Рейтинг:   / 43
ПлохоОтлично 

Элементарные преобразования. Ранг матрицы. Решение однородных систем уравнений.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:

1) перестановка строк (столбцов);

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответсвующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

 

Пусть в матрице $A$ размера $m\times n$ выбраны произвольно $k$ строк и $k$ столбцов $(k\leq\min(m,n)).$ Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка $k,$ определитель которой называется минором $k-$го порядка матрицы $A.$

Максимальный порядок $r$ отличных от нуля миноров матрицы $A$ называется ее рангом, а любой минор порядка $r,$ отличный от нуля - базисным минором.

Основные методы вычисления ранга матрицы:

Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден минор $k$-го порядка $M,$ отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры $(k+1)-$ го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор $M:$ если все они равны  нулю, то ранг матрицы равен $k.$ В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор $(k+1)-$го порядка, и вся процедура повторяется.

Метод элементарных преобразований основан на том, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга. Используя эти преобразования матрицу можно привести к такому виду, когда все ее элементы кроме $a_{11}, a_{22}, ..., a_{rr}$ $(r\leq\min(m, n)),$ равны нулю. Следовательно, ранг матрицы равен $r.$

Примеры.

 

3.150. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров. 

$\begin{pmatrix}2&-1&3&-2&4\\4&-2&5&1&7\\2&-1&1&8&2\end{pmatrix}$ 

Решение. 

 $\begin{pmatrix}2&-1&3&-2&4\\4&-2&5&1&7\\2&-1&1&8&2\end{pmatrix}$ 

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin{vmatrix}-1&3\\-2&5\end{vmatrix}=-5+6=1.$ 

Рассмотрим окаймляющие миноры третьего порядка:  $\begin{vmatrix}2&-1&3\\4&-2&5\\2&-1&1\end{vmatrix}=-4-12-10+12+10+4=0;$

 $\begin{vmatrix}2&-1&-2\\4&-2&1\\2&-1&8\end{vmatrix}=-32+8-2-8+2+32=0;$ 

 $\begin{vmatrix}2&-1&4\\4&-2&7\\2&-1&2\end{vmatrix}=-8-16-14+16+14+8=0;$ 

$\begin{vmatrix}-1&3&-2\\-2&5&1\\-1&1&8\end{vmatrix}=-40+4-3-10+1+48=0;$ 

$\begin{vmatrix}-1&3&4\\-2&5&7\\-1&1&2\end{vmatrix}=-10-8-21+20+7+12=0;$ 

$\begin{vmatrix}-1&-2&4\\-2&1&7\\-1&8&2\end{vmatrix}=-2-64+14+4+56-8=0.$ 

Таким образом, ранг матрицы $A$ равен двум. 

Ответ: 2.

   

3.159. Вычислить ранг матрицы методом элементарных преобразований 

 $\begin{pmatrix}25&31&17&43\\75&94&53&132\\75&94&54&134\\25&32&20&48\end{pmatrix}$ 

Решение. 

Производя  последовательно элементарные преобразования, имеем 

 $\begin{pmatrix}25&31&17&43\\75&94&53&132\\75&94&54&134\\25&32&20&48\end{pmatrix}\sim$ из третьей строки отнимаем вторую, из второй первую$\begin{pmatrix}25&31&17&43\\75&94&53&132\\0&0&1&2\\0&1&3&5\end{pmatrix}\sim$ из второй строки отнимаем первую, умноженную на три $\begin{pmatrix}25&31&17&43\\0&1&2&3\\0&0&1&2\\0&1&3&5\end{pmatrix}\sim$ из четвертой строки отнимаем вторую и третью $\begin{pmatrix}25&31&17&43\\0&1&2&3\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{pmatrix}\sim$ из четвертого столбца отнимем третий, умноженный на два $\begin{pmatrix}25&31&17&9\\0&1&2&-1\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\sim$разделим первый столбец на 25, отнимем от второго столбца первый, умноженный на 31 $\begin{pmatrix}1&0&17&9\\0&1&2&-1\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\sim$ от третьего столбца отнимем первый, умноженный на 17 и второй, умноженный на 2;  от четвертого отнимем первый, умноженный на 9, и прибавим второй, умноженный на 2$\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$ Ранг последней матрицы равен трем. Следовательно такой же ранг имеет и исходная матрица. 

Ответ: 3. 

 

3.160. Вычислить ранг матрицы методом элементарных преобразований 

 $\begin{pmatrix}47&-67&35&201&155\\26&98&23&-294&86\\16&-428&1&1284&52\end{pmatrix}$ 

 

Решение однородных систем уравнений. 

Пусть задана система $m$ линейных уравнений с $n$ неизвестными общего вида  

$$\left\{\begin{array}{lcl}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\...............................\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\end{array}\right.$$ 

 или, в матричной форме, $AX=B,$ где   

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{pmatrix};$ $B=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\...\\b_m\end{pmatrix}.$ 

 Если $B=0,$ то система называется однородной. В противном случае она называется неоднородной. 

Система называется совместной если у нее существует хотя бы одно решение. В противном случае система называется несовместной. 

Однородная система $AX=0$ всегда совместна поскольку имеет тривиальное решение $X=0.$ Для существования нетривиального решения необходимо и достаточно чтобы $r=rang A<n$ (при $m=n$ это условие означает, что $\det A=0.$ 

Пусть $r=rang A.$ Не ограничивая общности, будем считать, что базисный минор располагается в первых $r$ $(1\leq r\leq\min(m, n))$ строках и столбцах матрицы $A.$ Отбросив последние $m-r$ уравнений системы получим укороченную систему  $$\left\{\begin{array}{lcl}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\...............................\\ a_{r1}x_1+a_{r2}x_2+...+a_{rn}x_n=b_r\end{array}\right.$$ которая эквивалентна исходной. Назовем неизвестные $x_1, x_2, ..., x_r$ базисными, а $x_{r+1}, x_{r+2}, ..., x_n$ - свободными и перенесем слагаемые, содержащие свободные неизвестные в правую часть уравнений. Получаем систему, относительно базисных неизвестных:  

$$\left\{\begin{array}{lcl}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1r}x_r=b_1-a_{1,r+1}x_{r+1}-...-a_{1n}x_n\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2r}x_r=b_2-a_{2, r+1}x_{r+1}-...-a_{2n}x_n\\...............................\\ a_{r1}x_1+a_{r2}x_2+...+a_{rr}x_r=b_r-a_{r, r+1}x_{r+1}-...-a_{rn}x_n\end{array}\right.$$ которая для каждого набора значений свободных неизвестных $x_{r+1}=c_1, ..., x_{n}=c_{n-r}$ имеет единственное решение $x_1(c_1, ..., c_{n-r}), ..., x_r(c_1, ..., c_{n-r}),$ находимое по правилу Крамера. 

Соответствующее решение укороченной, а, следовательно, и исходной систем имеет вид $X(c_1, ..., c_{n-r})= $ $\begin{pmatrix}x_1(c_1,...,c_{n-r})\\\vdots\\x_r(c_1,...,c_{n-r})\\c_1\\\vdots\\c_{n-r}\end{pmatrix}.$ Эта формула называется общим решением системы. 

Система вектор столбцов $E_1, ..., E_{n-r}$, полученных, если свободным неизвестным поочередно придавать значение 1, а всем остальным 0, называется фундаментальной системой решений. 

Общее решение однородной системы имеет вид $X=c_1 E_1+...+c_{n-r}E_{n-r}.$ 

 

Всякая линейная комбинация решений однородной системы уравнений также является ее решением. 

 

Примеры: 

Найти фундаментальную систему решений и общее решение следующих систем:  

3.223. $$\left\{\begin{array}{lcl}x_1+2x_2-x_3=0\\ 2x_1+9x_2-3x_3=0\end{array}\right.$$ 

Решение.  

Матрица коэффициентов $A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\2&9&-3\end{pmatrix}$ имеет ранг 2.    

