Рейтинг:   / 36
ПлохоОтлично 

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.

Пусть $L_1: \frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{l_1}=\frac{z-z_1}{k_1}$ и $L_2: \frac{x-x_2}{m_2}=\frac{y-y_2}{l_2}=\frac{z-z_2}{k_2}$ - две скрещивающиеся прямые. Расстояние $\rho(L_1, L_2)$ между прямыми $L_1$ и $L_2$ можно найти по следующей схеме:

1) Находим уравнение плоскости $P,$ проходящей через прямую $L_1,$ параллельно прямой $L_2:$

Плоскость $P$ проходит через точку $M_1(x_1, y_1, z_1),$ перпендикулярно вектору $\overline n=[\overline s_1, \overline s_2]=(n_x, n_y, n_z),$ где $\overline s_1=(m_1, l_1, k_1)$ и $\overline s_2=(m_2, l_2, k_2)$ - направляющие вектора прямых $L_1$ и $L_2.$ Следовательно, уравнение плоскости $P: n_x(x-x_1)+n_y(y-y_1)+n_z(z-z_1)=0.$

2) Расстояние между прямыми $L_1$ и $L_2$ равно расстоянию от любой точки прямой $L_2$ до плоскости $P:$

$$\rho(L_1, L_2)=\rho (M_2, P)=\left|\frac{n_x x_2+n_y y_2+n_z z_2}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}\right|.$$

Нахождение общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.

 

Для нахождения общего перпендикуляра прямых $L_1$ и $L_2,$ необходимо найти уравнения
плоскостей 
$P_1$ и $P_2,$  проходящих, соответственно, через прямые $L_1$ и $L_2,$  перпендикулярно плоскости $P.$

Пусть $P_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0;$

           $P_2: A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0.$

Тогда уравнение общего перпендикуляра имеет вид

 

$\left\{\begin{array}{lcl}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0;\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0.\end{array}\right. $

 

Пример.

2.214.

Для заданных прямых $L_1: \frac{x+7}{3}=\frac{y+4}{4}=\frac{z+3}{-2}$  и $L_2:\frac{x-21}{6}=\frac{y+5}{-4}=\frac{z-2}{-1}$  требуется:

а) доказать, что прямые не лежат в одной плоскости, то есть являются скрещивающимися;

б) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую $L_2$ параллельно $L_1;$

в) вычислить расстояние между прямыми;

г) написать уравнения общего перпендикуляра к прямым $L_1$  и $L_2.$ 

Решение.

а) Если прямые $L_1$  и $L_2$  лежат в одной плоскости, то их направляющие вектора $\overline{s_1}(3, 4, -2),$ $\overline{s_2}(6, -4, -1),$ и вектор $\overline l,$ соединяющий произвольную точку прямой $L_1$ и произвольную точку прямой $L_2$ компланарны. В качестве такого вектора $\overline{l}$ можно выбрать $\overline{l}(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1).$ Проверим будут ли эти вектора компланарны.

$$\begin{vmatrix}21-(-7)&-5-(-4)&2-(-3)\\3&4&-2\\6&-4&-1\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}28&-1&5\\3&4&-2\\6&-4&-1\end{vmatrix}=$$ $$=28\cdot 4\cdot(-1)+3\cdot(-4)\cdot 5+(-1)\cdot (-2)\cdot 6-$$ $$-6\cdot 4\cdot 5-(-4)\cdot(-2)\cdot 28-3\cdot(-1)\cdot (-1)=$$

$$-112-60+12-120-224+3=501\neq 0.$$

Следовательно, вектора не компланарны и прямые не лежат в одной плоскости.  

 

 

б) Запишем уравнение плоскости, проходящей через прямую $L_2$ параллельно $L_1.$  Эта плоскость проходит через точку $M_2(21, -5, 2)$ перпендикулярно вектору $\overline n=[\overline s_1, \overline s_2].$

$$[s_1, s_2]=\begin{vmatrix}i&j&k\\3&4&-2\\6&-4&-1\end{vmatrix}=i\begin{vmatrix}4&-2\\-4&-1\end{vmatrix}-j\begin{vmatrix}3&-2\\6&-1\end{vmatrix}+k\begin{vmatrix}3&4\\6&-4\end{vmatrix}=$$ $$=i(-4-8)-j(-3+12)+k(-12-24)=-12i-9j-36k.$$

Таким образом, вектор $\overline n$ имеет координаты $\overline n(-12, -9, -36).$

Находим уравнение плоскости$$P:\,\, -12(x-21)-9(y+5)-36(z-2)=0\Rightarrow$$  $$\Rightarrow-12x-9y-36z+252-45+72=0\Rightarrow -12x-9y-36z+279=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow 4x+3y+12z-93=0.$$

Ответ: $4x+3y+12z-93=0.$

 

в) Расстояние между прямыми $L_1$ и $L_2$ равно расстоянию от любой точки прямой $L_1$  до плоскости $P:$

$$\rho(L_1, L_2)=\rho(M_1, P)=\left|\frac{n_xx_1+n_yy_1+n_zz_1}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}\right|$$ $$\rho(M_1, P)= \left|\frac{4(-7)+3(-4)+12(-3)}{\sqrt{4^2+ 3^2+12^2}}\right|= \left|\frac{-28-12-36}{\sqrt{16+9+144}}\right|=$$ $$=\left|\frac{-76}{\sqrt{169}}\right|=\frac{76}{13}.$$

Ответ: $\frac{76}{13}.$

 

г) Найдем уравнения плоскостей $P_1$ и $P_2,$  проходящих, соответственно, через прямые $L_1$ и $L_2,$  перпендикулярно плоскости $P.$

Имеем, $M_1=(-7, -4, -3)\in P_1,$

$$\overline n_1=[\overline{s}_1, \overline{n}] =\begin{vmatrix}i&j&k\\3&4&-2\\4&3&12\end{vmatrix}=i\begin{vmatrix}4&-2\\3&12\end{vmatrix}-j\begin{vmatrix}3&-2\\4&12\end{vmatrix}+k\begin{vmatrix}3&4\\4&3\end{vmatrix}=$$ $$=i(48+6)-j(36+8)+k(9-16)=54i-44j-7k.$$

Таким образом, $$P_1: 54(x+7)-44(y+4)-7(z+3)=54x-44y-7z+378-176-21=$$ $$=54x-44y-7z+181=0.$$

Аналогично находим $P_2:$

Имеем, $M_2=(21, -5, 2)\in P_2,$

$$\overline n_2=[\overline{s}_2, \overline{n}] =\begin{vmatrix}i&j&k\\6&-4&-1\\4&3&12\end{vmatrix}=i\begin{vmatrix}-4&-1\\3&12\end{vmatrix}-j\begin{vmatrix}6&-1\\4&12\end{vmatrix}+k\begin{vmatrix}6&-4\\4&3\end{vmatrix}=$$ $$=i(-48+3)-j(72+4)+k(18+16)=-45i-76j+34k.$$

Таким образом, $$P_1: -45(x-21)-76(y+5)+34(z-2)=-45x-76y+34z+945-380-68=$$ $$=-45x-76y+34z+497=0.$$

Ответ: $\left\{\begin{array}{lcl}54x-44y-7z+181=0;\\ -45x-76y+34z+497=0.\end{array}\right. $

 

Домашнее задание.

 

2.215.

Для заданных прямых $L_1: \frac{x-6}{3}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+3}{4}$  и $L_2:\frac{x+1}{3}=\frac{y+7}{-3}=\frac{z-4}{8}$  требуется:

а) доказать, что прямые не лежат в одной плоскости, то есть являются скрещивающимися;

б) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую $L_2$ параллельно $L_1;$

в) вычислить расстояние между прямыми;

г) написать уравнения общего перпендикуляра к прямым $L_1$  и $L_2.$ 

 

Ответ: б) $4x+12y+12z+76=0;$ 

в) $\frac{127}{13};$ 

г) $\left\{\begin{array}{lcl}53x-7y-44z-429=0;\\ 105x-23y-48z+136=0.\end{array}\right. $

   

 

 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить