Вычисление определенных интегралов.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Формула Ньютона-Лейбница.

Если $F(x) -$ одна из первообразных непрерывной на $[a, b]$ функции $f(x),$ то справедлива следующая формула Ньютона-Лейбница: $$\int\limits_a^b f(x)\,dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a).$$

Примеры:

Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы:

6.324. $\int\limits_{-1}^2x^3\,dx.$

Решение.

 $$\int\limits_{-1}^2x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_{-1}^2=\frac{(-1)^4}{4}-\frac{2^4}{4}=\frac{1}{4}-\frac{16}{4}=-\frac{15}{4}=-3,75.$$

Ответ: $-3,75.$

6.331. $\int\limits_{-\pi/4}^0\frac{dx}{\cos^2 x}.$

Решение.

$$\int\limits_{-\pi/4}^0\frac{dx}{\cos^2 x}=\left.tg x\right|_{-\pi/4}^0=tg 0-tg(-\pi/4)=0-(-1)=1.$$

Ответ: $1.$

6.335. $\int\limits_{1}^2\frac{dx}{2x-1}.$

Решение.

$$\int\limits_{1}^2\frac{dx}{2x-1}=\int\limits_1^2\frac{1}{2}d(\ln(2x-1))=\frac{1}{2}\left.\left(\ln(2x-1)\right)\right|_{1}^2=\ln3-\ln1=\ln 3.$$

Ответ: $\ln 3.$

6.347.  $\int\limits_0^{\pi/2}\cos^3\alpha\,d\alpha.$

Решение.

$$\int\limits_{0}^{\pi/2}\cos^3\alpha\,d\alpha=\int\limits_0^{\pi/2}\cos^2xd\sin x=\int\limits_0^{\pi/2}(1-\sin^2 x)d\sin x=\left.\left(\sin x-\frac{\sin^3 x}{3}\right)\right|_{0}^{\pi/2}=$$ $$=\sin\frac{\pi}{2}-\frac{\sin^3{\pi/2}}{3}-\left(\sin 0-\frac{\sin^30}{3}\right)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$$

Ответ: $\frac{2}{3}.$

 Свойства определенного интеграла:

1) Если $f(x)\geq 0$ на отрезке $[a, b],$ то $\int\limits_a^bf(x)dx\geq 0.$

2) Если $f(x)\leq g(x)$ на $[a, b]$ то $\int\limits_a^bf(x)\,dx\leq\int\limits_a^b g(x)\,dx.$

3) $|\int\limits_a^bf(x)\,dx|\leq\int\limits_a^b |f(x)|\,dx.$

4) Если $f(x)$ непрерывна на $[a, b], \,\, m -$ наименьшее, $M -$ наибольшее значения $f(x)$ на $[a, b],$ то $$m(b-a)\leq\int\limits_a^bf(x)\,dx\leq M(b-a)$$ (теорема об оценке определенного интеграла).

5) Если $f(x)$ непрерывна, а $g(x)$ интегрируема на $[a, b],\,\, g(x)\geq 0.$ $m$ и $M -$ наименьшее и наибольшее значения $f(x)$ на $[a, b],$ то $$m\int\limits_a^b g(x)\,dx\leq\int\limits_a^bf(x)g(x)dx\leq M\int\limits_a^bg(x)\,dx.$$ (обобщенная теорема об оценке определенного интеграла)

6) Если $f(x)$ непрерывна на $[a, b],$ то существует такая точка $c\in(a, b),$ что справедливо равенство $$\int\limits_a^bf(x)dx=f(c)(b-a).$$ (теорема о среднем значении) 

Число $f(c)=\frac{1}{b-a}\int\limits_a^bf(x)\,dx$ называется средним значением функции $f(x)$ на отрезке $[a, b].$

7) Если $f(x)$ непрерывна а интегрируема на $[a, b]$ и $g(x)\geq 0,$ то существует такая точка $c\in(a, b),$ что справедливо равенство $$\int\limits_a^bf(x)g(x)dx=f(c)\int\limits_a^bg(x)dx$$  (обобщенная теорема о среднем).

8) Если $f^2(x)$ и $g^2(x)$ интегрируемы на $[a, b],$ то  $$|\int\limits_a^bf(x)g(x)dx|=\sqrt{\int\limits_a^bf^2(x)dx\int\limits_a^bg^2(x)dx}$$ (неравенство Коши-Буняковского).

9) Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах. Если функция $f(x)$ четная, то $\int\limits_{-a}^af(x)dx=2\int\limits_0^af(x)dx.$ Если функция $f(x)$ нечетная, то $\int\limits_{-a}^af(x)dx=0.$ 

10) Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b],$ то интеграл с переменным верхним пределом $$\Phi(x)=\int\limits_a^x f(t)dt$$ является первообразной для функции $f(x),$ т.е.  $$\Phi'(x)=(\int\limits_a^x f(t)dt)'=f(x),\quad x\in[a, b].$$

11) Если функции $\phi(x)$ и $\psi(x)$ дифференцируемы в точке $x\in(a, b)$ и $f(t)$ непрерывна при $\phi(a)\leq t\leq \psi(b),$ то $$\left(\int\limits_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(t)dt\right)_x'=f(\psi(x))\psi'(x)-f(\phi(x))\phi'(x).$$

Примеры.

6.364. а) Определить знак интеграла, не вычисляя его: $\int\limits_{-2}^1\sqrt[3]{x}\,dx.$

Решение.

Поскольку функция $\sqrt[3]x$ нечетная $(\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]x),$ то, пользуясь 9-м свойством получаем   $\int\limits_{-2}^2\sqrt[3]{x}\,dx=0.$ Далее воспользуемся равенством $$\int\limits_{-2}^1\sqrt[3]{x}\,dx=\int\limits_{-2}^2\sqrt[3]{x}\,dx-\int\limits_{1}^2\sqrt[3]{x}\,dx=-\int\limits_{1}^2\sqrt[3]{x}\,dx.$$

Ясно, что $\sqrt[3]x>0$ при $x\in[1, 2].$ Поэтому из первого свойства определенных интегралов следует, что $\int\limits_{1}^2\sqrt[3]{x}\,dx>0.$ Следовательно,  $$\int\limits_{-2}^1\sqrt[3]{x}\,dx=-\int\limits_{1}^2\sqrt[3]{x}\,dx<0.$$

Ответ: $\int\limits_{-2}^1\sqrt[3]{x}\,dx<0.$

 {jumi[*4]} 

6.365. б) Не вычисляя интегралов, выяснить какой из интегралов больше $\int\limits_1^2\frac{dx}{x^2}$ или $\int\limits_1^2\frac{dx}{x^3}.$

Решение.

Воспользуемся вторым свойством определенных интегралов. На отрезке $[1, 2]$ выполняется неравенство $\frac{1}{x^2}\geq\frac{1}{x^3}.$ Проверим это: $$\frac{1}{x^2}\geq\frac{1}{x^3}\Rightarrow x^3\geq x^2\Rightarrow x\geq1.$$ Следовательно, $$\int\limits_1^2\frac{dx}{x^2}\geq\int\limits_1^2\frac{dx}{x^3}.$$ Строгое  неравенство легко получить, представив заданные интегралы как сумму $$\int\limits_1^2\frac{dx}{x^2}=\int\limits_1^{3/2}\frac{dx}{x^2}+\int\limits_{3/2}^2\frac{dx}{x^2};$$ $$\int\limits_1^2\frac{dx}{x^3}=\int\limits_1^{3/2}\frac{dx}{x^3}+\int\limits_{3/2}^2\frac{dx}{x^3}.$$ На отрезке $[1, 3/2]$ выполняется неравенство $$\frac{1}{x^2}\geq\frac{1}{x^3}\Rightarrow\int\limits_1^{3/2}\frac{dx}{x^2}\geq\int\limits_{3/2}^2\frac{dx}{x^3};$$ На отрезке $[3/2, 2]$ выполняется неравенство $$\frac{1}{x^2}>\frac{1}{x^3}\Rightarrow\int\limits_1^{3/2}\frac{dx}{x^2}>\int\limits_{3/2}^2\frac{dx}{x^3}.$$ Таким образом, $$\int\limits_1^2\frac{dx}{x^2}=\int\limits_1^{3/2}\frac{dx}{x^2}+\int\limits_{3/2}^2\frac{dx}{x^2}>\int\limits_1^{3/2}\frac{dx}{x^3}+\int\limits_{3/2}^2\frac{dx}{x^3}=\int\limits_1^2\frac{dx}{x^3}.$$ Ответ: $\int\limits_1^2\frac{dx}{x^2}>\int\limits_1^2\frac{dx}{x^3}.$

6.366. в) Найти среднее значение функции на данном отрезке: $\cos x,\quad 0\leq x\leq\pi/2.$

Решение.

