Рейтинг:   / 19
ПлохоОтлично 

Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат. Формулы перехода.

Полярные координаты.

 Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. 

 

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом и обозначается varphi, равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.

$$x=\rho \cos\varphi,\; y=\rho\sin\varphi,\quad (\rho\geq 0,\,\,\,0\leq\varphi\leq 2\pi)$$

polar

Обобщённые полярные координаты.$$ x=a\rho\cos\varphi,\; y=b\rho\sin\varphi,\quad (\rho\geq0, 0\leq\varphi\leq 2\pi)$$

Цилиндрические координаты:

 

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой z), которая задаёт высоту точки над плоскостью.


$x=\rho\cos\varphi,\;y=\rho\sin\varphi,z=h,$ $ (\rho\ge 0,\, 0\le\varphi\le 2\pi,\, -\infty< h<+\infty).$

cilindr

 

Сферические координаты. 

 

  Положение точки М в сферической системе координат задается тройкой чисел  r,  φ  и  θ, где  r – расстояние от начала координат до точки  M  ();  φ – угол, образованный проекцией радиус-вектора    на плоскость Оху с положительным направлением оси  Ох ();  θ – угол между положительным направлением оси Ozи радиус-вектором точки М ().

$$\left\{\begin{array}{rcl} x=r\cos\varphi\cos\theta,\\ y=r\sin\varphi\cos\theta,\\ z=r\sin\theta,\end{array}\right.$$

 $ (r\geq 0,\;0\leq\varphi \leq 2\pi,\; -\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}).$

Обобщённые сферические координаты.

$$ \left\{\begin{array}{rcl} x=ar\cos^\alpha\varphi\cos^\beta\theta,\\ y=br\sin^\alpha\varphi\cos^\beta\theta,\\ z=cr\sin^\beta\theta, \end{array} \right. $$ 

$ (r\ge0,\; 0\le \varphi\le 2\pi,\;-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}). $

spherich

Комментарии   

 
0 #5 admin 30.05.2014 16:46
Цитирую Вася:
В обобщенных сферических координатах можно ли положить Альфа равным нулю? :o

Все значения - a, b, c, альфа и бета могут быть любыми (и нулями) если удобно, для описания вашей поверхности выбирать именно эти значения.
Цитировать
 
 
-3 #4 Вася 30.05.2014 12:28
В обобщенных сферических координатах можно ли положить Альфа равным нулю? :o
Цитировать
 
 
-2 #3 слава 17.01.2013 14:21
Цитирую admin:
Цитирую Вера:
Расшифруйте, пжл..
В масштабах Земного шара:
r- это радиус Земли
фи- долгота
тетта- широта?

Да, так и есть. Широта отсчитывается от экватора к северному полюсу и к южному (северный полюс это 90° северной широты, а южный - 90° южной широты). Долгота же отсчитывается от нулевого меридиана на запад и восток.

широта = 90-тетта
Цитировать
 
 
-1 #2 admin 10.11.2012 07:22
Цитирую Вера:
Расшифруйте, пжл..
В масштабах Земного шара:
r- это радиус Земли
фи- долгота
тетта- широта?

Да, так и есть. Широта отсчитывается от экватора к северному полюсу и к южному (северный полюс это 90° северной широты, а южный - 90° южной широты). Долгота же отсчитывается от нулевого меридиана на запад и восток.
Цитировать
 
 
0 #1 Вера 07.11.2012 09:41
Расшифруйте, пжл..
В масштабах Земного шара:
r- это радиус Земли
фи- долгота
тетта- широта?
Цитировать
 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить