Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и к ним сводящиеся.

Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика". 2000.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в виде $$y'=f(x)g(y),\qquad\qquad\qquad(1)$$ а также в виде  $$M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0.\qquad\qquad\qquad(2)$$ Для решения этого уравнения его нужно преобразовать таким образом, чтобы в одну часть уравнения входило  только $x,$ а в другую только $y,$ а затем проинтегрировать обе части.

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестные $x$ и $y,$ могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль.

Пример.  Решить уравнение $$x^2y^2y'+1=y.$$

Решение.

Преобразуем заданное уравнение к виду (2).

$$x^2y^2\frac{dx}{dy}=y-1;\qquad\qquad x^2y^2dy=(y-1)dx.$$

Делим обе части уравнения на $x^2(y-1):$

$$\frac{y^2}{y-1}dy=\frac{dx}{x^2}.$$

Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:

$$\int\frac{y^2}{y-1}dy=\int\frac{dx}{x^2}.$$

$$\int\frac{y^2}{y-1}dy=\int\frac{y^2-1+1}{y-1}dy=\int\left(y+1+\frac{1}{y-1}\right)dy=\frac{y^2}{2}+y+\ln|y-1|+C.$$

$$\int\frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}+C.$$

Таким образом,

$$\frac{y^2}{2}+y+\ln|y-1|=-\frac{1}{x}+C.$$

При делении на $x^2(y-1)$ могли быть потеряны решения $x=0$ и $y-1=0,$ то есть $y=1.$ Если подставить эти значения в условие, то становится очевидно, что $y=1$ - решение заданного уравнения, а  $x=0$ - нет.

Ответ: $\frac{y^2}{2}+y+\ln|y-1|=-\frac{1}{x}+C,$ $y=1.$

Уравнения сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.

Уравнения вида $y'=f(ax+by)$ приводится к уравнениям с разделяющейся переменной заменой $z=ax+by$ (или $z=ax+by+c,$ где $c- $ любое). 

Примеры.

65. $y'=\sqrt{4x+2y-1}.$

Решение.

Сделаем замену переменных.

$z=4x+2y-1.$ Отсюда $y=\frac{1}{2}(z-4x+1)\Rightarrow y'=\frac{1}{2}z'-2$

Получаем $$\frac{1}{2}z'-2=\sqrt{z}$$

Преобразуем данное уравнение к виду (2).

$$\frac{dz}{2dx}=\sqrt{z}+2\Rightarrow \frac{dz}{\sqrt z+2}=2dx$$

Интегрируем  обе части уравнения:

$$\int\frac{dz}{\sqrt z+2}=\int 2dx$$

$$\int\frac{dz}{\sqrt z+2}=[z=t^2\qquad dz=2tdt]=\int\frac{2tdt}{t+2}=2\int\frac{t+2-2}{t+2}dt=2(t-2\ln|t+2|)+C=$$ $$=2(\sqrt z-2\ln|\sqrt z+2|)+C=2(\sqrt{4x+2y-1}-2\ln|\sqrt{4x+2y-1}+2|)+С.$$

$$\int 2dx=2x+C.$$

Таким образом, получили 

$$2(\sqrt{4x+2y-1}-2\ln|\sqrt{4x+2y-1}+2|)=2x+C\Rightarrow \sqrt{4x+2y-1}-\ln(\sqrt{4x+2y-1}+2)=x+C.$$

Ответ: $$\sqrt{4x+2y-1}-\ln(\sqrt{4x+2y-1}+2)=x+C..$$