Действия над комплексными числами.
Комплексные числа - числа вида $x+iy,$ где $x,y\in \mathbb{R,}$ а
$\,i,$ такое число, что $ i^2=-1.$ Множество комплексных чисел
обозначается $\mathbb{C}.$
Действия над комплексными числами.
Сложение комплексных чисел:
$$(x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2).$$
Умножение двух комплексных чисел:
$$(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2-y_1y_2+(x_1y_2+x_2y_1)i.$$
Умножение комплексного числа на действительное:
$$\lambda(x+iy)=\lambda x+i\lambda y.$$
Деление комплексных чисел:
$$\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=\frac{x_1x_2+y_1y_2+i(y_1x_2-x_1y_2)}{x_2^2+y_2^2}=$$ $$\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+\frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}i.$$
Действительные числа $x$ и $y$ комплексного числа $z=x+iy,$ называются действительной и мнимой частью числа $z$ и обозначаются, соответственно, $Re z=x$ и $Im z=y.$
Два комплексных числа $z_1=x_1+iy_1$ и $z_2=x_2+iy_2$ называются равными в том и только том случае, если $x_1=x_2,$ $y_1=y_2.$
Запись $z=x+iy$ называют алгебраической формой комплексного числа $z.$
Числа $z_1=x+iy$ и $z_2=x-iy$ называют сопряженными.
Примеры:
Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой форме:
1.421. $(2+3i)(3-i).$
Решение:
$(2+3i)(3-i)=6-2i+9i-3i^2=6+7i+3=9+7i.$
Ответ: $9+7i.$
1.424. $(2i-i^2)^2+(1-3i)^3.$
Решение.
$(2i-i^2)^2+(1-3i)^3=(2i+1)^2+1-3(3i)^2+3(3i)-(3i)^3=$ $=4i^2+4i+1-27i^2+9i-27i^3=-4+4i+1+27-9i+27i=24+22i.$
Ответ: $24+22i.$
1.425. $\frac{2-i}{1+i}.$
Решение.
$$\frac{2-i}{1+i}=\frac{(2-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2-2i-i+i^2}{1-i^2}=\frac{2-3i-1}{1+1}=\frac{1-3i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i.$$
Ответ: $\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i.$
{jumi[*4]}
1.428. $\frac{(1+i)(3+i)}{3-i}-\frac{(1-i)(3-i)}{3+i}.$
Решение.
$$\frac{(1+i)(3+i)}{3-i}-\frac{(1-i)(3-i)}{3+i}=\frac{(1+i)(3+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}-$$ $$-\frac{(1-i)(3-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}=\frac{9+15i+7i^2+i^3}{9-i^2}-\frac{9-15i+7i^2-i^3}{9-i^2}=$$ $$=\frac{9+15i-7-i-9+15i+7-i}{10}=\frac{28}{10}i=\frac{14}{5}i.$$
Ответ: $\frac{14}{5}i.$
Найти действительные решения следующего уравнения:
1. 430. $(1+i)x+(-2+5i)y=-4+17i.$
Решение.
$(1+i)x+(-2+5i)y=-4+17i\Rightarrow$
$x+xi-2y+5yi=-4+17i\Rightarrow$
$(x-2y)+(x+5y)i=-4+17i\Rightarrow$
$$\left\{\begin{array}{lcl}x-2y=-4\\x+5y=17\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2y-4\\2y-4+5y=17\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2\\y=3\end{array}\right. .$$
Ответ: $x=2; y=3.$
Домашнее задание.
Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой форме:
1.422. $(1+2i)^2.$
Ответ: $-3+4i.$
1.423. $(1-i)^3-(1+i)^3.$
Ответ: $-4i.$
1.426. $\frac{1}{1+4i}+\frac{1}{4-i}.$
Ответ: $\frac{5}{17}-\frac{3}{17}i.$
1.427. $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^3.$
Ответ: $i.$
Найти действительные решения следующего уравнения:
1.431. $12((2x+i)(1+i)+(x+y)(3-2i))=17+6i.$
Ответ: $x=1/3; y=1/4.$
Решить следующие системы линейных уравнений:
1.432. $(3-i)z_1+(4+2i)z_2=1+3i;$
$(4+2i)z_1-(2+3i)z_2=7.$
Ответ: $z_1=1; z_2=i.$
1.433. $(2+i)z_1+(2-i)z_2=6;$
$(3+2i)z_1+(3-2i)z_2=8.$
Ответ: $z_1=2+i; z_2=2-i.$