Воспользуемся 6-м свойством определенных интегралов. Средним значением функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ называется число $f(c)=\frac{1}{b-a}\int\limits_a^bf(x)\,dx.$ 

Отсюда находим $$\cos c=\frac{1}{\pi/2-0}\int\limits_0^{\pi/2}\cos x\,dx=\frac{2}{\pi}\left.\sin x\right|_0^{\pi/2}=\frac{2}{\pi}(1-0)=\frac{2}{\pi}.$$

Ответ: $\frac{2}{\pi}.$

6.369. Оценить интеграл $\int\limits_0^{2\pi}\frac{dx}{\sqrt{5+2\sin x}}.$

Решение. 

Оценим подынтегральную функцию:

$$-1\leq\sin x\leq 1\Rightarrow$$ $$3\leq 5+2\sin x\leq 7\Rightarrow$$ $$\sqrt 3\leq\sqrt{5+2\sin x}\leq 7\Rightarrow$$ $$\frac{1}{\sqrt 7}\leq\frac{1}{\sqrt{5+2\sin x}}\leq\frac{1}{\sqrt 3}.$$

Отсюда и из второго свойства определенных интегралов следует, что

$$\int\limits_0^{2\pi}\frac{1}{\sqrt 7}dx\leq\int\limits_0^{2\pi}\frac{1}{\sqrt{5+2\sin x}}dx\leq\int\limits_0^{2\pi}\frac{1}{\sqrt 3}dx.$$

Находим предельные интегралы: $$\int\limits_0^{2\pi}\frac{1}{\sqrt 7}dx=\frac{1}{\sqrt 7}(2\pi-0)=\frac{2\pi}{\sqrt 7};$$ $$\int\limits_0^{2\pi}\frac{1}{\sqrt 3}dx=\frac{1}{\sqrt 3}(2\pi-0)=\frac{2\pi}{\sqrt 3}.$$

Таким образом, $$\frac{2\pi}{\sqrt 7}\leq\int\limits_0^{2\pi}\frac{1}{\sqrt{5+2\sin x}}dx\leq\frac{2\pi}{\sqrt 3}.$$

Ответ: $\frac{2\pi}{\sqrt 7}\leq\int\limits_0^{2\pi}\frac{1}{\sqrt{5+2\sin x}}dx\leq\frac{2\pi}{\sqrt 3}.$

6.370. б) Оценить интеграл $\int\limits_0^1\sqrt{(1+x)(1+x^3)}\,dx,$ пользуясь неравенством Коши-Буняковского.

Решение.

Неравенство Коши-Буняковского дает  $$|\int\limits_0^1\sqrt{(1+x)(1+x^3)}dx|\leq\sqrt{\int\limits_0^1(1+x)dx\int\limits_0^1(1+x^3)dx}.$$ 

Вычислим каждый интеграл, стоящей под корнем в правой части равенства:

$$\int\limits_0^1(1+x)dx=\left.\left(x+\frac{x^2}{2}\right)\right|_0^1=1+\frac{1}{2}-0=\frac{3}{2};$$ $$\int\limits_0^1(1+x^3)dx=\left.\left(x+\frac{x^4}{4}\right)\right|_0^1=1+\frac{1}{4}-0=\frac{5}{4};$$ Отсюда $$|\int\limits_0^1\sqrt{(1+x)(1+x^3)}dx|\leq\sqrt{\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{30}}{4}.$$ 

Ответ: $|I|\leq\frac{\sqrt{30}}{4}.$

6.374. Найти производную следующей функции: $\Phi(x)=\int\limits_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt.$

Решение.

Пользуемся свойством 10: 

$$\Phi'(x)=f(x)=\frac{\sin x}{x}.$$

Ответ: $\frac{\sin x}{x}.$

6.376. Найти производную следующей функции: $\Phi(x)=\int\limits_x^0\frac{dt}{\sqrt{1+t^3}}.$ 

Решение.

$\Phi(x)=\int\limits_x^0\frac{dt}{\sqrt{1+t^3}}=-\int\limits_0^x\frac{dt}{\sqrt{1+t^3}}.$ 

Пользуемся свойством 10: 

$$\Phi'(x)=f(x)=-\frac{1}{\sqrt{1+x^3}}.$$ 

Ответ: $-\frac{1}{\sqrt{1+x^3}}.$