Приближенные вычисления с использованием дифференциалов.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Выражение для дифференциала имеет вид $$dy(x_0, dx)=f'(x_0)dx,$$ где $dx=\Delta x.$

Если $f'(x_0)\neq 0,$ то при $\Delta x\rightarrow 0$ приращение функции и ее дифференциал $dy$ в фиксированной точке являются эквивалентными бесконечно малыми, что позволяет записать приближенное равенство:

$\Delta y\approx dy$ при $|\Delta x|\ll1.$

Примеры.

5.298. Вычислить приближенно: 

а) $\arcsin 0,05;$

Решение.

Будем пользоваться формулой $\Delta y\approx dy=y'(x_0)dx.$ 

$y(x)=\arcsin x$

$x_0=0,$ $\Delta x=dx=0,05,$

$\Delta y=y(x)-y(x_0)\Rightarrow \arcsin 0,05\approx y'(0)\cdot 0,05;$

$y(x)=arcsin x\Rightarrow y'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$ Таким образом, $y'(x_0)=1.$

Подставляя все полученные значения в формулу $\Delta y\approx dy=y'(x_0)dx,$ получаем $\arcsin 0,05\approx 1\cdot 0,05=0,05;$

Ответ: 0,05.

в) $\ln 1,2.$

Решение.

Будем пользоваться формулой $\Delta y\approx dy=y'(x_0)dx.$ 

$y(x)=\ln x$

$x_0=1,$ $\Delta x=dx=0,2,$

$\Delta y=y(x)-y(x_0)\Rightarrow \ln 1,2\approx y'(1)\cdot 0,2;$

$y(x)=ln x\Rightarrow y'(x)=\frac{1}{x}.$ Таким образом, $y'(x_0)=1.$

Подставляя все полученные значения в формулу $\Delta y\approx dy=y'(x_0)dx,$ получаем $\ln 1,2\approx 1\cdot 0,2=0,2;$

Ответ: 0,2.

Домашнее задание.

5.298. Вычислить приближенно: 

б) $arctg 1,04;$

Ответ: 0,805.

5.299. Обосновать приближенную формулу $$\sqrt[3]{x+\Delta x}\approx\sqrt[3]{x}+\frac{\Delta x}{3\sqrt[3]{x^2}}$$ и вычислить по этой формуле $\sqrt[3]{25}.$

Ответ: 2,93.