Замена переменных в дифференциальных выражениях.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Часто в дифференциальных выражениях входящие в них производные по одним переменным необходимо выразить через производные по новым переменным.

Примеры.

7.165. Преобразовать уравнение $$x^4\frac{d^2y}{dx^2}+2x^3\frac{dy}{dx}-y=0,$$ полагая $x=\frac{1}{t}.$

Решение.

Выразим производные от $y$ по $x$ через производные от $y$ по $t:$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{dy}{dt}}{-\frac{1}{t^2}}=-t^2\frac{dy}{dt},$$

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}=\frac{-2t\frac{dy}{dt}-t^2\frac{d^2y}{dt^2}}{-\frac{1}{t^2}}=2t^3\frac{dy}{dt}+t^4\frac{d^2y}{dt^2}.$$

Подставим найденные значения производных и выражение $x=\frac{1}{t}$ в заданное уравнение.

$$\frac{1}{t^4}\left(2t^3\frac{dy}{dt}+t^4\frac{d^2y}{dt^2}\right)+\frac{2}{t^3}\cdot(-t^2)\frac{dy}{dt}-y=\frac{2}{t}\frac{dy}{dt}+\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{2}{t}\frac{dy}{dt}-y=0.$$

Следовательно, $$\frac{d^2y}{dt^2}-y=0.$$

Ответ: $\frac{d^2y}{dt^2}-y=0.$

7.167. Преобразовать уравнение $$3\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2-\frac{dy}{dx}\frac{d^3y}{dx^3}-\frac{d^2y}{dx^2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=0,$$ приняв $y$ за аргумент.

Решение. 

Выразим производные от $y$ по $x$ через производные от $x$ по $y:$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}},$$

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\right)=\frac{d}{dy}\left(\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\right)\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{d^2x}{dy^2}}{ \left(\frac{dx}{dy}\right)^2}\cdot\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=-\frac{\frac{d^2x}{dy^2}}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^3},$$

$$\frac{d^3y}{dx^3}=\frac{d}{dx}\left(-\frac{\frac{d^2x}{dy^2}}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^3}\right)=\frac{d}{dy}\left(-\frac{\frac{d^2x}{dy^2}}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^3}\right)\cdot\frac{dy}{dx}=$$

$$=-\frac{\frac{d^3x}{dy^3}\left(\frac{dx}{dy}\right)^3-3\left(\frac{dx}{dy}\right)^2\frac{d^2x}{dy^2}\cdot\frac{d^2x}{dy^2}}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^6}\cdot\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$

Подставим полученные выражения производных в заданное уравнение. Получаем

$$3\left(-\frac{\frac{d^2x}{dy^2}}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^3}\right)^2-\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\left(-\frac{\frac{d^3x}{dy^3}\left(\frac{dx}{dy}\right)^3-3\left(\frac{dx}{dy}\right)^2\frac{d^2x}{dy^2}\cdot\frac{d^2x}{dy^2}}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^6}\cdot\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\right)-$$ $$\left(-\frac{\frac{d^2x}{dy^2}}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^3}\right)\left(\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\right)^2=0\Rightarrow$$

$$\Rightarrow3\frac{\left(\frac{d^2x}{dy^2}\right)^2}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^6}+\frac{\frac{d^3x}{dy^3}\frac{dx}{dy}-3\left(\frac{d^2x}{dy^2}\right)^2}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^6}+\frac{\frac{d^2x}{dy^2}}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^5}=0\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\frac{\frac{d^3x}{dy^3}+\frac{d^2x}{dy^2}}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^5}=0\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\frac{d^3x}{dy^3}+\frac{d^2x}{dy^2}=0.$$

Таким образом, получили ответ.

Ответ: $$\frac{d^3x}{dy^3}+\frac{d^2x}{dy^2}=0.$$

7.168. Преобразовать уравнение $$(xy'-y)^2=2xy(1+y'^2),$$ перейдя к полярным координатам.

Решение.

Имеем

$$x=r\cos\varphi,\qquad  y=r\sin\varphi,$$

$$dx=\cos\varphi dr-r\sin\varphi d\varphi,\qquad dy=\sin\varphi  dr+r\cos\varphi d\varphi,$$

$$y’=\frac{dy}{dx}=\frac{\sin\varphi dr+r\cos\varphi d\varphi}{\cos\varphi dr-r \sin\varphi d\varphi}.$$

Подставляем выражения для $x,\,\, y,\,\, y’$ в заданное уравнение: $$\left(r\cos\varphi\frac{\sin\varphi dr+r\cos\varphi d\varphi}{\cos\varphi dr –r\sin\varphi d\varphi}-r\sin\varphi\right)^2=$$ $$=2r^2\cos\varphi\sin\varphi\left(1+\left(\frac{\sin\varphi dr+r\cos\varphi d\varphi}{\cos\varphi dr-r \sin\varphi d\varphi}\right)^2\right)\Rightarrow$$

$$\left(\frac{r\sin\varphi\cos\varphi dr+r^2\cos^2\varphi d\varphi-r\sin\varphi\cos\varphi dr+r^2\sin^2\varphi d\varphi}{\cos\varphi dr -r\sin\varphi d\varphi}\right)^2=$$

$$=2r^2\cos\varphi\sin\varphi\frac{\left(cos\varphi dr-r\sin\varphi d\varphi\right)^2+\left(\sin\varphi dr+r\cos\varphi d\varphi\right)^2}{\left(\cos\varphi dr-r\sin\varphi d\varphi\right)^2}\Rightarrow$$

$$\left(\frac{r^2 d\varphi}{\cos\varphi dr -r\sin\varphi d\varphi}\right)^2=\frac{2r^2\cos\varphi\sin\varphi\left(dr^2+ r^2 d\varphi^2\right)}{\left(\cos\varphi dr-r\sin\varphi d\varphi\right)^2}\Rightarrow$$

$$r^4 d\varphi^2=r^2\sin2\varphi dr^2+r^4\sin 2\varphi d\varphi^2\Rightarrow$$

$$\sin2\varphi dr^2=(1-\sin 2\varphi)r^2 d\varphi^2 \Rightarrow\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2=\frac{1-\sin 2\varphi}{\sin 2\varphi} r^2\Rightarrow$$

$$r'^2=\frac{1-\sin 2\varphi}{\sin 2\varphi} r^2$$

Ответ: $r'^2=\frac{1-\sin 2\varphi}{\sin 2\varphi} r^2$

7.170. Преобразовать уравнение $$(x+y)\frac{\partial z}{\partial x}-(x-y)\frac{\partial z}{\partial y}=0,$$ перейдя к новым независимым переменным $u$ и $v,$ если $u=\ln\sqrt{x^2+y^2},\,\, v=arctg\frac{y}{x}.$

Решение.

Выразим частные производные от $z$ по $x$ и $y$ через частные производные от $z$ по $u$ и $v.$

Имеем $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}(\sqrt{x^2+y^2})'_x=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{x^2+y^2}; $$

$$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}(\sqrt{x^2+y^2})'_y=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{2y}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{y}{x^2+y^2}; $$

$$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\left(\frac{y}{x}\right)'_x=\frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\frac{-y}{x^2}=\frac{-y}{x^2+y^2};$$

$$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\left(\frac{y}{x}\right)'_y=\frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\frac{1}{x}=\frac{x}{x^2+y^2}. $$

Далее находим

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{-y}{x^2+y^2};$$

$$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{y}{x^2+y^2}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{x}{x^2+y^2}.$$

Подставим найденные выражения производных в заданное уравнение:

$$(x+y)\left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{-y}{x^2+y^2}\right)-(x-y)\left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{y}{x^2+y^2}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{x}{x^2+y^2}\right)=0\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\frac{\partial z}{\partial u}\frac{x^2+xy-xy+y^2}{x^2+y^2}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{-xy-y^2-x^2+xy}{x^2+y^2}=0\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\frac{\partial z}{\partial u}-\frac{\partial z}{\partial v}=0.$$

Ответ: $ \frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial v}.$

7.174. Преобразовать уравнение $$(xy+z)\frac{\partial z}{\partial x}+(1-y^2)\frac{\partial z}{\partial y}=x+yz,$$ приняв за новые независимые переменные $u=yz-x,\,\, v=xz-y$ и за новую функцию $w=xy-z.$

Решение.

Выразим частные производные $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial z}{\partial y}$ через $\frac{\partial w}{\partial u}$ и $\frac{\partial w}{\partial v}.$

Имеем

$$du=-dx+zdy+ydz;$$

$$dv=zdx+xdz-dy;$$

$$dw=ydx+xdy-dz.$$

Учитывая формулу

$$\frac{du}{dt}=\frac{\partial u}{\partial x_1}\cdot\frac{dx_1}{dt}+\frac{\partial u}{\partial x_2}\cdot\frac{dx_2}{dt}+…+\frac{\partial u}{\partial x_n}\cdot\frac{dx_n}{dt},$$ находим

$${dw}=\frac{\partial w}{\partial u}\cdot du +\frac{\partial w}{\partial v}\cdot dv\Rightarrow$$

$$ ydx+xdy-dz =\frac{\partial w}{\partial u}\cdot \left(-dx+zdy+ydz\right) +\frac{\partial w}{\partial v}\cdot \left(zdx+xdz-dy \right)\Rightarrow$$

$$ ydx+xdy-\frac{\partial w}{\partial u}\cdot \left(-dx+zdy\right) -\frac{\partial w}{\partial v}\cdot \left(zdx-dy \right)=dz\left(1+y\frac{\partial w}{\partial u}+x\frac{\partial w}{\partial v}\right)\Rightarrow$$

$$ dz=\frac{y+\frac{\partial w}{\partial u}-z\frac{\partial w}{\partial v}}{1+y\frac{\partial w}{\partial u}+x\frac{\partial w}{\partial v}}dx+ \frac{x-z\frac{\partial w}{\partial u}+\frac{\partial w}{\partial v}}{1+y\frac{\partial w}{\partial u}+x\frac{\partial w}{\partial v}}dy  \Rightarrow$$

$$ \frac{dz}{dx}=\frac{y+\frac{\partial w}{\partial u}-z\frac{\partial w}{\partial v}}{1+y\frac{\partial w}{\partial u}+x\frac{\partial w}{\partial v}};$$

$$ \frac{dz}{dy}= \frac{x-z\frac{\partial w}{\partial u}+\frac{\partial w}{\partial v}}{1+y\frac{\partial w}{\partial u}+x\frac{\partial w}{\partial v}}.$$

Подставим найденные выражения $\frac{\partial z}{\partial x}$ и

$\frac{\partial z}{\partial y}$ в заданное уравнение. Получим

$$(xy+z)\frac{y+\frac{\partial w}{\partial u}-z\frac{\partial w}{\partial v}}{1+y\frac{\partial w}{\partial u}+x\frac{\partial w}{\partial v}}+(1-y^2)\frac{x-z\frac{\partial w}{\partial u}+\frac{\partial w}{\partial v}}{1+y\frac{\partial w}{\partial u}+x\frac{\partial w}{\partial v}}=x+yz\Rightarrow$$

$$\frac{xy^2+zy+xy\frac{\partial w}{\partial u}+z\frac{\partial w}{\partial u}-xyz\frac{\partial w}{\partial v}-z^2\frac{\partial w}{\partial v}+x-z\frac{\partial w}{\partial u}+\frac{\partial w}{\partial v}-xy^2+y^2z\frac{\partial w}{\partial u}-y^2\frac{\partial w}{\partial v}}{1+y\frac{\partial w}{\partial u}+x\frac{\partial w}{\partial v}}=$$ $$=x+yz\Rightarrow$$

$$\frac{zy+xy\frac{\partial w}{\partial u}-xyz\frac{\partial w}{\partial v}-z^2\frac{\partial w}{\partial v}+x+\frac{\partial w}{\partial v}+y^2z\frac{\partial w}{\partial u}-y^2\frac{\partial w}{\partial v}}{1+y\frac{\partial w}{\partial u}+x\frac{\partial w}{\partial v}}=x+yz\Rightarrow$$

$${zy+xy\frac{\partial w}{\partial u}-xyz\frac{\partial w}{\partial v}-z^2\frac{\partial w}{\partial v}+x+\frac{\partial w}{\partial v}+y^2z\frac{\partial w}{\partial u}-y^2\frac{\partial w}{\partial v}}=$$ $$=(x+yz)\left({1+y\frac{\partial w}{\partial u}+x\frac{\partial w}{\partial v}}\right)\Rightarrow$$

$${zy+xy\frac{\partial w}{\partial u}-xyz\frac{\partial w}{\partial v}-z^2\frac{\partial w}{\partial v}+x+\frac{\partial w}{\partial v}+y^2z\frac{\partial w}{\partial u}-y^2\frac{\partial w}{\partial v}}=$$

$$={x+xy\frac{\partial w}{\partial u}+x^2\frac{\partial w}{\partial v}}+{yz+y^2z\frac{\partial w}{\partial u}+xyz\frac{\partial w}{\partial v}}\Rightarrow$$

$$-xyz\frac{\partial w}{\partial v}-z^2\frac{\partial w}{\partial v}+\frac{\partial w}{\partial v}-y^2\frac{\partial w}{\partial v} ={x^2\frac{\partial w}{\partial v}}{+xyz\frac{\partial w}{\partial v}}. $$

Таким образом,

$$\frac{\partial w}{\partial v}\left(x^2+y^2+z^2+2xyz-1\right)=0\Rightarrow \frac{\partial w}{\partial v}=0.$$

Ответ: $\frac{\partial w}{\partial v}=0.$