Рейтинг:   / 6
ПлохоОтлично 

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Множество действительных чисел можно рассматривать как подмножество комплексных чисел, у которых $Im z=0.$

1

Комплексное число $z=x+iy$ изображают на координатной плоскости $Oxy$ точкой с координатами $(x;y).$ Эта плоскость называется комплексной плоскостью $C$ (рисунок  1), ось $Ox$ называется действительной осью, а ось $Oy$ – мнимой осью. Таким образом, действительному числу $z=x+0i=x$ отвечает точка на действительной оси, а  мнимому числу  $z=0+iy=iy$–  точка на мнимой оси.      

Можно также изображать комплексное число в виде радиус-вектора $\{x, y\}$ и определять его, задавая его длину $r$ и угол $\varphi$ между осью $Ox$ и вектором.

Длина этого вектора называется модулем комплексного числа $$|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}\geq 0,$$а угол $\varphi$ называется аргументом комплексного числа и обозначается $Arg z.$ Аргумент определяется с точностью до слагаемого $2\pi k\,\,\,\,\, (k=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, ...)$ и для положительных значений отсчитывается от оси $Ox$ до вектора против часовой стрелки, а для отрицательных значений – по часовой стрелке.

Значение аргумента, который принадлежит интервалу $(-\pi, \pi],$ называется главным значением аргумента и определяется $arg z.$ Главное значение аргументу числа $x+iy$ можно вычислять по формуле $\varphi= arg z=arctg\left(\frac{y}{x}\right)+k\pi,$ где $k=0,$ если $z$ находится в первой или четвертой четвертях, $k=1,$ если $z$ находится во второй четверти, $k=-1,$ если $z$ находится в третей четверти. Если $x=Rez=0,$ то $\varphi=\pi/2,$ когда $y=Imz>0$ и $\varphi=-\pi/2,$ когда $y=Imz<0.$ плоскость называется комплексной плоскостью C (рисунок  1), ось $Ox$ называется действительной осью, а ось $Oy$ – мнимой осью. Таким образом, действительному числу $z=x+0i=x$ отвечает точка на действительной оси, а мнимому числу $z=0+iy=y -$ точка на мнимой оси.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить