=|\overline{F_1M}|$ и $r_2=|\overline{F_2M}|.$ 

$$\overline{F_1M}=(-5-(-5), 9/4)=(0, 9/4)\Rightarrow |\overline{F_1M}=\sqrt{(9/4)^2}|=9/4.$$

$$\overline{F_2M}=(-5-5, 9/4)=(-10, 9/4)\Rightarrow |\overline{F_1M}=\sqrt{10^2+(9/4)^2}|=$$ $$=\sqrt{100+81/16}=\sqrt\frac{1681}{16}=\frac{41}{4}.$$

Чтобы найти расстояния от точки $M$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

$e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4};$

$D_1: x=-\frac{4}{5/4}\Rightarrow x=-\frac{16}{5}\Rightarrow 5x+16=0;$

$D_2: x=\frac{4}{5/4}\Rightarrow x=\frac{16}{5}\Rightarrow 5x-16=0;$

Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=\left|\frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|.$$

Таким образом, расстояние от точки $M(5, 9/4)$ до прямой $D_1: \sqrt 5x+16=0$

$$d_1=\left|\frac{5\cdot 5+16}{\sqrt{5^2}}\right|=\frac{41}{5};$$

расстояние от точки $M(5, 9/4)$ до прямой $D_2: \sqrt 5x-16=0$

$$d_2=\left|\frac{5\cdot 5-16}{\sqrt{5^2}}\right|=\frac{9}{5}.$$

Ответ: $r_1=9/4,$ $r_2=\frac{41}{4};$ $d_1=\frac{41}{5};$ $d_2=\frac{9}{5}.$ 

 

2.273. Найти точки гиперболы $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1,$ находящиеся на расстоянии $7$ от фокуса $F_1.$

Решение.

Из уравнения гиперболы находим полуоси: $a=3, \, b=4.$ Следовательно, $c=\sqrt{a^2+b^2}\Rightarrow c=\sqrt{9+16}=\sqrt {25}=5.$

Отсюда находим $F_1=(-5, 0).$

Геометрическое место точек, расположенных на расстоянии $7$ от фокуса $F_1,$ это окружность с центром в точке $F_1=(-5, 0)$ и радиусом $r=7:$

$$(x+5)^2+y^2=7^2.$$

Чтобы найти точки гиперболы $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1,$ находящиеся на расстоянии $7$ от фокуса $F_1,$ решим систему уравнений

$$\left\{\begin{array}{lcl}\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\\(x+5)^2+y^2=7^2\end{array}\right.$$ 

$$\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\\y^2=7^2-(x+5)^2\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}\frac{x^2}{9}-\frac{7^2-(x+5)^2}{16}=1\\y^2=7^2-(x+5)^2\end{array}\right.$$ 

$$\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}16x^2-9(49-x^2-10x-25)=144\\y^2=7^2-(x+5)^2\end{array}\right.\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}16x^2-216+9x^2+90x=144\\y^2=7^2-(x+5)^2\end{array}\right.\Rightarrow$$ 

$$\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}25x^2+90x-360=0\\y^2=7^2-(x+5)^2\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}5x^2+18x-72=0\\y^2=7^2-(x+5)^2\end{array}\right.$$

Решим уравнение $5x^2+18x-72=0:$

$D=18^2+4\cdot5\cdot72=324+1440=1764=42^2.$

$x_1=\frac{-18+42}{10}=\frac{24}{10}=2,4;$   $x_2=\frac{-18-42}{10}=-6.$

Находим соответствующие координаты $y:$ $y_1=\pm\sqrt{24-2,4^2-10\cdot 2,4}=\sqrt{-5,76}$ - нет корней.  

$y_2=\pm\sqrt{24-6^2+10\cdot5}=\pm4\sqrt{3}.$

Ответ: $(-6, \pm4\sqrt 3).$

 

Парабола.

Парабола с каноническим уравнением $y^2=2px, p>0,$ имеет форму изображенную на рисунке.

Число $p$ называется параметром параболы. Точка $O -$ ее вершиной, а ось $Ox$   - осью параболы.

Точка $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ называется фокусом параболы, вектор $\overline{FM} -$  фокальным радиус-векторам,  а число $r=|\overline{FM}| -$  фокальным радиусом точки $M,$ принадлежащей параболе. 

Прямая $D: x=-p/2$ перпендикулярная оси и проходящая на расстоянии $p/2$ от вершины параболы, называется ее директрисой. 

 

Примеры.

2.285 (а). Построить параболу $y^2=6x$ и найти ее параметры.

Решение.

Параметр $p$ параболы можно найти из канонического уравнения $y^2=2px: $

$$y^2=6x\Rightarrow y^2=2\cdot 3x\Rightarrow p=2.$$

Сделаем рисунок:

Ответ: $p=3.$

  

2.286 (а). Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси $Ox$ и $p=1/2.$

Решение.

Поскольку парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси $Ox,$ то уравнение параболы будет иметь вид $y^2=-2px.$ Подставляя заданное значение параметра, находим уравнение параболы:

$$y^2=-2\cdot\frac{1}{2}x=-x.$$

Ответ: $y^2=-x.$

 

2.288 (а). Установить, что уравнение $y^2=4x-8$ определяет параболу, найти координаты ее вершины $A$ и величину параметра $p.$

Решение.

Уравнение параболы, центр которой сдвинут в точку  $(x_0, y_0),$ имеет вид $(y-y_0)^2=2p(x-x_0)^2.$ 

Приведем заданное уравнние к такому виду:

$y^2=4(x-2).$

Таким образом, $y^2=4(x^2-2)$ - парабола с центром в точке $(0, 2).$ Параметр $p=2.$

Ответ: $C(0, 2),$ $p=2.$  

 

2.290. Вычислить фокальный параметр точки $M$ параболы $y^2=12x,$ если $y(M)=6.$

Решение.

Чтобы найти фокальный параметр точки $M,$ найдем ее координаты. Для этого подставим в уравнение параболы координату $y:$ $$6^2=12x\Rightarrow 36=12x\Rightarrow x=3.$$ 

Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(3, 6).$

Из уравнения параболы $y^2=12x$ находим параметр параболы: $y^2=2\cdot 6x\Rightarrow p=6.$ Следовательно фокус параболы имеет координаты $F(3, 0).$

Далее находим фокальный параметр точки:

$r=|FM|=\sqrt{(3-3)^2+(6-0)^2}=6.$

Ответ: $6.$

 

2.298. Из фокуса параболы $y^2=12x$ под острым углом $\alpha$ к оси $Ox$ направлен луч света,  причем $tg\alpha=\frac{3}{4}.$ Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы.

Решение.

Найдем координаты фокуса. Из канонического уравнения параболы $y^2=2px$ находим параметр: $y^2=12x=2\cdot 6x\Rightarrow p=6.$

Координаты фокуса $F(p/2, 0)\Rightarrow F(3,0).$

Далее находим уравнение прямой, которая проходит через точку $(3, 0)$ под углом $\alpha: tg\alpha=\frac{3}{4}$ к оси $OX.$ Уравнение ищем в виде $y=kx+b,$ где $k=tg\alpha=\frac{3}{4}.$

$y=\frac{3}{4}x+b$

Чтобы найти $b,$ в уравнение прямой подставим координаты точки $(3, 0):$

$0=\frac{3}{4}\cdot 3+b\Rightarrow b=-\frac{9}{4}.$ Таким образом, уравнение луча, направленного из фокуса $y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}.$

Далее, найдем точку пересечения найденной прямой с параболой:

$$\left\{\begin{array}{lcl}y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}\\y^2=12x\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}3x-4y-9=0\\x=\frac{y^2}{12}\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}\frac{3y^2}{12}-4y-9=0\\x=\frac{y^2}{12}\end{array}\right.\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{array}{lcl}y^2-16y-36=0\\x=\frac{y^2}{12}\end{array}\right.$$

$$y^2-16y-36=0$$

$$D=256+4\cdot1\cdot36=256+144=400.$$

$$y_1=\frac{16+20}{2}=18\qquad y_2=\frac{16-20}{2}=-2.$$

Поскольку по условию луч падает под острым углом, то мы рассматриваем только положительную координату $y=18.$ Соответствующее значение $x=\frac{18^2}{12}=\frac{324}{12}=27.$

Таким образом, луч пересекает параболу в точке $(27, 18).$

Далее найдем уравнение касательной к параболе в найденной точке $(27, 18)$ по  формуле $(y-y_0)=y'(x_0)(x-x_0):$

$$y=\sqrt{12x}\Rightarrow y'=\sqrt {12}\frac{1}{2\sqrt x}=\frac{\sqrt 3}{\sqrt{x}}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow y'(27)=\frac{\sqrt 3}{\sqrt{ 27}}=\frac{1}{3}.$$

$$y(27)=18.$$

Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:

$y-18=\frac{1}{3}(x-27)\Rightarrow 3y-54=x-27\Rightarrow x-3y+27=0.$

Далее, найдем угол $\beta$ между лучем $y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}$  и касательной $x-3y+27=0.$ Для этого оба уравнения запишем в виде $y=k_1x+b_1$  и $y=k_2+b_2$ угол вычислим по формуле $tg(L_1, L_2)=\frac{k_1-k_2}{1+k_1\cdot k_2}$

$$L_1: y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}\Rightarrow k_1=\frac{3}{4};$$

$$L_2: x-3y+27=0\Rightarrow y=\frac{1}{3}x+9\Rightarrow k_2=\frac{1}{3}.$$

$$tg \beta=tg(L_1, L_2)=\frac{\frac{3}{4}-\frac{1}{3}}{1+\frac{3}{4}\frac{1}{3}}=\frac{\frac{5}{12}}{\frac{5}{4}}=\frac{1}{3}.$$

Легко увидеть, что угол между лучем $L_1,$ направленным из фокуса и его отражением равен $\pi-2\beta,$ а угол между отраженным лучем и осью $Ox$ $\pi-(\pi-2\beta)-\alpha=2\beta-\alpha.$ 

Зная $tg\beta=\frac{1}{3}$ и $tg\alpha=k_1=\frac{3}{4}$ и вспоминая формулы для двойного угла тангенса и тангенс разности, находим $tg(2\beta-\alpha):$

$$tg 2\beta=\frac{2tg\beta}{1-tg^2\beta}=\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}}=\frac{3}{4}.$$

$$tg(2\beta-\alpha)=\frac{tg2\beta-tg\alpha}{1+tg2\beta tg\alpha}=\frac{\frac{3}{4}-\frac{3}{4}}{1+\frac{3}{4}\frac{3}{4}}=0.$$ Следовательно, прямая, содержащая отраженный луч параллельна оси $Ox.$ Так как она проходит через точку $(27, 18),$ то можно записать ее уравнение $y=18.$

Ответ: $y=18.$ 

 

 

 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить