Ряды с неотрицательными членами.
Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ с неотрицательными членами $(a_n\geq 0, n\in \mathbb{N})$ сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху, то есть существует число $M>0$ такое, что для каждого $n\in\mathbb{N}$ выполняется неравенство $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\leq M.$
Признаки сравнения.
1. Если существует номер $n_0$ такой, что для всех $n\geq n_0$ выполняются неравенства $0\leq a_n\leq b_n$ то из сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ следует сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n,$ а из расходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n $ следует расходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n.$
2. Если $a_n\geq 0,\,\, b_n> 0$ для всех $n\geq n_0$ и существует конечный и отличный от нуля предел $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n},$ то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ сходится или расходятся одновременно.
Пример 1.
Используя признак сравнения исследовать на сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5+3(-1)^{n+1}}{2^n}.$
Решение.
При нечетных $n, $ $a_n=\frac{8}{2^n},$ при четных - $a_n=\frac{2}{2^n}.$ Таким образом, $0<\frac{1}{2^{n-1}}<a_n<\frac{1}{2^{n-3}}.$
Заметим, что $\left\{\frac{1}{2^{n-3}}\right\}-$ геометрическая прогрессия, где $b_1= 4,\,\, q=\frac{1}{2}$. Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S=\frac{b_1}{1-q}.$ В нашем случае $S=\frac{4}{1/2}=8.$ Следовательно ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-3}}$ сходится. По первому признаку сходимости отсюда следует, что $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5+3(-1)^{n+1}}{2^n}$ также сходится.
Пример 2.
Используя признак сравнения исследовать на сходимость $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin\frac{3+(-1)^{n}}{n^2}.$
Решение.
При нечетных $n, $ $a_n=\sin\frac{2}{n^2},$ при четных - $a_n=\sin\frac{4}{n^2}.$ Таким образом $0<\sin\frac{2}{n^2}<\sin\frac{3+(-1)^{n}}{n^2}<\sin\frac{4}{n^2}.$
Заметим, что при $\lim\limits_{n\rightarrow}\frac{\sin\frac{4}{n^2}}{\frac{4}{n^2}}=1.$ То есть ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin\frac{4}{n^2}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^2}$ сходятся и расходятся одновременно. Рассмотрим ряд $\frac{4}{n^2}:$
$$\frac{4}{n^2}\leq\frac{4}{n(n-1)}=-\frac{4}{n}+\frac{4}{n-1}=4\left(-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}\right).$$
Таким образом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^2}=4(-1/2+1-1/3+1/2-1/4+1/3-...)$ $S_n=4(1-\frac{1}{n}),\quad S=\lim\limits_{n\rightarrow\infty} S_n=4<\infty$ Следовательно ряд сходится. Отсюда, по признаку сходимости следует что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin\frac{3+(-1)^{n}}{n^2}$ также сходится.
Интегральный признак сходимости ряда.
Если функция $f(x)$ неотрицательна и убывает на промежутке $[a,+\infty),$ где $a\geq 1,$ то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(n)$ и интеграл $\int\limits_{a}^{+\infty}f(x)dx$ сходятся и расходятся одновременно.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(1+n)\sqrt{n}}.$
Решение.
Воспользуемся интегральным признаком сходимости. Рассмотрим интеграл $\int\limits_1^{+\infty}\frac{1}{(1+x)\sqrt{x}}:$
$\int\limits_1^{+\infty}\frac{1}{(1+x)\sqrt {x}}=[t=\sqrt{x};\,\,\, dx=2tdt]=\lim\limits_{A\rightarrow +\infty}\int\limits_1^A\frac{2tdt}{t(1+t^2)}=\lim\limits_{A\rightarrow +\infty}2 arctg t|_1^A=$ $=2\cdot\frac{\pi}{2}-2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.$
То есть интеграл $\int\limits_1^{+\infty}\frac{1}{(1+x)\sqrt{x}}$ сходится. По интегральному признаку сходимости рядов отсюда следует, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(1+n)\sqrt{n}}$ так же сходится.
Признаки Kоши и Даламбера.
Признак Даламбера.
Если для ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n,$ $a_n>0$ $(n\in\mathbb{N}),$ существует предел $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= \lambda$ то при $\lambda<1$ ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится, при $\lambda>1$ расходится. При $\lambda=1$ ряд может и сходится и расходится.
Признак Коши.
Если для ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n,$ $a_n\geq 0$ $(n\in\mathbb{N}),$ существует предел $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lambda$ то при $\lambda<1$ ряд сходится, при $\lambda>1$ расходится.
Примеры.
1. Исследовать на сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ используя признак Даламбера.
$a_n=\frac{n^{10}}{(n+1)!}$
Решение.
$a_{n+1}=\frac{(n+1)^{10}}{(n+1)!(n+2)}$
$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+1)^{10}(n+1)!}{(n+1)!(n+2)n^{10}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+1)^{10}}{n^{10}(n+2)}=$$ $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{10}(1+1/n)^{10}}{n^{10}(n+2)}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{(1+1/n)^{10}}{n+2}=0<1.$$
Следовательно ряд сходится.
2. Исследовать на сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$
используя признак Коши.
$a_n=3^{n+1}\left(\frac{n+2}{n+3}\right)^{n^2}$
Решение.
$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}3\sqrt[n]{3}\left(\frac{n+2}{n+3}\right)^n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}3\sqrt[n]{3}\left(\frac{n+3-1}{n+3}\right)^n=$$ $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}3\sqrt[n]{3}\left(\left(1-\frac{1}{n+3}\right)^{-(n+3)+3}\right)^{-1}=\frac{3}{e}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n+3}\right)^{-3}=\frac{3}{e}.$$
Признаки Раабе и Гаусса.
Признак Раабе.
Если $a_n>0 \,\, (n\in \mathbb{N})$ и существует предел $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=q,$ то при $q>1$ ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится а при $q<1$ расходится.
Признак Гаусса.
Если $a_n>0\,\,\, (n\in \mathbb{N})$ и $\frac{a_n}{a_{n+1}}=\alpha+\frac{\beta}{n}+\frac{\gamma_n}{n^{1+\delta}},$ где $|\gamma_n|< C< \delta>0, $ то
а) при $\alpha>1$ ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится, а при $\alpha<1$ - расходится
б) при $\alpha=1$ ряд сходится если $\beta>1$ и ряд расходится если $\beta\leq 1$
Примеры.
1. Исследовать на сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ используя признак Раабе или признак Гаусса.
$a_n=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$
Решение.
Будем использовать признак Раабе.
$$a_{n+1}=\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}=\frac{(2n-1)!!(2n+1)}{(2n)!!(2n+2)}=a_n\frac{2n+1}{2n+2}.$$
$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} n\left(n(\frac{a_n}{a_{n+1}-1})\right)= \lim\limits_{n\rightarrow\infty}n\left(\frac{2n+2}{2n+1}-1\right)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}n\left(\frac{2n+2-2n-1}{2n+1}\right)=$$ $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}<1.$$
Следовательно, ряд расходится.
2. Исследовать на сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ используя признак Раабе или признак Гаусса.
$a_n=\left(\frac{(a+1)(a+2)...(a+n)}{(b+1)(b+2)...(b+n)}\right)^{\alpha}$
Решение.
Будем применять признак Гаусса.
$$a_{n+1}=\left(\frac{(a+1)(a+2)...(a+n+1)}{(b+1)(b+2)...(b+n+1)}\right)^{\alpha}=a_n\left(\frac{(a+n+1}{b+n+1}\right)^{\alpha}.$$
$$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\left(\frac{b+n+1}{a+n+1}\right)^{\alpha}=\left(1+\frac{b-a}{a+n+1}\right)^{\alpha}=1+\alpha\frac{b-a}{a+n+1}+$$ $$\alpha(\alpha-1)\frac{1}{2}\left(\frac{b-a}{a+n+1}\right)^2+...$$
Следовательно ряд сходится если $\alpha(b-1)>1$ и расходится, если $\alpha(b-a)\leq 1.$
Знакочередующиеся ряды.
Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n= a_1-a_2+a_3+...,$ где $a_n\geq 0$ или $a_n\leq 0$ для всех $n\in \mathbb{N}$ называют знакочередующимся.
Признак Лейбница.
Если $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ и для каждого $n\in \mathbb{N}$ выполняется $a_n\geq a_{n+1}>0$ , то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n$ сходится. При этом $|S-S_n|\leq a_{n+1},$ где $S$ и $S_n$ соответственно сумма и $n$-я частичная сумма ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n.$
Примеры.
1. Исследовать на сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n+1}}.$
Решение.
Воспользуемся признаком Лейбница. Поскольку последовательность $\left\{\frac{1}{\sqrt[3]{n+1}}\right\}$ убывает и стремится к 0 при $n\rightarrow\infty,$ то по признаку Лейбница ряд сходится.
Домашнее задание.
Исследовать на сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$.
1)$a_n=\frac{1}{n^{\alpha}}$ при всех значениях параметра $\alpha.$
2) $a_n=\frac{n^3}{3^n}.$
3) $a_n=\frac{1\cdot5\cdot8\cdot...\cdot(3n-1)}{1\cdot6\cdot11\cdot...\cdot(5n-4)}.$
4) $a_n=\left(\frac{3}{n}\right)^n.$
5) $a_n=\left(\frac{n^2+5}{n^2+6}\right)^{n^3}.$
6) $a_n=\left(\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}\right)^{\alpha}\frac{1}{n^{\beta}}$ при всех значениях $\alpha$ и $\beta.$
7) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\ln n}{\sqrt{n}}.$