Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика". 2000.

1. Линейные уравнения первого порядка.

Уравнение $$y'+P(x)y=Q(x)\qquad (1)$$ называется линейным. Чтобы его решить, надо сделать замену переменных $y=u(x)v(x),$ где $u(x) - $ решение однородного уравнения $u'+P(x)u=0.$ Это уравнение решается методом разделения переменных.

Далее, делаем обратную замену. $y'=(uv)'=u'v+uv'.$ Следовательно,

$$u'v+v'u+P(x)uv=Q(x)$$

$$v(u'+P(x)u)+v'u=Q(x).$$

Заметим, что $u'+P(x)u=0.$ Следовательно, получили уравнения с разделяющимися переменными $$v'u=Q(x)\\ v'=\frac{Q(x)}{u(x)}\Rightarrow v(x)=\int\frac{Q(x)}{u(x)}dx+C.$$

2. Некоторые уравнения становятся линейными, если поменять местами искомую функцию и независимую переменную. Например, уравнение $y=(2x+y^3)y',$ в котором $y$ является функцией от $x, -$ нелинейное. Запишем его в дифференциалах: $$ydx-(2x+y^3)dy=0.$$ Так как в это уравнение  $x$ и $dx$ входят линейно, то уравнение будет линейным, если $x$ считать искомой функцией, а $y -$ независимым переменным. Это уравнение может быть записано в виде $$\frac{dx}{dy}-\frac{2}{y}x=y^2$$ и решается аналогично уравнению (1). 

3. Уравнение Бернулли.

Чтобы решить уравнение Бернулли, то есть уравнение $$y'+a(x)y=b(y)y^n, \qquad (n\neq 1),$$ надо обе его части разделить на $y^n$ и сделать замену $\frac{1}{y^{n-1}}=z.$ После замены получается линейное уравнение, которое можно решить вышеизложенным способом.

4. Уравнение Рикатти.

Уравнение Рикатти, то есть уравнение $$y'+a(x)y+b(x)y^2=c(x),$$ в общем случае не решается в квадратурах. Если же известно одно частное решение  $y_1(x),$ то заменой $y=y_1(x)+z$ уравнение Рикатти сводится к уравнению Бернулли и таким образом может быть решено в квадратурах.

Иногда частное решение удобно подобрать, исходя из вида свободного члена уравнения (члена, не содержащего $y$). Например, для уравнения $y'+y^2=x^2-2x$ в левой части будут члены, подобные членам в правой части, если взять $y=ax+b.$ Подставляя в уравнение и приравнивая коэффициенты при подобных членах, найдем $a$ и $b$ (если частное решение указанного вида существует, что вовсе не всегда бывает). Другой пример: для уравнения $y'+2y^2=\frac{6}{x^2}$ те же рассуждения побуждают нас искать частное решение в виде  $y=\frac{a}{x}.$ Подставляя $y=\frac{a}{x}$ в уравнение, найдем постоянную $a.$