Последовательность. Ограниченность и монотонность последовательности. Предел последовательности. 

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Последовательностью действительных чисел называется функция $f: N\rightarrow R$ определенная на множестве всех натуральных чисел. Число $f(n)$ называется $n$-м членом последовательности $x_n,$ а формула $x_n=f(n)$ называется формулой общего члена последовательности $(x_n)_{n\in N}.$

Число $a$ называется пределом последовательности $(x_n)_{n\in N}$ то есть если для любого $\varepsilon>0$ существует номер $N(\varepsilon)$ такой, что при $n>N(\varepsilon)$ выполняется неравенство $|x_{n+p}-x_n|<\varepsilon.$ При этом сама последовательность нзывается сходящейся. 

Критерий Коши.

Для того чтобы последовательность $(x_n)_{n\in N}$ имела предел необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon>0$ существовал номер $N(\varepsilon)$ такой, что при $n>N(\varepsilon)$ выполняется неравенство $|x_{n+p}-x_n|<\varepsilon$ для любого $p\in N.$

Последовательность $(x_n)_{n\in N}$ называется бесконечно малой, если $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}=0.$

Последовательность $(x_n)_{n\in N}$ называется бесконечно большой (сходящейся к бесконечности), что записыватся в виде $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}=\infty,$ если для любого числа $E>0$ существует номер $N(E)$ такой, что при $n>N(E)$ выполняется неравенство $|x_n|>E.$ Если при этом начиная с некоторого номера, все члены положительны (отрицательны) то используется запись

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}=+\infty\qquad  \lim\limits_{n\rightarrow\infty}=-\infty$$

Число $a$ называется предельной точкой последовательности $(x_n)_{n\in N}$ если для любого $\varepsilon>0$ найдется бесконечно большое число членов этой последовательности, удовлетворяющих условию $|x_n-a|<\varepsilon.$

Принцип Больцано-Вейерштрасса.

Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.

Наибольшая (наименьшая) из предельных точек последовательности $(x_n)_{n\in N}$ назывется верхним (нижним) пределом этой последовательности и обозначается символом 

$\varlimsup\limits_{n\rightarrow\infty}x_n$ (${\varliminf\limits_{n\rightarrow\infty}}x_n$).

Примеры.

В задачах 1.213, 1.215 написать первые пять членов последовательности:

1.213. $x_n=1+(-1)^{n}\frac{1}{n}. $

Решение.

$x_1=1+(-1)^1\frac{1}{1}=1-1=0;$

$x_2=1+(-1)^2\frac{1}{2}=1+\frac{1}{2}=1,5;$

$x_3=1+(-1)^3\frac{1}{3}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3};$

$x_4=1+(-1)^4\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}=1,25;$

$x_5=1+(-1)^5\frac{1}{5}=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}=0,8.$

Ответ: $0; \,\, 1,5;\,\,\frac{2}{3};\,\, 1,25;\,\, 0,8. $

1.215. $x_n=\frac{3n+5}{2n-3}.$

Решение.

$x_1=\frac{3+5}{2-3}=-8;$

$x_2=\frac{6+5}{4-3}=11;$

$x_3=\frac{9+5}{6-3}=\frac{14}{3};$

$x_4=\frac{12+5}{8-3}=\frac{17}{5};$

$x_5=\frac{15+5}{10-3}=\frac{20}{7}.$

Ответ: $-8; \,\, 11;\,\,\frac{14}{3};\,\, \frac{17}{5};\,\, \frac{20}{7}. $

В задачах 1.217 - 1.220 написать формулу общего члена последовательности:

1.217. $-\frac{1}{2},\, \frac{1}{3},\, -\frac{1}{4},\, \frac{1}{5},...$

Решение.

Из условия запишем:

$x_1=-\frac{1}{2};$

$x_2=\frac{1}{3};$

$x_3= -\frac{1}{4};$

$x_4=\frac{1}{5};$

Продолжая данный ряд, находим общий член последовательности:

$$x_n=(-1)^n\frac{1}{n+1}.$$

Ответ: $x_n=(-1)^n\frac{1}{n+1}.$

1.218. $0, 2, 0, 2, ...$

Решение.

Из условия запишем:

$x_1=0;$

$x_2=2;$

$x_3=0;$

$x_4=2;$

...

т.е. для нечетных номеров $x_{2k-1}=0,$

а для четных $x_{2k}=2.$

Общий член последовательности можно записать как $x_n=1+(-1)^n.$

Ответ: $x_n=1+(-1)^n.$

1.220. $1, 0, -3, 0, 5, 0, -7, 0, ...$

Решение.

Из условия запишем:

$x_1=1;$

$x_2=0;$

$x_3=-3;$

$x_4=0;$

...

т. е. для нечетных $x_{2k-1}=(2k-1)(-1)^{k+1};$ либо $x_m=m(-1)^{\frac{m+1}{2}}=m\cos\frac{m-1}{2}\pi$

а для четных $x_{2k}=0$ либо $x_m=m\cos\frac{\pi(m-1)}{2}.$

Общий член последовательности можно записать как $x_n=n\cos\frac{\pi(n-1)}{2}.$

Ответ: $x_n=n\cos\frac{\pi(n-1)}{2}.$

В задачах 1.223-1.228 найти наибольший (наименьший) член ограниченной сверху (снизу) последовательности $(x_n)_{n\in N}.$

1.223. $x_n=6n-n^2-5.$

Решение.

Очевидно, что $6n-n^2=n(6-n)<0$ для всех $n\geq 6,$ соответственно $6n-n^2-5<-5.$ Запишем несколько первых членов последовательности:

$x_1=6-1-5=0;$

$x_2=12-4-5=3;$

$x_3=18-9-5=4;$

$x_4=24-16-5=3;$

$x_5=30-25-5=0;$

$x_6=36-36-5=-5;$

$x_7=42-49-5=-12$

...

Наибольший член последовательности $x_3=4.$

Ответ: $4.$

1.228. $x_n=-\frac{n^2}{2^n}.$

Решение.

Запишем несколько первых членов последовательности:

$x_1=-\frac{1}{2};$

$x_2=-\frac{4}{4}=-1;$

$x_3=-\frac{9}{8};$

$x_4=-\frac{16}{16}=-1;$

$x_5=-\frac{25}{32};$

$x_6=-\frac{36}{64};$

......

Покажем, что для всех $n\geq 3$ выполняется неравенство $|x_{n+1}|<|x_n|:$

$$\frac{n^2}{2^n}>\frac{(n+1)}{2^{n+1}}=\frac{n^2+2n+1}{2^{n+1}}=\frac{n^2}{2\cdot 2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\frac{n^2}{2^{n+1}}>\frac{n+1}{2^{n+1}}\Rightarrow n^2>n+1\Rightarrow n>1+\frac{1}{n}.$$

Это неравенство выполняется для всех $n>2.$ Таким образом, последовательность $x_n=-\frac{n^2}{2^n}$ начиная с третьего члена монотонно возрастает и для всех членов последовательности выполняется неравенство $-\frac{9}{8}\leq x_n<0.$

Наименьший член последовательности $x_3=-\frac{9}{8}.$

Ответ: $x_3=-\frac{9}{8}.$

1.229. Используя логическую символику записать следующие высказывания, а так же их отрицания:

а) последовательность ограничена;

Решение.

Последовательность ограничена:

$$\exists A>0;\,\,\, \forall n\in N (|x_n|\leq A).$$

Отрицание -- последовательность неограничена:

$$\forall A>0;\,\,\, \exists n\in N (|x_n|>A).$$

Ответ: $\exists A>0;\,\,\, \forall n\in N (|x_n|\leq A);$ $\forall A>0;\,\,\, \exists n\in N (|x_n|>A).$

б) последовательность монотонно возрастает; 

Решение.

Последовательность монотонно возрастает:

$$ \forall n\in N (x_n< x_{n+1}).$$

Отрицание:

$$\exists n\in N (x_n\geq x_{n+1}).$$

Ответ: $ \forall n\in N (x_n< x_{n+1});$ $\exists n\in N (x_n\geq x_{n+1}).$

д) число $a$ есть предельная точка последовательности.

Решение.

Число $a$ есть предельная точка последовательности:

$$\forall\varepsilon>0 \exists n\in N (|x_n-a|< \varepsilon).$$

Отрицание:

$$\exists\varepsilon>0 \forall n\in N (|x_n-a|\geq \varepsilon).$$

Ответ: $\forall\varepsilon>0 \exists n\in N (|x_n-a|< \varepsilon);$ $\exists\varepsilon>0 \forall n\in N (|x_n-a|\geq \varepsilon).$