Вычисление дифференциалов высших порядков.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Рассмотрим дифференциал $dy(x, dx)=f'(x) dx$, как функцию $x$ при фиксированном $dx. $ Предполагая, что функция $y=f(x)$ дважды дифференцируема в точке $x,$ найдем дифференциал от $dy(x, dx):$
$$d(dy(x, dx))=f''(x)dxdx$$
Значение полученного выражения называется вторым дифференциалом или дифферениалом второго порядка функции $y=f(x)$ и обозначается символом $d^2y(x, dx).$
Таким образом, $$d^2y=f''(x)dx^2$$
Аналогично,
$$d^3y=d(d^2y)=f'''(x)dx^3$$
$$.................$$
$$d^ny=d(d^{n-1}y)=f^{(n)}(x)dx^n$$
Примеры:
Найти дифференциалы 2-го порядка указанных функций:
5.303. $y=a\sin(bx+c).$
Решение.
$y'(x)=(a\sin(bx+c))'=a\cos(bx+c)(bx+c)'=ab\cos(bx+c);$
$y''(x)=(ab\cos(bx+c))'=-ab\sin(bx+c)(bx+c)'=-ab^2\sin(bx+c).$
Для вычисления диффренциала второго порядка известна формула
$$d^2y=f''(x)dx^2.$$
Таким образом, получаем
$$d^2y=-ab^2\sin(bx+c)dx^2.$$
Ответ: $d^2y=-ab^2\sin(bx+c)dx^2.$
5.305. $y=\frac{\sin x}{x}.$
Решение.
$$y'=\left(\frac{\sin x}{x}\right)'=\frac{(\sin x)' x-\sin x x'}{x^2}=\frac{x\cos x -\sin x}{x^2}.$$
$$y''=\left(\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}\right)'=\frac{(x\cos x-\sin x)' x^2-(x\cos x-\sin x) (x^2)'}{x^4}=$$
$$=\frac{(x'\cos x+x(\cos x)'-(\sin x)') x^2-(x\cos x-\sin x) 2x}{x^4}=$$ $$=\frac{(\cos x-x\sin x-\cos x)x^2-2x^2\cos x+2x\sin x}{x^4}=$$ $$=\frac{-x^3\sin x-2x^2\cos x+2x\sin x}{x^4}=\frac{-x^2\sin x-2x\cos x+2\sin x}{x^3}.$$
Для вычисления диффренциала второго порядка известна формула
$$d^2y=f''(x)dx^2.$$
Таким образом, получаем
$$d^2y=\frac{-2x\cos x+(2-x^2)\sin x}{x^3}dx^2.$$
Ответ: $d^2y=\frac{-2x\cos x+(2-x^2)\sin x}{x^3}dx^2.$
5.307. $y=\frac{1}{x^2-3x+2}$
Решение.
Найдем $y'':$
$$y'=\left(\frac{1}{x^2-3x+2}\right)'=\left((x^2-3x+2)^{-1}\right)'=$$ $$=-(x^2-3x+2)^{-2}(x^2-3x+2)'=-(x^2-3x+2)^{-2}(2x-3).$$
$$y''=(-(x^2-3x+2)^{-2}(2x-3))'=$$ $$=-((x^2-3x+2)^{-2})'(2x-3)-(x^2-3x+2)^{-2}(2x-3)'=$$
$$=-(-2)(x^2-3x+2)^{-3}(x^2-3x+2)'(2x-3)-(x^2-3x+2)^{-2}2=$$ $$=2(x^2-3x+2)^{-3}(2x-3)^2-2(x^2-3x+2)^{-2}=$$ $$=2\frac{(2x-3)^2}{(x^2-3x+2)^3}-2\frac{1}{(x^2-3x+2)^2}=$$ $$=2\frac{4x^2-12x+9-x^2+3x-2}{(x^2-3x+2)^3}=2\frac{3x^2-9x+7}{(x^2-3x+2)^3}.$$
Диффренциала второго порядка находим по формуле
$$d^2y=f''(x)dx^2.$$
Таким образом, получаем
$$d^2y=2\frac{3x^2-9x+7}{(x^2-3x+2)^3}dx^2.$$
Ответ: $d^2y=2\frac{3x^2-9x+7}{(x^2-3x+2)^3}dx^2.$
Найти дифференциалы 2-го порядка следующих неявно заданных функций $y=y(x):$
5.312. $xy+y^2=1.$
Решение.
Найдем $dy:$
$$d(xy+y^2)=d(1)\Rightarrow$$
$$ydx+xdy+d(y^2)=0\Rightarrow$$
$$ydx+xdy+2ydy=0\Rightarrow dy=-\frac{y}{x+2y}dx.$$
Далее найдем $d^2y:$
$$d(dy)=d\left(-\frac{y}{x+2y}\right)dx=-\frac{dy(x+2y)-y(d(x+2y))}{(x+2y)^2}dx=$$
$$=-\frac{(x+2y)dy-ydx-2ydy}{(x+2y)^2}dx=$$ $$=-\frac{(x+2y)\frac{-y}{(x+2y)}dx-ydx-2y\frac{-y}{x+2y}dx}{(x+2y)^2}dx=\frac{2y-\frac{2y^2}{x+2y}}{(x+2y)^2}dx^2=$$ $$=\frac{2y(x+2y)-2y^2}{(x+2y)^3}dx^2=\frac{2xy+2y^2}{(x+2y)^3}dx^2=2\frac{xy+y^2}{(x+2y)^3}dx^2.$$
Подставляя данные из условия $xy+y^2=1,$ окончательно получаем
$$d^2y=\frac{2}{(x+2y)^3}dx^2.$$
Ответ: $d^2y=\frac{2}{(x+2y)^3}dx^2.$
5.315. $x=y-a\sin y.$
Решение.
Найдем $y''(x),$ как производную функции, заданной неявно:
$F(x,y)=x-y+a\sin y=0;$
$F'(x,y)=(x-y+a\sin y)'=1-y'+a\cos y y'=0\Rightarrow y'=\frac{1}{1-a\cos y};$
$$F''(x,y)=(1-y'+ay'\cos y)'=-y''+ay''\cos y-ay'\sin y y'=$$ $$=y''(a\cos y-1)-a\left(\frac{1}{1-a\cos y}\right)^2\sin y=0\Rightarrow $$ $$\Rightarrow y''=\frac{a\sin y\left(\frac{1}{1-a\cos y}\right)^2}{a\cos y-1}=\frac{-a\sin y}{(1-a\cos y)^3}.$$
Таким образом,
$$d^2y=y''(x)dx^2=\frac{-a\sin y}{(1-a\cos y)^3}dx^2.$$
Ответ: $d^2y=\frac{-a\sin y}{(1-a\cos y)^3}dx^2.$
Домашнее задание:
Найти дифференциалы 2-го порядка указанных функций:
5.304. $y=3^{-x^2}.$
Ответ: $3^{-x^2}\ln 9(2x^2\ln 3-1)dx^2$
5.306. $y=ax^2+bx+c.$
Ответ: $2adx^2$
5.308. $y=\sqrt{1-x^2}\arcsin x.$
Ответ: $-\frac{\sqrt{1-x^2}\cdot x+\arcsin x }{(1-x^2)^{3/2}}dx^2$
5.310. $y=\arcsin(a\sin x).$
Ответ: $-\frac{a(1+a^2)\sin x }{(1+a^2\sin^2 x)^{3/2}}dx^2$
Найти дифференциалы 2-го порядка следующих неявно заданных функций $y=y(x):$
5.313. $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2.$
Ответ: $-\frac{R^2 }{(y-b)^{3}}dx^2$
5.314. $x^3+y^3=y.$
Ответ: $6\frac{x(1+3y^2)}{(1-3y^2)^{3}}dx^2.$