Рейтинг:   / 9
ПлохоОтлично 

Уравнение эллипса, гиперболы, параболы в полярной системе координат.

 

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Пример.

Пусть $\Gamma -$ эллипс, ветвь гиперболы или парабола, $F -$ фокус этой кривой, $D -$ соответствующая директриса. Вывести уравнение кривой $\Gamma$ в полярной системе координат, полюс которой совпадает с фокусом а полярная ось сонаправлена с осью кривой (см  рисунок 1).

Решение.

Общее свойство эллипса, гиперболы и параболы состоит в следующем $$M\in\Gamma\Leftrightarrow\frac{\rho(M, F)}{\rho(M, D)}=const=e,\qquad\qquad (1)$$где $e -$ эксцентриситет кривой ( $e<1$ для эллипса, $e>1$ для гиперболы и $e=1$ для параболы)

Обозначим расстояние от фокусы до директрисы через $\frac{p}{e}$( $p-$ параметр кривой, называемый полуфокальным параметром). Тогда из рисунка 1 следует, что $\rho(M, F)=r$ и $\rho(M, D)=\frac{p}{e}+r\cos\varphi.$ Подставляя эти выражения в (1), получаем $$\frac{r}{\frac{p}{e}+r\cos\varphi}=e,$$ откуда $$r=\frac{p}{1-e\cos\varphi}.\qquad\qquad (2)$$ Уравнение (2) и есть искомое уравнение в полярной системе координат, общее для эллипса, гиперболы и параболы.

Примеры.

2.321(а).

Для эллипса $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ написать полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится в левом фокусе. 

Решение.

Найдем эксцентриситет параболы и параметр $p:$

$a=5,$ $b=4,$ $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-16}=3.$

$e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}.$

Расстояние от фокуса до директрисы $\frac{p}{e}=\frac{a}{e}-c\Rightarrow p=e\left(\frac{a}{e}-c\right)\Rightarrow p=\frac{3}{5}\left(\frac{5}{\frac{3}{5}-3}\right)=\frac{3}{5}\cdot\frac{25-9}{3}=\frac{16}{5}.$

Далее, подставляя найденные параметры в полярное уравнение (2), найденное в предыдущей задаче, найдем уравнение данного эллипса:

$$r=\frac{\frac{16}{5}}{1-\frac{3}{5}\cos\varphi}=\frac{16}{5-3\cos\varphi}.$$ 

Ответ: $r=\frac{16}{5-3\cos\varphi}.$ 

 

 

2.324(а).

Написать каноническое уравнение кривой второго порядка $r=\frac{9}{5-4\cos\varphi}.$

Решение.

Приведем заданное уравнение, к уравнению вида $r=\frac{p}{1-e\cos\varphi}:$

$$r=\frac{9}{5-4\cos\varphi}=\frac{9}{5(1-\frac{4}{5}\cos\varphi)}=\frac{\frac{9}{5}}{1-\frac{4}{5}\cos\varphi}.$$

Отсюда имеем: $e=\frac{4}{5},$ $p=\frac{9}{5}.$ Поскольку $e<1,$ то данная кривая - эллипс.

Далее, подставляя выражения эксцентриситета и параметра по определению, надем полуоси эллипса: 

$$e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}\Rightarrow 5c=4a;$$

$$\frac{p}{e}=\frac{a}{e}-c\Rightarrow \frac{9}{4}=\frac{a}{4/5}-c=\frac{5a-4c}{4}\Rightarrow 9=5a-4c.$$

 

Решим систему равнений $$\left\{\begin{array}{lcl}5c=4a\\5a-4c=9\end{array}\right.\left\{\begin{array}{lcl}c=\frac{4}{5}a\\5a-\frac{16}{5}a=9\end{array}\right.\left\{\begin{array}{lcl}c=\frac{4}{5}a\\\frac{9}{5}a=9\end{array}\right.\left\{\begin{array}{lcl}c=4\\a=5\end{array}\right.\Rightarrow$$

$$b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{25-16}=3.$$ 

Таким образом, запишем каноническое уравнение эллипса:

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1.$$

Ответ: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1.$

 

2.326.

Вывести полярное уравнение гиперболы $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,$ при условии, что полярная ось сонаправлена с осью $Ox,$ а полюс находится в центре гиперболы.

Решение.

Так как полюс находится в центре гиперболы, то $OM=r,$ тогда $\rho(M, D)=r\cos\varphi-\frac{a}{e},$ $\rho(M, F)=\sqrt {(r\sin\varphi)^2+(c-r\cos\varphi)^2}.$

Таким образом, из уравнения (1) находим:

$$M\in\Gamma\Leftrightarrow\frac{\rho(M, F)}{\rho(M, D)}=const=e\Rightarrow\frac{\sqrt{(r\sin\varphi)^2+(c-r\cos\varphi)^2}}{r\cos\varphi-\frac{a}{e}}=e\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\frac{\sqrt{r^2+c^2-2rc\cos\varphi}}{r\cos\varphi-\frac{a}{e}}=e\Rightarrow $$

$$\Rightarrow r^2+c^2-2rc\cos\varphi=(er\cos\varphi-a)^2\Rightarrow$$

$$\Rightarrow r^2+c^2-2rc\cos\varphi=e^2r^2\cos^2\varphi-2er\cos\varphi+a^2\Rightarrow$$

$$\Rightarrow r^2(1-e^2\cos^2\varphi)-2rc\cos\varphi+2rc\cos\varphi=a^2-c^2=-b^2\Rightarrow$$

$$\Rightarrow r^2=\frac{b^2}{1-e^2\cos^2\varphi}.$$

Ответ: $\Rightarrow r^2=\frac{b^2}{1-e^2\cos^2\varphi}.$

Домашнее задание.

2.321(б) Для эллипса $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ написать полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится в правом фокусе. 

Ответ: $r=\frac{16}{5+3\cos\varphi}.$ 

 

 

2.322. Для правой ветви гиперболы $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ написать полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится

а) в левом фокусе,        б) в правом фокусе. 

Ответ: а) $r=-\frac{9}{4-5\cos\varphi},$  б) $r=\frac{9}{4-5\cos\varphi}.$ 

 

2.323. Для параболы $y^2=6x$ написать полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится в фокусе параболы. 

Ответ: $r=\frac{3}{1-\cos\varphi}.$ 

 

2.324 (б, в) Написать канонические уравнения следующих кривых второго порядка:

б) $r=\frac{9}{4-5\cos\varphi},$        в) $r=\frac{3}{1-\cos\varphi}.$

Ответ: а) $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1,$  б) $y^2=6x.$

 

 

2.327. Вывести полярное уравнение параболы $y^2=2px$ при условии, что полярная ось сонаправленна с осью $Ox,$ а полюс находится в вершине параболы.

Ответ: $r=\frac{2p\cos\varphi}{\sin^2\varphi}.$ 

 

 

 

 

 

 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить