Формула Тейлора.

Определение. Пусть функция $f(z)$ определена в окрестности точки $x_0$ и имеет в этой окрестности производные до $(n-1)$ порядка включительно, и пусть существует $f^{(n)}(x_0).$ Тогда 

$$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+$$ $$+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)$$ при $x\rightarrow x_0. $

То есть $$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n),\qquad x\rightarrow x_0.$$

Многочлен $P_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k $ - многочлен Тейлора. $r_n=f(x)-P_n(x)$ - остаточный член $n$-го порядка формулы Тейлора.

При $x_0=0$ $f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+o(x^n) -$  формула Маклорена.

Формулы Тейлора в окрестности точки $x_0=0$ для основных элементарных функций.

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+o(x^n);\quad x\rightarrow 0$$

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...+\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2}); \quad x\rightarrow 0$$

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1});\quad x\rightarrow 0$$

$$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+...+$$ $$+\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-(n-1))}{n!}x^n+o(x^n);\quad x\rightarrow 0$$

$$\frac{1}{1+x}=\sum\limits_{k=0}^n (-1)^kx^k+o(x^n);\quad x\rightarrow 0$$

$$\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{k=0}^n x^k+o(x^n);\quad x\rightarrow 0$$

$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...+\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+o(x^n);\quad x\rightarrow 0$$

$$\ln(1-x)=-\sum\limits_{k=0}^n \frac{x^k}{k}+o(x^n)\quad x\rightarrow 0.$$

$$tg x = x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{15}+\overline{o}(x^5) \quad x\rightarrow 0$$

$$\arcsin x = x+\sum\limits_{k=1}^n\frac{(2k-1)!!}{2^k k!(2k+1)}x^{2k+1}+\overline{o}(x^{2n+2}), \quad x\rightarrow 0$$

Примеры.

Разложить по формуле Маклорена до $o(x^n)$ функции

${\bf 1. e^{5x-1}}$

Решение.

$$e^{5x-1}=\frac{e^{5x}}{e}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{(5x)^k}{k!e}+o(x^n).$$

${\bf 2. \sin(2x+3)}$

Решение.

$$\sin(2x+3)=\sin 2x\cos 3+\sin 3\cos 2x=$$

$$\cos 3\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\frac{(2x)^{2k+1}}{(2k+1)!}+\sin 3\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\frac{(2x)^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2n+1})$$

${\bf 3.}\cos\left(\frac{x}{2}+2\right)$

Решение.

$$\cos^{(k)}\left(\frac{x}{2}+2\right)=\frac{1}{2^k}\cos\left(\frac{x}{2}+2+\frac{\pi}{2}k\right)$$

$$\cos\left(\frac{x}{2}+2\right)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{2^k}\frac{\cos(2+\frac{\pi}{2}k)}{k!}x^k+o(x^k).$$

${\bf 4. \frac{1}{1-2x}}$

Решение.

$$\frac{1}{1-2x}=\sum\limits_{k=0}^n 2^kx^k+o(x^n).$$

${\bf 5. \frac{1}{3x+4}}$

Решение.

$$\frac{1}{3x+4}=\frac{1}{4}\frac{1}{\frac{3}{4}x+1}=\frac{1}{4}\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\left(\frac{3}{4}\right)^kx^k+o(x^n).$$

Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора.

Пусть требуется найти $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)},$ где $f(0)=g(0)=0.$ Предполагая, что функции $f(x)$ и $g(x)$ можно разложить по формуле Маклорена, ограничимся
первыми отличными от нуля членами в разложении этих функций:

$f(x)=ax^n+o(x^n),$ $a\neq 0,$   $g(x)=bx^m+o(x^m),$ $b\neq 0.$
Если $m=n,$ то 

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{ax^n+o(x^n)}{bx^n+o(x^n)}=\frac{a}{b};$$  

Если $n>m$ , то $$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=0;$$  

если же $m>n$ ,то $$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty.$$  

Примеры.

Вычислить пределы, используя формулу Тейлора.

1. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1+x)-x}{x^2}.$

Решение.

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1+x)-x}{x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x-\frac{x^2}{2}-x}{x^2}=-\frac{1}{2}.$$

 {jumi[*4]}

2. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}.$

Решение.

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1+x+\frac{x^2}{2}-1-x}{x^2}=\frac{1}{2}.$$

3. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1+\frac{x^2}{2}}{x^4}.$

Решение.

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1+\frac{x^2}{2}}{x^4}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-1+\frac{x^2}{2}}{x^4}=\frac{1}{24}.$$

4. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tg x-\sin x}{x^3}.$

Решение.

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tg x-\sin x}{x^3}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x+\frac{x^3}{3}-x+\frac{x^3}{3}}{x^3}=\frac{2}{3}.$$

5. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+2tg x}-e^x+x^2}{arctg x-\sin x}.$

Решение.

Разложим числитель по формуле Тейлора:

$tg x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3),\,\, x\rightarrow 0$

$2tg x=2x+\frac{2x^3}{3}+o(x^3),\,\, x\rightarrow 0$

$\sqrt{1+t}=(1+t)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}t-\frac{1}{8}t^2+\frac{1}{16}t^3+o(t^3),\,\, t\rightarrow 0;$

Таким образом, 

$$\sqrt{1+2tg x}=1+\frac{1}{2}2 tg x-\frac{1}{8}(2 tg x)^2+\frac{1}{16}(2 tg x)^3+o(tg^3x)=$$ 

$$=1+tg x-\frac{1}{2}tg^2 x+\frac{1}{2}tg^3+o(tg^3x)=$$

$$=1+x+\frac{x^3}{3}-\frac{1}{2}x^2+\frac{x^3}{2}+o(x^3)=1+x-\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{6}x^3+o(x^3).$$

Учитывая, что $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$ находим, по формуле Маклорена числитель дроби

$$\sqrt{1+2tg x}-e^x+x^2=$$ $$=1+x-\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{6}x^3-1-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}+x^2+o(x^3)=$$ $$=\frac{2}{3}x^3+o(x^3),\,\,\,x\rightarrow 0.$$  

Далее раскладываем знаменатель:

$\sin x= x-\frac{x^3}{6}+o(x^3);$

$\arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3).$

Отсюда $\arcsin x-\sin x=\frac{x^3}{3}+o(x^3).$

Таким образом, дробь представляется в виде $$\frac{\frac{2}{3}x^3+o(x^3)}{\frac{1}{3}x^3+o(x^3)}.$$

Отсюда

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+2tg x}-e^x+x^2}{arctg x-\sin x}=2.$$

Ответ: 2.