Выберем в качестве базисного минор $M=\begin{vmatrix}1&2\\2&9\end{vmatrix}=9-4=5\neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c_1,$ получаем: $$\left\{\begin{array}{lcl}x_1+2x_2=с_1\\ 2x_1+9x_2=3с_1\end{array}\right.$$ По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

$\Delta=\begin{vmatrix}1&2\\2&9\end{vmatrix}=9-4=5;$ 

$\Delta_1=\begin{vmatrix}c_1&2\\3c_1&9\end{vmatrix}=9c_1-6c_1=3c_1;$ 

$\Delta_2=\begin{vmatrix}1&c_1\\2&3c_1\end{vmatrix}=3c_1-2c_1=c_1;$ 

$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{3c_1}{5};$ $x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{c_1}{5}.$ 

Таким образом, общее решение системы $X(c_1)=\begin{pmatrix}\frac{3c_1}{5}\\\frac{c_1}{5}\\c_1\end{pmatrix}.$ 

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E_1=X(1)=\begin{pmatrix}\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}\\1\end{pmatrix}.$ Поскольку всякая линейная комбинация решений однородной системы уравнений также является ее решением, то фундаментальную систему решений также можно записать в виде $E_1=X(1)=\begin{pmatrix}3\\1\\5\end{pmatrix}.$ 

 С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде $X(c_1)=c_1E_1.$ 

Ответ: $X(c_1)=c_1E_1;$ $E_1=\begin{pmatrix}3\\1\\5\end{pmatrix}.$ 

   

3.225. $$\left\{\begin{array}{lcl}3x_1+2x_2+x_3=0\\ 2x_1+5x_2+3x_3=0\\3x_1+4x_2+2x_3=0\end{array}\right.$$ 

Решение.   

Матрица коэффициентов $A=\begin{pmatrix}3&2&1\\2&5&3\\3&4&2\end{pmatrix}$ имеет ранг 3, поскольку $det A=\begin{vmatrix}3&2&1\\2&5&3\\3&4&2\end{vmatrix}=$ $3\cdot 5\cdot 2+2\cdot 4\cdot 1+2\cdot 3\cdot 3-3\cdot 5\cdot 1-4\cdot 3\cdot 3-$ $-2\cdot 2\cdot 2=30+8+18-15-36-8=56-59=-3\neq 0.$  

Так как ранг равен количеству неизвестных, то система имеет только тривиальное решение. 

Ответ: Система имеет только тривиальное решение. 

 

 

3.227. $$\left\{\begin{array}{lcl}x_1+2x_2+4x_3-3x_4=0\\ 3x_1+5x_2+6x_3-4x_4=0\\4x_1+5x_2-2x_3+3x_4=0\\3x_1+8x_2+24x_3-19x_4=0\end{array}\right.$$  

Решение.  

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin{pmatrix}1&2&4&-3\\3&5&6&-4\\4&5&-2&3\\3&8&24&-19\end{pmatrix}$ методом окаймляющих миноров:    

Фиксируем минор отилчный от нуля второго порядка $M_2=\begin{vmatrix}1&2\\3&5\end{vmatrix}=5-6=-1.$ 

Рассмотрим окаймляющие миноры третьего порядка:  $\begin{vmatrix}1&2&4\\3&5&6\\4&5&-2\end{vmatrix}=-10+60+48-80-30+12=0;$ 

$\begin{vmatrix}1&2&-3\\3&5&-4\\4&5&3\end{vmatrix}=15-45-32+60+20-18=0;$ 

  $\begin{vmatrix}1&2&4\\3&5&6\\3&8&24\end{vmatrix}=120+96+36-60-48-144=0;$ 

 $\begin{vmatrix}1&2&-3\\3&5&-4\\3&8&-19\end{vmatrix}=-95-72-24+45+32+114=0;$ 

 Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум. 

 Выберем в качестве базисного минор $M=\begin{vmatrix}1&2\\3&5\end{vmatrix}=5-6=-1\neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c_1,\, x_4=c_2,$ получаем: $$\left\{\begin{array}{lcl}x_1+2x_2=-4c_1+3c_2\\ 3x_1+5x_2=-6c_1+4c_2\end{array}\right.$$  

 По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$ 

 $\Delta=\begin{vmatrix}1&2\\3&5\end{vmatrix}=5-6=-1;$ 

 $\Delta_1=\begin{vmatrix}-4c_1+3c_2&2\\-6c_1+4c_2&5\end{vmatrix}=-20c_1+15c_2+12c_1-8c_2=-8c_1+7c_2;$ 

 $\Delta_2=\begin{vmatrix}1&-4c_1+3c_2\\3&-6c_1+4c_2\end{vmatrix}=-6c_1+4c_2+12c_1-9c_2=6c_1-5c_2;$ 

 $x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{-8c_1+7c_2}{-1}=8c_1-7c_2;$ $x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{6c_1-5c_2}{-1}=-6c_1+5c_2.$ 

 Таким образом, общее решение системы $X(c_1,c_2)=\begin{pmatrix}8c_1-7c_2\\-6c_1+5c_2\\c_1\\c_2\end{pmatrix}.$ 

 Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E_1=X(1,0)=\begin{pmatrix}8\\-6\\1\\0\end{pmatrix},$ $E_2=X(0,1)=\begin{pmatrix}-7\\5\\0\\1\end{pmatrix}.$ 

 С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде $X(c_1, c_2)=c_1E_1+c_2E_2.$ 

Ответ: $X(c_1, c_2)=c_1E_1+c_2E_2;$ $E_1=\begin{pmatrix}8\\-6\\1\\0\end{pmatrix},$ $E_2=\begin{pmatrix}-7\\5\\0\\1\end{pmatrix}.$ 

 

Домашнее задание.   

3.151.  

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров. 

$\begin{pmatrix}1&3&5&-1\\2&-1&-3&4\\5&1&-1&7\\7&7&9&1\end{pmatrix}.$ 

Ответ: 3. 

 

3.154.  

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров. 

$\begin{pmatrix}1&2&3&0&-1\\0&1&1&1&0\\1&3&4&1&-1\end{pmatrix}$ 

Ответ: 2. 

 

3.161.  

Вычислить ранг матрицы методом элементарных преобразований 

 $\begin{pmatrix}24&19&36&72&-38\\49&40&73&147&-80\\73&59&98&219&-118\\47&36&71&141&-72\end{pmatrix}$ 

Ответ: 3. 

 

3.164.  

Вычислить ранг матрицы методом элементарных преобразований 

$\begin{pmatrix}-1&3&3&-4\\4&-7&-2&1\\-3&5&1&0\\-2&3&0&1\end{pmatrix}$ 

Ответ: 2. 

 

Найти фундаментальную систему решений и общее решение следующих систем:  

3.224. $$\left\{\begin{array}{lcl}x_1-2x_2-3x_3=0\\ -2x_1+4x_2+6x_3=0\end{array}\right.$$  

Ответ: $X(c_1, c_2)=c_1E_1+c_2E_2;$ $E_1=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}, $ $E_2=\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}.$ 

 

3.226. $$\left\{\begin{array}{lcl}2x_1-3x_2+x_3=0\\ x_1+x_2+x_3=0\\3x_1-2x_2+2x_3=0\end{array}\right.$$  

Ответ: $X(c_1)=c_1E_1;$ $E_1=\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix}.$

 

3.228. $$\left\{\begin{array}{lcl}2x_1-4x_2+5x_3+3x_4=0\\ 3x_1-6x_2+4x_3+2x_4=0\\4x_1-8x_2+17x_3+11x_4=0\end{array}\right.$$ 

Ответ: $X(c_1, c_2)=c_1E_1+c_2E_2;$ $E_1=\begin{pmatrix}1\\0\\-5/2\\7/2\end{pmatrix}, $ $E_2=\begin{pmatrix}0\\1\\5\\-7\end{pmatrix}.$

 

 

 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить