Рейтинг:   / 5
ПлохоОтлично 

Вычисление дифференциалов высших порядков.

 

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Рассмотрим дифференциал $dy(x, dx)=f'(x) dx$, как функцию $x$ при фиксированном  $dx. $ Предполагая, что функция $y=f(x)$ дважды дифференцируема в точке $x,$ найдем дифференциал от $dy(x, dx):$

$$d(dy(x, dx))=f''(x)dxdx$$ 

Значение полученного выражения называется вторым дифференциалом или дифферениалом второго порядка функции $y=f(x)$ и обозначается символом $d^2y(x, dx).$

Таким образом, $$d^2y=f''(x)dx^2$$

Аналогично,

$$d^3y=d(d^2y)=f'''(x)dx^3$$

$$.................$$

$$d^ny=d(d^{n-1}y)=f^{(n)}(x)dx^n$$ 

Примеры:

Найти дифференциалы 2-го порядка указанных функций:

5.303. $y=a\sin(bx+c).$

Решение.

$y'(x)=(a\sin(bx+c))'=a\cos(bx+c)(bx+c)'=ab\cos(bx+c);$

$y''(x)=(ab\cos(bx+c))'=-ab\sin(bx+c)(bx+c)'=-ab^2\sin(bx+c).$

Для вычисления диффренциала второго порядка известна формула 

$$d^2y=f''(x)dx^2.$$

Таким образом, получаем 

$$d^2y=-ab^2\sin(bx+c)dx^2.$$

Ответ: $d^2y=-ab^2\sin(bx+c)dx^2.$

 

5.305. $y=\frac{\sin x}{x}.$

Решение.

$$y'=\left(\frac{\sin x}{x}\right)'=\frac{(\sin x)' x-\sin x x'}{x^2}=\frac{x\cos x -\sin x}{x^2}.$$

$$y''=\left(\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}\right)'=\frac{(x\cos x-\sin x)' x^2-(x\cos x-\sin x) (x^2)'}{x^4}=$$

$$=\frac{(x'\cos x+x(\cos x)'-(\sin x)') x^2-(x\cos x-\sin x) 2x}{x^4}=$$ $$=\frac{(\cos x-x\sin x-\cos x)x^2-2x^2\cos x+2x\sin x}{x^4}=$$ $$=\frac{-x^3\sin x-2x^2\cos x+2x\sin x}{x^4}=\frac{-x^2\sin x-2x\cos x+2\sin x}{x^3}.$$

Для вычисления диффренциала второго порядка известна формула 

$$d^2y=f''(x)dx^2.$$

Таким образом, получаем 

$$d^2y=\frac{-2x\cos x+(2-x^2)\sin x}{x^3}dx^2.$$

Ответ$d^2y=\frac{-2x\cos x+(2-x^2)\sin x}{x^3}dx^2.$

 

5.307. $y=\frac{1}{x^2-3x+2}$

Решение.

Найдем $y'':$

 $$y'=\left(\frac{1}{x^2-3x+2}\right)'=\left((x^2-3x+2)^{-1}\right)'=$$ $$=-(x^2-3x+2)^{-2}(x^2-3x+2)'=-(x^2-3x+2)^{-2}(2x-3).$$

 

$$y''=(-(x^2-3x+2)^{-2}(2x-3))'=$$ $$=-((x^2-3x+2)^{-2})'(2x-3)-(x^2-3x+2)^{-2}(2x-3)'=$$

$$=-(-2)(x^2-3x+2)^{-3}(x^2-3x+2)'(2x-3)-(x^2-3x+2)^{-2}2=$$ $$=2(x^2-3x+2)^{-3}(2x-3)^2-2(x^2-3x+2)^{-2}=$$ $$=2\frac{(2x-3)^2}{(x^2-3x+2)^3}-2\frac{1}{(x^2-3x+2)^2}=$$ $$=2\frac{4x^2-12x+9-x^2+3x-2}{(x^2-3x+2)^3}=2\frac{3x^2-9x+7}{(x^2-3x+2)^3}.$$

Диффренциала второго порядка находим по формуле 

$$d^2y=f''(x)dx^2.$$

Таким образом, получаем

$$d^2y=2\frac{3x^2-9x+7}{(x^2-3x+2)^3}dx^2.$$

Ответ$d^2y=2\frac{3x^2-9x+7}{(x^2-3x+2)^3}dx^2.$

 

Найти дифференциалы 2-го порядка следующих неявно заданных функций $y=y(x):$

5.312. $xy+y^2=1.$

Решение.

Найдем $dy:$

$$d(xy+y^2)=d(1)\Rightarrow$$

$$ydx+xdy+d(y^2)=0\Rightarrow$$

$$ydx+xdy+2ydy=0\Rightarrow dy=-\frac{y}{x+2y}dx.$$

Далее найдем $d^2y:$

$$d(dy)=d\left(-\frac{y}{x+2y}\right)dx=-\frac{dy(x+2y)-y(d(x+2y))}{(x+2y)^2}dx=$$

$$=-\frac{(x+2y)dy-ydx-2ydy}{(x+2y)^2}dx=$$ $$=-\frac{(x+2y)\frac{-y}{(x+2y)}dx-ydx-2y\frac{-y}{x+2y}dx}{(x+2y)^2}dx=\frac{2y-\frac{2y^2}{x+2y}}{(x+2y)^2}dx^2=$$ $$=\frac{2y(x+2y)-2y^2}{(x+2y)^3}dx^2=\frac{2xy+2y^2}{(x+2y)^3}dx^2=2\frac{xy+y^2}{(x+2y)^3}dx^2.$$

Подставляя данные из условия $xy+y^2=1,$ окончательно получаем 

$$d^2y=\frac{2}{(x+2y)^3}dx^2.$$

Ответ: $d^2y=\frac{2}{(x+2y)^3}dx^2.$

 

5.315. $x=y-a\sin y.$

Решение.

Найдем $y''(x),$ как производную функции, заданной неявно:

$F(x,y)=x-y+a\sin y=0;$

$F'(x,y)=(x-y+a\sin y)'=1-y'+a\cos y y'=0\Rightarrow y'=\frac{1}{1-a\cos y};$

$$F''(x,y)=(1-y'+ay'\cos y)'=-y''+ay''\cos y-ay'\sin y y'=$$ $$=y''(a\cos y-1)-a\left(\frac{1}{1-a\cos y}\right)^2\sin y=0\Rightarrow $$ $$\Rightarrow y''=\frac{a\sin y\left(\frac{1}{1-a\cos y}\right)^2}{a\cos y-1}=\frac{-a\sin y}{(1-a\cos y)^3}.$$

Таким образом, 

 $$d^2y=y''(x)dx^2=\frac{-a\sin y}{(1-a\cos y)^3}dx^2.$$

Ответ: $d^2y=\frac{-a\sin y}{(1-a\cos y)^3}dx^2.$

 

Домашнее задание: 

Найти дифференциалы 2-го порядка указанных функций:

5.304. $y=3^{-x^2}.$

Ответ: $3^{-x^2}\ln 9(2x^2\ln 3-1)dx^2$

 

5.306. $y=ax^2+bx+c.$

Ответ: $2adx^2$

 

 

5.308. $y=\sqrt{1-x^2}\arcsin x.$

Ответ: $-\frac{\sqrt{1-x^2}\cdot x+\arcsin x }{(1-x^2)^{3/2}}dx^2$

 

5.310. $y=\arcsin(a\sin x).$

Ответ: $-\frac{a(1+a^2)\sin x }{(1+a^2\sin^2 x)^{3/2}}dx^2$

 

Найти дифференциалы 2-го порядка следующих неявно заданных функций $y=y(x):$

5.313. $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2.$

Ответ: $-\frac{R^2 }{(y-b)^{3}}dx^2$

 

 

5.314. $x^3+y^3=y.$

Ответ: $6\frac{x(1+3y^2)}{(1-3y^2)^{3}}dx^2.$

 

 

 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить