Рейтинг:   / 11
ПлохоОтлично 

Правило Крамера.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Пусть задана система $n$ линейных уравнений с $n$ неизвестными общего вида  

$$ \left\{\begin{array}{lcl}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\..............................\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n\end{array}\right. ,\quad\quad (1)$$ или, в матричной форме, $AX=B,$ где  

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{pmatrix};$  $X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\...\\x_n\end{pmatrix};$ $B=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\...\\b_n\end{pmatrix}.$

Правило Крамера: Если $\det A=\Delta\neq 0, $ то есть матрица $A$ имеет обратную, то система (1) имеет и при том единственное решение $x_i=\frac{\Delta_i}{\Delta},$ $i=1, 2, ..., n$ где $\Delta_1$-- определитель, получаемый из определителя путем замены $i$-го столбца на столбец свободных членов.

Примеры:

Следующие системы решить по правилу Крамера:

3.187. $$\left\{\begin{array}{lcl}3x-5y=13\\2x+7y=81\end{array}\right.$$  Решение.

Матрица $A=\begin{pmatrix}3&-5\\2&7\end{pmatrix}$ невырожденная, так как 

$\det A=\begin{vmatrix}3&-5\\2&7\end{vmatrix}=21+10=31\neq 0.$ Таким образом, система имеет единственное решение. 

$\Delta=\det A=21;$  

$\Delta_1=\begin{vmatrix} 13&-5\\81&7\end{vmatrix}=91+405=496;$ 

$\Delta_2=\begin{vmatrix} 3&13\\2&81\end{vmatrix}=243-26=217.$

Отсюда получаем $x=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{496}{31}=16;$ $y=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{217}{31}=7.$

Ответ: $x=16;$ $y=7.$

3.190. $$\left\{\begin{array}{lcl}7x+2y+3z=15\\ 5x-3y+2z=15\\10x-11y+5z=36\end{array}\right.$$ 

 Решение.

Матрица $A=\begin{pmatrix}7&2&3\\5&-3&2\\10&-11&5\end{pmatrix}$ невырожденная, так как 

$\det A=\begin{vmatrix}7&2&3\\5&-3&2\\10&-11&5\end{vmatrix}=-105-165+40+90+154-50=-36\neq 0.$ Таким образом, система имеет единственное решение. 

$\Delta=\det A=-36;$  

$\Delta_1=\begin{vmatrix}15&2&3\\15&-3&2\\36&-11&5\end{vmatrix}=-225-495+144+324+330-150=-72.$ 

$\Delta_2=\begin{vmatrix}7&15&3\\5&15&2\\10&36&5\end{vmatrix}=525+540+300-450-504-375=36\neq 0.$

$\Delta_3=\begin{vmatrix}7&2&15\\5&-3&15\\10&-11&36\end{vmatrix}=-756-825+300+450+1155-360=-36.$ 

 Отсюда получаем $x=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{-72}{-36}=2;$ $y=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{36}{-36}=-1;$ $z=\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{-36}{-36}=1.$

Ответ: $x=2;$ $y=-1;$ $z=1.$

 

3.192.  $$\left\{\begin{array}{lcl}x+y-2z=6\\ 2x+3y-7z=16\\5x+2y+z=16\end{array}\right.$$ 

 Решение.

Матрица $A=\begin{pmatrix}1&1&-2\\2&3&-7\\5&2&1\end{pmatrix}$ невырожденная, так как 

$\det A=\begin{vmatrix}1&1&-2\\2&3&-7\\5&2&1\end{vmatrix}=3-8-35+30+14-2=2\neq 0.$ Таким образом, система имеет единственное решение. 

$\Delta=\det A=2;$  

$\Delta_1=\begin{vmatrix}6&1&-2\\16&3&-7\\16&2&1\end{vmatrix}=18-64-112+96+84-16=6;$ 

 $\Delta_2=\begin{vmatrix}\mathrm{l}&6&-2\\2&16&-7\\5&16&1\end{vmatrix}=16-64-210+160+112-12=2;$ 

$\Delta_3=\begin{vmatrix}1&1&6\\2&3&16\\5&2&16\end{vmatrix}=48+24+80-90-32-32=-2;$

 Отсюда получаем $x=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{6}{2}=3;$ $y=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{2}{2}=1;$ $z=\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{-2}{2}=-1.$

 

Ответ: $x=3;$ $y=1;$ $z=-1.$

 

Домашнее задание: 

 

Решить следующие системы уравнений по правилу Крамера.

3.188. $\left\{\begin{array}{lcl}3x-4y=-6\\3x+4y=18.\end{array}\right. $

 

Ответ: $x=2; y=3.$

 

 

 

3.191. $\left\{\begin{array}{lcl}2x+y=5\\x+3z=16\\5y-z=10.\end{array}\right. $ 

 

 Ответ: $x=1; y=3; z=5.$

 

 

 

3.193. $\left\{\begin{array}{lcl}4x_1+4x_2+5x_3+5x_4=0\\ 2x_1+3x_3-x_4=10\\x_1+x_2-5x_3=-10\\3x_2+2x_3=1.\end{array}\right. $ 

 

Ответ: $x_1=1; x_2=-1; x_3=2; x_4=-2.$

 

 

Новости Саратова и Саратовской области - Саратовский новостной портал КЭП Сетевой политический форум России - Клуб Элитных Пользователей Сетевой свободный дневник Саратова - Diarium.Clubelit.ru 85-мм птп Д-44 (1946) - КБ Грабина История музыки - Крутятся диски Экономика - Экономический Вестник общественно политический форум "АCК - групп" обладает огромным накопленным опытом работ по возведению промышленных цехов, торговых комплексов, зданий предприятий различных отраслей, жилых домов. Пластификатор для бетона Популярнейшее направление рынка недвижимости Оборудование на заказ для гостиничных номеров Процесс строительства Важность окон Напольные газовые чугунные котлы серии Pegasus 23-65 Трубопроводная арматура. Параметры надежности и долговечности Как выбрать конвектор для дома Тенденции вечерней моды Жилетки из меха сегодня находятся на пике моды Тепловые манометры Мужские рубашки: инструкция по применению Джинсы и джинсовые вещи Начинаем вышивать гладью Недопустимые методы оптимизации сайта Государственные нормы для сварочной проволоки LADA 2190 Нейлоновые чулки – это гимн женской привлекательности и очарования Маленькая Стрекоза

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить