Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов.

Площадь области.

Площадь области $S,$ расположенной в плоскости $O_{xy}$ вычисляется по формуле $$S=\iint\limits_{S}dxdy.$$

Примеры.

3984. Найти площадь, ограниченную следующими кривыми: $xy=a^2,\,\, x+y=\frac{5}{2}a\,\,\,\,\,(a>0).$

Решение.

Площадь области находим по формуле  $S=\iint\limits_{S}dxdy.$ Чтобы вычислить двойной интеграл, находим точки пересечения двух заданных кривых:

$$\left\{\begin{array}{lcl}xy=a^2\\ x+y=\frac{5}{2}a\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{lcl}x=\frac{a^2}{y}\\ \frac{a^2}{y}+y= \frac{5}{2}a\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{lcl}x= \frac{a^2}{y}\\ a^2+y^2=\frac{5}{2}ay\end{array}\right.$$ 

Решаем квадратное уравнение.

$$y^2-\frac{5}{2}ay+a^2=0$$

$$D=\frac{25}{4}a^2-4a^2=\frac{9}{4}a^2$$

$$y_1=\frac{\frac{5}{2}a+\frac{3}{2}a}{2}=2a,$$

$$y_2=\frac{\frac{5}{2}a-\frac{3}{2}a}{2}=\frac{a}{2}.$$

Соответственно, $$x_1=\frac{a^2}{2a}=\frac{a}{2},$$

 $$x_2=\frac{a^2}{\frac{a}{2}}=2a.$$

Теперь находим площадь фигуры:

$$S=\iint\limits_{S}dxdy= \int\limits_{a/2}^{2a}\int\limits_{a^2/x}^{\frac{5}{2}a-x}dxdy= \int\limits_{a/2}^{2a}\left( \frac{5}{2}a-x-\frac{a^2}{x}  \right)dx= \left.\left(\frac{5}{2}ax- \frac{x^2}{2}- a^2\ln x\right)\right|_{a/2}^{2a}=$$ $$=\frac{5}{2}2a^2-\frac{4a^2}{2}-a^2\ln (2a)-\frac{5}{2}\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{8}+a^2\ln \frac{a}{2}= 5a^2-2a^2- a^2\ln (2a) -\frac{5a^2}{4}+\frac{a^2}{8}+a^2\ln \frac{a}{2}=$$ $$=\frac{15}{8}a^2-a^2(\ln2+\ln a-\ln a+\ln 2)=\frac{15}{8}a^2-2a^2\ln 2.$$

Ответ: $\frac{15}{8}a^2-2a^2\ln 2.$

Пример.

Вычислить площадь области, ограниченной параболами:

$$y^2=x,\; y^2=3x,\; x^2=y,\; x^2=4y. $$

Решение.

Введем новые координаты $(u,v):$

$$ y^2=ux,\; x^2=vy,$$
$$ u=\frac{y^2}{x},\; v=\frac{x^2}{y}, $$
Поэтому
$$ S=\iint\limits_D\,dxdy = \iint\limits_G \frac{1}{3}\,dudv=\frac{1}{3}\int\limits_1^3du\int\limits_1^4dv=2. $$

Объём цилиндроида.

Объём цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью $z=f(x, y)\geq 0,$ снизу плоскостью $z=0$ и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей из плоскости $O_{xy}$ квадрируемую область $\Omega$ равен $$V=\iint\limits_{\Omega}f(x, y)dxdy.$$