Формулы Эйлера и Муавра. Корень n-й степени с комплексного числа.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Формулы Эйлера:
$$\cos\varphi=\frac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}; \qquad\qquad \sin\varphi=\frac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}$$
Формула Муавра:
Если $z=re^{i\varphi}, $ то $$z^n=r^ne^{in\varphi},$$ или, в тригонометричской форме:
$$z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi).$$
Пусть $a=re^{i\varphi}, \,\, a\neq 0,-$ фиксированное комплексное число. Тогда уравнение $z^n=a,\,\,\, n\in N,$ имеет в точности $n$ различных решений $z_0, z_1, ..., z_{n-1}$ причем эти решения даются формулой $$z_k=\sqrt[n]{r}e^{i\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2\pi}{n}k\right)}=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),$$ $$k=0, 1, ... , n-1.$$ (здесь $\sqrt r$ действительное положительное число) Числа $z_k, \,\, k=0, 1, ..., n-1,$ называются корнями $n-$й степени из комплексного числа $a$ и обозначаются символом $\sqrt[n]{a}.$
Примеры:
1.483. Доказать формулу Эйлера $\cos\varphi=\frac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}.$
Решение.
Известно, что $e^{i\varphi}=\cos{\varphi}+i\sin\varphi.$ Соответственно, $e^{-i\varphi}=\cos{(-\varphi)}+i\sin(-\varphi)=\cos\varphi-i\sin\varphi.$
Отсюда находим $e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi+\cos\varphi-i\sin\varphi=2\cos\varphi.$
Cледовательно, $\cos\varphi=\frac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}.$ Что и требовалось доказать.
Используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:
1.485. $(1+i)^{10}.$
Решение.
Запишем число $z=1+i$ в показательной форме:
$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt 2.$
Поскольку число $z$ находится в первой четверти, то
$tg\varphi=\frac{y}{x}=\frac{1}{1}=1.$ И $\varphi=\frac{\pi}{4}.$
Таким образом, мы можем записать число $z=1+i$ в показательной форме: $z=\sqrt 2 e^{i\frac{\pi}{4}}.$
Теперь, используя формулу Муавра можно найти $z^{10}:$
$$(1+i)^{10}=(\sqrt 2 e^{i\frac{\pi}{4}})^{10}=(\sqrt 2)^{10}e^{i\frac{10\pi}{4}}=$$
$$=32e^{i\frac{5\pi}{2}}=32(\cos\frac{5\pi}{2}+i\sin{5\pi}{2})=32i.$$
Ответ: $(1+i)^{10}=32i.$
1.491. Используя формулу Муавра, выразить через $\cos\varphi$ и $\sin\varphi$ функцию$\cos 3\varphi.$
Решение.
$$\cos 3\varphi=\frac{e^{3i\varphi}+e^{-3i\varphi}}{2}=\frac{1}{2}\left((\cos\varphi+i\sin\varphi)^3+(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi))^3\right)=$$
$$=\frac{1}{2}\left(\cos^3\varphi+3i\cos^2\varphi\sin\varphi+3i^2\cos\varphi\sin^2\varphi+i^3\sin^3\varphi \right. +$$
$$+\left.\cos^3(-\varphi)-3i\cos^2(-\varphi)\sin(-\varphi)+3i^2\cos(-\varphi)\sin^2(-\varphi)-i^3\sin^3(-\varphi)\right)=$$ $$=\frac{1}{2}\left(\cos^3{\varphi}+3i(1-\sin^2\varphi)\sin\varphi-3\cos\varphi(1-\cos^2\varphi)\right.-i\sin^3\varphi+$$ $$+\left.\cos^3\varphi+3i(1-\sin^2\varphi)\sin\varphi-3\cos\varphi(1-\cos^2\varphi)-i\sin^3\varphi\right)=$$ $$=\cos^3\varphi+3i\sin\varphi-3i\sin^3\varphi-3\cos\varphi+3\cos^3\varphi-i\sin^3\varphi=$$ $$=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi+3i\sin\varphi-4i\sin^3\varphi.$$
Ответ: $4\cos^3\varphi-3\cos\varphi+3i\sin\varphi-4i\sin^3\varphi.$
{jumi[*4]}
1.495. Найти и изобразить на комплексной плоскости все корни 2-й, 3-й и 4-й степени из единицы.
Решение.
Запишем число 1 в показательной форме:
$1=1e^{0i}.$ То есть $r=1, \varphi=0.$
Далее, пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:
$$z_0=\sqrt[2]{1}e^{i\left(\frac{0}{2}+\frac{2\pi}{2}0\right)}=e^0=1.$$$$z_1=\sqrt[2]{1}e^{i\left(\frac{0}{2}+\frac{2\pi}{2}1\right)}=e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1.$$
Вычисляем корень третьей степени из единицы:
$$z_0=\sqrt[3]{1}e^{i\left(\frac{0}{3}+\frac{2\pi}{3}0\right)}=e^0=1.$$
$$z_1=\sqrt[3]{1}e^{i\left(\frac{0}{3}+\frac{2\pi}{3}1\right)}=e^{i\frac{2\pi}{3}}=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}.$$
$$z_2=\sqrt[3]{1}e^{i\left(\frac{0}{3}+\frac{2\pi}{3}2\right)}=e^{i\frac{4\pi}{3}}=\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}.$$
Вычисляем корень четвертой степени из единицы:
$$z_0=\sqrt[4]{1}e^{i\left(\frac{0}{4}+\frac{2\pi}{4}0\right)}=e^0=1.$$
$$z_1=\sqrt[4]{1}e^{i\left(\frac{0}{4}+\frac{2\pi}{4}1\right)}=e^{i\frac{\pi}{2}}=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i.$$
$$z_2=\sqrt[4]{1}e^{i\left(\frac{0}{4}+\frac{2\pi}{4}2\right)}=e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1.$$
$$z_3=\sqrt[4]{1}e^{i\left(\frac{0}{4}+\frac{2\pi}{4}3\right)}=e^{i\frac{3\pi}{2}}=\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}=-i.$$
Ответ: Корни второй степени: $z_0=1;\,\, z_1 =-1.$ Корни третьей сепени: $z_0=1;\,\, z_1=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2};\,\, z_2=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}.$ Корни четвертой степени: $z_0=1;\,\, z_1=i;\,\, z_2=-1;\,\, z_3=-i.$
Найти все значения корней:
1.499. $\sqrt{-1+i\sqrt 3}.$
Решение.
Запишем число $z=-1+i\sqrt 3$ в показательной форме:
$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1+3}= 2.$
Поскольку число $z$ находится во второй четверти, то
$tg\varphi=\frac{y}{x}=\frac{\sqrt 3}{-1}=-\sqrt 3$ и $\varphi=\frac{2\pi}{3}.$
Таким образом, мы можем записать число $z=-1+i\sqrt 3$ в показательной форме: $z=2 e^{i\frac{2\pi}{3}}.$
Пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:
$$z_0=\sqrt{2}e^{i\left(\frac{2\pi}{6}+\frac{2\pi}{2}0\right)}=\sqrt 2e^{i\frac{\pi}{3}}=\sqrt 2\left(cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt 2\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}\right).$$
$$z_1=\sqrt{2}e^{i\left(\frac{2\pi}{6}+\frac{2\pi}{2}1\right)}=\sqrt 2e^{i\frac{\pi}{3}+\pi}=\sqrt 2\left(cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)=$$ $$=\sqrt 2\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}\right).$$
Ответ: $\pm\frac{\sqrt 2}{2}(1+i\sqrt 3)$
1.501. $\sqrt [5]{-1-i}.$
Решение.
Запишем число $z=-1-i 3$ в показательной форме:
$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1+1}= \sqrt 2.$
Поскольку число $z$ находится в третьей четверти, то
$tg\varphi=\frac{y}{x}=\frac{-1}{-1}=1$ и $\varphi=\frac{5\pi}{4}.$
Таким образом, мы можем записать число $z=-1-i$ в показательной форме: $z=\sqrt 2 e^{i\frac{5\pi}{4}}.$
Пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:
$$z_0=\sqrt[5]{\sqrt 2}e^{i\left(\frac{5\pi}{4\cdot 5}+\frac{2\pi}{5}0\right)}=\sqrt [10] {2}e^{i\frac{\pi}{4}}=\sqrt[10]{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt[10]{2} \left(\frac{1}{\sqrt 2}+i\frac{1}{\sqrt 2}\right).$$
$$z_1=\sqrt[5]{\sqrt 2}e^{i\left(\frac{5\pi}{4\cdot 5}+\frac{2\pi}{5}1\right)}=\sqrt [10] {2}e^{i\frac{\pi}{4}}=\sqrt[10]{2}\left(\cos\frac{13\pi}{20}+i\sin\frac{13\pi}{20}\right).$$
$$z_2=\sqrt[5]{\sqrt 2}e^{i\left(\frac{5\pi}{4\cdot 5}+\frac{2\pi}{5}2\right)}=\sqrt [10] {2}e^{i\frac{21\pi}{20}}=\sqrt[10]{2}\left(\cos\frac{21\pi}{20}+i\sin\frac{21\pi}{20}\right).$$
$$z_3=\sqrt[5]{\sqrt 2}e^{i\left(\frac{5\pi}{4\cdot 5}+\frac{2\pi}{5}3\right)}=\sqrt [10] {2}e^{i\frac{29\pi}{20}}=\sqrt[10]{2}\left(\cos\frac{29\pi}{20}+i\sin\frac{29\pi}{20}\right).$$
$$z_4=\sqrt[5]{\sqrt 2}e^{i\left(\frac{5\pi}{4\cdot 5}+\frac{2\pi}{5}4\right)}=\sqrt [10] {2}e^{i\frac{37\pi}{20}}=\sqrt[10]{2}\left(\cos\frac{37\pi}{20}+i\sin\frac{37\pi}{20}\right).$$
Ответ: $\sqrt[10]{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{5}k\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{5}k\right)\right).$
Домашнее задание:
1.483. Доказать формулу Эйлера $\sin\varphi=\frac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}.$
Используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:
1.486. $\frac{(1+i)^{5}}{(1-i)^3}.$
Ответ: $2.$
1.488. $(1+i)^8(1-i\sqrt 3)^{-6}.$
Ответ: $\frac{1}{4}.$
Используя формулу Муавра, выразить через $\cos\varphi$ и $\sin\varphi$ следующие функции:
1.492. $\sin 3\varphi.$
Ответ: $3\sin\varphi-4\sin^3\varphi.$
1.493. $\cos 4\varphi.$
Ответ: $\cos^4\varphi-6\cos^2\varphi\sin^2\varphi+\sin^4\varphi.$
Найти все значения корней:
1.496. $\sqrt i$
Ответ: $\pm\frac{\sqrt 2}{2}\left(1+i\right).$
1.497. $\sqrt {-1}.$
Ответ: $\pm\frac{\sqrt 2}{2}\left(1+i\right),$ $\pm\frac{\sqrt 2}{2}\left(1-i\right).$
1.500. $\sqrt[4]{2\sqrt 3+2i}.$
Ответ: $\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{2}k\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{2}k\right)\right).$
1.502. $\sqrt[6]{1+i\sqrt 3}.$
Ответ: $\sqrt[6]{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{18}+\frac{\pi}{3}k\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{18}+\frac{\pi}{3}k\right)\right).$