Рейтинг:   / 1
ПлохоОтлично 

Кратные и повторные пределы функций нескольких переменных.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

 

Число $A$ называется пределом функции $u=f(P)$ при стремлении точки $P(x_1, x_2, ..., x_n)$ к точке $P_0(a_1, a_2, ..., a_n)$, если для любого $\varepsilon>0$ существует такое $\delta>0,$ что из условия  $$0<\rho(P, P_0)=\sqrt{(x_1-a_1)^2+...+(x_n-a_n)^2}<\delta$$  следует $$|f(x_1, x_2,..., x_n)-A|<\varepsilon.$$ При этом пишут: $$A=\lim\limits_{P\rightarrow P_0}f(P)=\lim\limits_{x_1\rightarrow a_1,...,x_n\rightarrow a_n}f(x_1, x_2, ..., x_n).$$

Примеры:

Найти пределы:

7.32. $\lim\limits_{x\rightarrow 0, y\rightarrow 0}\frac{xy}{3-\sqrt{xy+9}}.$

Решение.

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0, y\rightarrow 0}\frac{xy}{3-\sqrt{xy+9}}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim\limits_{x\rightarrow 0, y\rightarrow 0}\frac{xy(3+\sqrt{xy+9})}{(3-\sqrt{xy+9})(3+\sqrt{xy+9})}=$$  $$=\lim\limits_{x\rightarrow 0, y\rightarrow 0}\frac{xy(3+\sqrt{xy+9})}{(9-{xy+9})}=\lim\limits_{x\rightarrow 0, y\rightarrow 0}\frac{xy(3+\sqrt{xy+9})}{-xy}=$$ $$=-\lim\limits_{x\rightarrow 0, y\rightarrow 0}(3+\sqrt{xy+9})=-6.$$

Ответ: $-12.$

 

7.34. $\lim\limits_{x\rightarrow 0, y\rightarrow 0}\frac{\sin xy}{y}.$

Решение.

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0, y\rightarrow 0}\frac{\sin xy}{y}=\left[\frac{0}{0}\right]=[\sin xy\sim xy, \quad(x\rightarrow 0, y\rightarrow 0)]=\lim\limits_{x\rightarrow 0, y\rightarrow 0}\frac{xy}{y}=\lim\limits_{x\rightarrow 0, y\rightarrow 0}x=0.$$

Ответ: $0.$

 

7.36. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty, y\rightarrow \infty}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}.$

Решение.

$$\lim\limits_{x\rightarrow \infty, y\rightarrow \infty}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}=\left[\infty\cdot 0\right]=$$ $$=\left[\sin\frac{1}{x^2+y^2}\sim \frac{1}{x^2+y^2}, \quad(x\rightarrow \infty, y\rightarrow \infty)\right]=\lim\limits_{x\rightarrow \infty, y\rightarrow \infty}\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}=1.$$

Ответ: $1.$

 

7.37. Показать, что при $x\rightarrow 0,$ $y\rightarrow 0$ функция $z=\frac{x}{y-x}$ может стремиться к любому пределу. Привести примеры такого приближения точки $x, y$ к точке $(0, 0)$ при котором $\lim z=3, \lim z=2, \lim z=-2.$

Решение.

Для любого предела $A$ можно выбрать частичную последовательность точек $\{M_k(\frac{A}{k},\frac{A+1}{k})\}$ сходящуюся к точке $(0, 0)$ при $k\rightarrow \infty.$ Тогда $$z(M_k)=\frac{\frac{A}{k}}{\frac{A+1}{k}-\frac{A}{k}}=A.$$

Рассмотрим частичную последовательность точек $\{M_k(\frac{3}{k},\frac{4}{k})\}$ сходящуюся к точке $(0, 0)$ при $k\rightarrow \infty.$ Тогда $$\lim\limits_{x\rightarrow0, y\rightarrow 0}z=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}z(M_k)=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{\frac{3}{k}}{\frac{4}{k}-\frac{3}{k}}=3.$$

Для частичной последовательности точек $\{M_k(\frac{2}{k},\frac{3}{k})\}$ сходящейся к точке $(0, 0)$ при $k\rightarrow \infty,$ имеем $$\lim\limits_{x\rightarrow0, y\rightarrow 0}z=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}z(M_k)=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{\frac{2}{k}}{\frac{3}{k}-\frac{2}{k}}=2.$$

Для частичной последовательности точек $\{M_k(\frac{-2}{k},\frac{-1}{k})\}$ сходящейся к точке $(0, 0)$ при $k\rightarrow \infty,$ имеем $$\lim\limits_{x\rightarrow0, y\rightarrow 0}z=\lim\limits_{k\rightarrow\infty} z(M_k)=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{\frac{-2}{k}}{\frac{-1}{k}-\frac{-2}{k}}=-2.$$ 

Ответ: Функция может стремиться к любому пределу.

 

7.38. Показать, что для функции $f(x, y)=\frac{x-y}{x+y}$ не существует $\lim\limits_{x\rightarrow 0, y\rightarrow 0},$ вычислив повторные пределы $$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\lim\limits_{y\rightarrow 0} f(x, y)\right),\,\,\lim\limits_{y\rightarrow 0}\left(\lim\limits_{x\rightarrow 0} f(x, y)\right).$$

Решение.

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\lim\limits_{y\rightarrow 0} f(x, y)\right)=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\lim\limits_{y\rightarrow 0}\frac{x-y}{x+y}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x-0}{x+0}=1.$$ 

$$\lim\limits_{y\rightarrow 0}\left(\lim\limits_{x\rightarrow 0} f(x, y)\right)=\lim\limits_{y\rightarrow 0}\left(\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x-y}{x+y}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{0-y}{0+y}=-1.$$

Поскольку повторные пределы различны, то предела функции $\lim\limits_{x\rightarrow 0, y\rightarrow 0}f(x, y)$ не существует.

Ответ: Предел не существует.

 

7.40. Выяснить, имеет ли функция $\sin\ln(x^4+y^2)$ предел при $x\rightarrow 0, y\rightarrow 0?$

Решение.

Рассмотрим частичную последовательность точек $\{M_k(\frac{1}{\sqrt[4]{2k}},\frac{1}{\sqrt{2k}})\}$ сходящуюся к точке $(0, 0)$ при $k\rightarrow \infty.$ Тогда $$\lim\limits_{x\rightarrow 0, y\rightarrow 0}z=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}z(M_k)=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\sin\ln\left(\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k}\right)=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\sin\ln\frac{1}{k}.$$

Так как $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\ln\frac{1}{k}=-\infty,$ то $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\sin\ln\frac{1}{k}$ не существует.

Ответ: Функция не имеет предела.

 

Домашнее задание.

7.33. $\lim\limits_{x\rightarrow 0, y\rightarrow 0}\frac{\sin xy}{xy}.$

7.35. $\lim\limits_{x\rightarrow 0, y\rightarrow 0}(1+x^2+y^2)^{\frac{1}{x^2+y^2}}.$

7.39. Показать, что для функции $f(x, y)=\frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}$ существуют и равны между собой  повторные пределы $$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\lim\limits_{y\rightarrow 0} f(x, y)\right),\,\,\lim\limits_{y\rightarrow 0}\left(\lim\limits_{x\rightarrow 0} f(x, y)\right),$$ тем не менее $\lim\limits_{x\rightarrow 0, y\rightarrow 0}$ не существует.

7.41. Выяснить, имеет ли функция $\frac{x^2+y^4}{x^4+y^2}$ предел при $x\rightarrow \infty, y\rightarrow \infty?$

 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить