Вычисление двойных интегралов приведением их к повторным в декартовых координатах и переходом к полярным координатам.

Литература: Б.П. Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу 624 стр. М.: "ЧеРо", 1997

Определение: Двойным интегралом от непрерывной функции $f(x, y)$ распространенным на ограниченную замкнутую квадрируемую область $\Omega$, называется число $$\iint\limits_{\Omega}f(x,y)dxdy=\lim\limits_{max|\Delta x_i|\rightarrow 0\quad max|\Delta y_i|\rightarrow 0}\sum\limits_i\sum\limits_j f(x_i, y_j)\Delta x_i\Delta y_j ,$$ где $\Delta x_i=x_{i+i}-x_i,$ $\Delta y_j=y_{j+1}-y_j$ и сумма распространяется на те значения $i$ и $j$ для которых $(x_i, y_j)\in\Omega.$

Непосредственное вычисление двойного интеграла.

Если область $\Omega$ задана неравенствами $$a\leq x\leq b,\qquad y_1(x)\leq y\leq y_2 (x),$$  где $y_1(x)$ и $y_2(x) -$ непрерывные функции на сегменте $[a, b],$ то соответствующий двойной интеграл может быть вычислен по формуле $$\iint\limits_{\Omega}f(x, y)dxdy=\int\limits_a^bdx\int\limits_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x, y)dy.$$

Замена переменных в двойном интеграле.

Если непрерывно дифференцируемые функции $$x=x(u, v),\quad y=y(u, v)$$ осуществляют взаимно однозначное отображение ограниченной и замкнутой области $\Omega$ в плоскости $Oxy$ на область $\Omega'$ в плоскости $Ouv$ и якобиан $$I=\frac{D(x, y)}{D(u, v)}$$ сохраняет постоянный знак в $\Omega$ за исключением, быть может, множества меры ноль, то справедлива формула $$\iint\limits_{\Omega}f(x, y)dxdy=\iint\limits_{\Omega'}f(x(u, v), y(u, v))|I|dudv.$$

В частности, для случая перехода к полярным $r$ и $\varphi$ координатам и по формулам имеем  $$\iint\limits_{\Omega}f(x, y)dxdy=\iint\limits_{\Omega'}f(r\cos\varphi,\, r\sin\varphi)r drd\varphi.$$

Примеры:

Вычислить интегралы.

3906. $\int\limits_0^1dx\int\limits_0^1(x+y)dy.$

Решение.

$$\int\limits_0^1dx\int\limits_0^1(x+y)dy=\int\limits_0^1\left(\left.\left(xy+\frac{y^2}{2}\right)\right|_0^1\right)dx=\int\limits_0^1\left(x+\frac{1}{2}-0\right)dx=\left.\left(\frac{x^2}{2}+ \frac{1}{2}x\right)\right|_0^1= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-0=1.$$

Ответ: 1.

3908. $\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^ar^2\sin^2\varphi\,dr.$

Решение.

$$\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^ar^2\sin^2\varphi\,dr=\int\limits_0^{2\pi}\left(\int\limits_0^a r^2\sin^2\varphi\,dr\right)d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\left(\sin^2\varphi\left.\frac{r^3}{3}\right|_0^a\right)d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\sin^2\varphi\left(\frac{a^3}{3}-0\right)d\varphi=$$ 

$$=\frac{a^3}{3}\int\limits_0^{2\pi}\frac{1-cos2\varphi}{2}d\varphi=\frac{a^3}{3}\left.\left(\frac{1}{2}\varphi-\frac{1}{4}\sin2\varphi\right)\right|_0^{2\pi}=\frac{a^3}{3}\left(\frac{1}{2}2\pi-\frac{1}{4}\sin4\varphi-0\right)=\frac{a^3\pi}{3}.$$

Ответ: $\frac{a^3\pi}{3}.$

3912 а) Какой знак имеет интеграл $\iint\limits_{|x|+|y|\leq 1}\ln(x^2+y^2)\,dxdy;$

Изменить порядок интегрирования в следующих интегралах: 

3924. $\int\limits_0^2dx\int\limits_x^{2x}f(x, y)dy.$

Решение.

Сделаем рисунок интегрируемой области:

Область интегрирования ограничена прямыми $y=x, y=2x$ и $x=2.$ Заметим, что в этой области если $y$ меняется от $0$ до $2,$ то координата $x$ меняется от прямой $y=2x$ (или $x=\frac{y}{2}$) до $y=x.$ Если же $y$ меняется от $2$ до $4,$ то координата $x$ меняется от прямой $y=2x$ ($x=\frac{y}{2}$) до $x=2.$ Таким образом,

$$\int\limits_0^2dx\int\limits_x^{2x}f(x, y)dy=\int\limits_0^2dy\int\limits_{\frac{y}{2}}^xdx+\int\limits_2^4dy\int\limits_{\frac{y}{2}}^{2}dx.$$

Ответ: $\int\limits_0^2dx\int\limits_x^{2x}f(x, y)dy=\int\limits_0^2dy\int\limits_{\frac{y}{2}}^xdx+\int\limits_2^4dy\int\limits_{\frac{y}{2}}^{2}dx.$

3928. $\int\limits_1^2dx\int\limits_{2-x}^{\sqrt{2x-x^2}}f(x, y)dy.$

3932. Вычислить интеграл $\iint\limits_{\Omega}xy^2dxdy,$ если область $\Omega$ ограничена параболой $y^2=2px$ и прямой $x=p/2\quad (p>0).$

3939. В двойном интеграле $\iint\limits_{\Omega}f(x,y)dxdy$ перейти к полярным координатам $r$ и $\varphi,$ полагая $x=r\cos\varphi$ и $y=r\sin\varphi,$ расставить пределы интегрирования, если $\Omega -$ кольцо $a^2\leq x^ 2+y^2\leq b^2.$

3944. Перейти к полярным координатам, $r$ и $\varphi,$ полагая $x=r\cos\varphi$ и $y=r\sin\varphi,$ и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в следующем интеграле: $\int\limits_0^1dx\int\limits_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}f(x, y)dy.$

3948. Предполагая, что $r$ и $\varphi,$ - полярные координаты, изменить порядок интегрирования в следующих интегралах: $\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi\int\limits_0^{a\cos\varphi}f(\varphi,r)dt\quad (a>0).$

3954. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл $\iint\limits_{x^2+y^2\leq a^2}\sqrt{x^2+y^2}dxdy.$

3958. Вместо $x$ и $y$ ввести новые переменные $u$ и $v$ определить пределы интегрирования в следующих двойных интегралах $\int\limits_0^2dx\int\limits_{1-x}^{2-x}f(x, y)dy,$ если $u=x+y,\,\, v=x-y.$

3964. Произведя соответствующие замены переменных, свести двойные интегралы к однократным: $\iint\limits_{\Omega}f(xy)dxdy,$ где область $\Omega$ ограничена кривыми $xy=1,\,\, xy=2,\,\, y=x,\,\, y=4x\,\, (x>0, y>0).$