Геометрическое применение определенного интеграла и применение интеграла Римана в механике и физике.

1. Площадь плоской фигуры.

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции $y=f(x)\,\, (f(x)\geq 0),$ двумя прямыми $x=a$ и $x=b$ и осью $Ox,$ или площадь криволинейной трапеции, ограниченной дугой графика функции $y=f(x),\,\, a\leq x\leq b$ (рис. 1) вычисляется по формуле $$S=\int\limits_a^bf(x)dx.$$

Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций $y=f_1(x)$ и $y=f_2(x),\,\, f_1(x)\leq f_2(x)$ и двумя прямыми $x=a$, $x=b$ (рис. 2) определяется по формуле $S=\int\limits_a^b(f_2(x)-f_1(x))\,dx.$

Если фигура ограничена кривой, имеющей параметрические уравнения $x=x(t),\, y=y(t),$ прямыми $x=a,\,\,x=b$ и осью $Ox,$ то площадь ее вычисляется по формуле $$S=\int\limits_{t_1}^{t_2}y(t)x'(t)dt=\int\limits_{t_1}^{t_2}y(t)dx(t),\quad (1)$$где пределы интегрирования находятся из уравнений $a=x(t_1),\,\, b=x(t_2)\,\,$($y(t)\geq 0$ на отрезке $[t_1,\, t_2]$).

Формула (1) применима также для вычисления площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой (изменение параметра $t$ от $t_1$ до $t_2$ должно соответствовать обходу контура по часовой стрелке).

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции $r=r(\varphi)$ и двумя лучами $\varphi=\alpha,$ $\varphi=\beta,$ где $\varphi$ и $r -$ полярные координаты, или площадь криволинейного сектора, ограниченного дугой графика функции, $r=r(\varphi),\,\,\alpha\leq\varphi\leq\beta,$ вычисляется по формуле $$S=\frac{1}{2}\int\limits_{\alpha}^{\beta}r^2d\varphi.$$

2. Длина дуги кривой.

Если гладкая кривая задана уравнением $y=f(x),$ то длина $l$ ее дуги равна $$l=\int\limits_a^b\sqrt{1+(y')^2}\,dx,$$

где $a$ и $b -$  абсциссы концов дуги.

Если же кривая задана параметрическими уравнениями $x=x(t),\, y=y(t)\quad (t_1\leq t\leq t_2),$ то $$l=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{(x_t')^2+(y_t')^2}\,dt.$$

Аналогично выражается длина дуги пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями $x=x(t),\, y=y(t),\,\, z=z(t),\,\,t_1\leq t\leq t_2:$ $$l=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{(x_t')^2+(y_t')^2+(z_t')^2}\,dt.$$

Если задано полярное уравнение гладкой кривой $r=r(\varphi),$ $\alpha\leq\varphi\leq\beta,$ то $$l=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2+(r')^2}d\varphi.$$

3. Площадь поверхности вращения.

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси $Ox$ дуги кривой, заданной функцией $y=f(x),\,\,a\leq x\leq b$ вычисляется по формуле $$Q_x=2\pi\int\limits_a^bf(x)\sqrt{1-(f'(x))^2}\,dx,$$ 

Если дуга задана параметрическими уравнениями $x=x(t),\, y=y(t)\quad (t_1\leq t\leq t_2),$ то $$Q_x=2\pi\int\limits_{t_1}^{t_2}y(t)\sqrt{(x_t')^2+(y_t')^2}\,dt.$$ 

Если дуга задана в полярных координатах  $r=r(\varphi),$ $\alpha\leq\varphi\leq\beta,$ то $$Q_x=2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}r\sin\varphi\sqrt{r^2+(r')^2}d\varphi.$$

Если дуга кривой вращается вокруг произвольной оси, то площадь поверхности вращения выражается интегралом $$Q=2\pi\int\limits_A^BRdl,$$ где $R -$ расстояние от точки на кривой до оси вращения, $dl -$ дифференциал дуги, $A$ и $B -$ пределы интегрирования, соответствующие концам дуги. При этом $R$ и $dl$ должны быть выражены через переменную интегрирования.

4. Объем тела.

Если площадь $S(x)$ сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси $Ox,$ является непрерывной функцией на отрезке $[a, b]$, то объем тела вычисляется по формуле $$V=\int\limits_a^bS(x)\,dx.$$

Выражение для функции $S(x)$ достаточно просто получается в случае тел вращения. Так, если криволинейная трапеция, ограниченная кривой $y=f(x),\,\, a\leq x\leq b$ вращается вокруг оси $Ox$ или оси $Oy,$ то объемы тел вращения вычисляются соответственно по формулам:

$$V_x=\pi\int\limits_a^bf^2(x)\, dx,$$

$$V_y=2\pi\int\limits_a^b x|f(x)|\,dx,\quad a\geq 0.$$

Если криволинейный сектор, ограниченный кривой $r=r(\varphi)$ и лучами $\varphi=\alpha,$ $\varphi=\beta$ вращается вокруг полярной оси, то объем тела вращения равен $$V=\frac{2}{3}\pi\int_{\alpha}^{\beta}r^3\sin\varphi\,d\varphi.$$ 

5. Моменты и центры масс плоских кривых.

Если дуга кривой задана уравнением $y=f(x), a\leq x\leq b,$ и имеет плотность $\rho=\rho(x),$ то статистические моменты этой дуги $M_x$ и $M_y$ относительно координатных осей $Ox$ и $Oy$ равны $$M_x=\int\limits_a^b\rho(x)f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx,$$ $$M_y=\int\limits_a^b\rho(x)x\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx,$$

моменты инерции $I_x$ и $I_y$ относительно тех же осей $Ox$ и $Oy$ вычисляются по формулам $$I_x=\int\limits_a^b\rho(x)f^2(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx,$$ $$I_y=\int\limits_a^b\rho(x)x^2\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx,$$

а координаты центра масс $x$ и $y$ по формулам $$\widetilde{x}=\frac{M_y}{l}=\frac{1}{l}\int\limits_a^b\rho(x)x\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx,$$ 

$$\widetilde{y}=\frac{M_x}{l}=\frac{1}{l}\int\limits_a^b\rho(x)f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx,$$

где масса дуги, т. е. 

 $$I=\int\limits_a^b\rho(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx,$$

6. Физические задачи.

Путь пройденный телом со скоростью $v(t)$ за отрезок времени $[t_1, t_2],$ выражается интегралом $$S=\int\limits_{t_1}^{t_2}v(t)\,dt.$$

Работа переменной силы $f(x),$ действующей вдоль оси $Ox$ на отрезке $[a, b],$ выражается интегралом $$A=\int\limits_a^bf(x)\,dx.$$