Векторное и смешанное произведение векторов.
Векторное произведение векторов.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов $e_1, e_2, e_3$ называется правой, если наблюдателю, находящемуся внутри угла, образованного этими векторами, кратчайшие повороты от $e_1$ к $e_2$ и от $e_2$ к $e_3$ кажутся происходящими против часовой стрелки. В противном случае тройка $(e_1, e_2, e_3)$ называется левой.
Векторным произведением вектора $a_1$ на вектор $a_2$ называется вектор, обозначаемый символом $[a_1, a_2]$ (или $a_1\times a_2$) определяемый следующими тремя условиями:
1) длина вектора $[a_1, a_2]$ равна площади параллелограмма построенного на векторах $a_1$ и $a_2$ т.е. $|[a_1, a_2]|=|a_1||a_2|\sin(\widehat{a_1, a_2})$
2) вектор $[a_1, a_2]$ перпендикулярен плоскости векторов $a_1$ и $a_2;$
3) упорядоченная тройка $a_1, a_2, [a_1, a_2]$ правая.
Из определения векторного произведения следует, что $(\widehat{a_1,a_2})=\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow [a_1, a_2]=0.$
Алгебраические свойства векторного произведения.
1) $[a_1, a_2]=-[a_2, a_1];$
2) $[\lambda a_1,a_2]=\lambda[a_1, a_2];$
3) $[a_1+a_2, b]=[a_1, b]+[a_2, b].$
Если $a_1(X_1, Y_1, Z_1) $ и $a_2(X_2, Y_2, Z_2) -$ векторы, заданные своими координатами в правом прямоугольном базисе, то разложение векторного произведения $[a_1, a_2]$ в том же базисе имеет вид $$[a_1, a_2]=(Y_1Z_2-Z_1Y_2)i-(X_1Z_2-Z_1X_2)j+(X_1Y_2-Y_1X_2)k,$$ или, в символической записи (с использованием понятия определителя 3-го порядка) $$[a_1, a_2]=\begin{vmatrix}i& j& k\\X_1& Y_1&Z_1\\X_2&Y_2&Z_2\end{vmatrix}.$$
Примеры.
2.98. $|a_1|=1, |a_2|=2, (\widehat{a_1, a_2})=2\pi/3.$ Вычислить:
а) $|[a_1, a_2]|$
б) $|[2a_1+a_2, a_1+2a_2]|$
в) $|[a_1+3a_2, 3a_1-a_2]|.$
Решение.
а) $|[a_1, a_2]|=|a_1||a_2|\sin(\widehat{a_1, a_2})=2\sin({2\pi/3})=2\frac{\sqrt {3}}{2}=\sqrt 3.$
б) $[2a_1+a_2, a_1+2a_2]=[2a_1, a_1+2a_2]+[a_2, a_1+2a_2]=$
$=2[a_1, a_1+2a_2]+[a_2, a_1+2a_2]=-2[a_1+2a_2, a_1]-[a_1+2a_2, a_2]=$
$=-2[a_1, a_1]-2[2a_2, a_1]-[a_1, a_2]-[2a_2, a_2]=-4[a_2, a_1]-[a_1,a_2]=$
$=4[a_1, a_2]-[a_1, a_2]=3[a_1, a_2].$
$|[2a_1+a_2, a_1+2a_2]|=3|[a_1, a_2]|=3\sqrt 3.$
в) $[a_1+3a_2, 3a_1-a_2]=[a_1, 3a_1-a_2]+3[a_2, 3a_1-a_2]=$
$=-[3a_1-a_2, a_1]-3[3a_1-a_2, a_2]=$
$=-[3a_1, a_1]+[a_2, a_1]-9[a_1, a_2]+3[a_2, a_2]=-10[a_1, a_2].$
$|[a_1+3a_2, 3a_1-a_2]|=|10[a_1, a_2]|=10\sqrt 3.$
Ответ: а) $\sqrt 3;$ б) $3\sqrt 3;$ в) $10\sqrt 3.$
2.100. Упростить выражения:
а) $[i, j+k]-[j, i+k]+[k, i+j+k];$
б) $[a+b+c, c]+[a+b+c, b]+[b-c,a];$
в) $[2a+b, c-a]+[b+c, a+b];$
г) $2i[j, k]+3j[i, k]+4k[i, j].$
Решение.
а) $[i, j+k]-[j, i+k]+[k, i+j+k]=-[j+k, i]+[i+k, j]-[i+j+k, k]=-[j, i]-[k, i]+[i, j]+[k, j]-[i, k]-[j, k]-[k, k]=$
$=[i, j]+[i, k]+[i, j]-[j, k]-[i, k]-[j, k]=2[i, j]-2[j, k]=$
$2\begin{vmatrix} i&j&k\\1&0&0\\0&1&0\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}i&j&k\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}=2k-2i.$
б) $[a+b+c, c]+[a+b+c, b]+[b-c,a]=$
$=[a,c]+[b, c]+[c, c]+[a, b]+ [b, b]+[c, b]+[b, a]-[c, a]=$
$=[a, c]+[b, c]+[a, b]-[b, c]-[a, b]+[a, c]=2[a, c].$
в) $[2a+b, c-a]+[b+c, a+b]=2[a, c-a]+[b,c-a]+[b, a+b]+[c, a+b]=$
$=-2[c-a, a]-[c-a, b]-[a+b, b]-[a+b, c]=$
$=-2[c, a]+2[a, a]-[c, b]+[a,b]-[a, b]-[b, b]-[a, c]-[b, c]=[a, c].$
Ответ: а) $2(k-i);$ б) $2[a, c];$ в) $[a,c].$
{jumi[*4]}
2.107. Вычислить площадь треугольника с вершинами $A(1, 1, 1), B(2, 3, 4)$ и $C(4, 3, 2).$
Решение.
$S \triangle ABC=\frac{1}{2}|[\overline{BA}, \overline{BC}]|.$
$\overline{BA}=(1-2; 1-3; 1-4)=(-1; -2; -3).$
$\overline{BC}=(4-2; 3-3; 2-4)=(2; 0; -2).$
$[\overline{BA}, \overline{BC}]=\begin{vmatrix}i&j&k\\-1&-2&-3\\2&0&-2\end{vmatrix}=4i-8j+4k.$
$S \triangle ABC=\frac{1}{2}|[\overline{BA}, \overline{BC}]|=\frac{1}{2}\sqrt{16+64+16}=\frac{\sqrt {96}}{2}=2\sqrt{6}.$
Ответ: $2\sqrt{6}.$
2.110. Для заданных векторов $a(2, 0, 3), b(-3, 5, 4), c(3, 4, -1)$ вычислить проекцию вектора $[a, b]$ на вектор $(a, b)c.$
Решение.
Найдем вектора $d=[a, b]$ и $k=(a,b)c:$
$d=[a, b]=\begin{vmatrix}i&j&k\\2&0&3\\-3&5&4\end{vmatrix}=-15i-17j+10k=(-15, -17, 10);$
$k=(a, b)c=(-6+12)(3, 4, -1)=6(3, 4, -1)=(18, 24, -6).$
$Pr_k d=\frac{(d, k)}{|k|}=\frac{-270-408-60}{\sqrt{324+576+36}}=\frac{-738}{\sqrt {936}}=\frac{-738}{6\sqrt{26}}=\frac{-123}{\sqrt{26}}.$
Ответ: $\frac{-123}{\sqrt{26}}.$
2.112. Найти вектор $[a, a+b]+[a, [a, b]],$ если $a(2, 1, -3)$ $b(1, -1, 1).$
Решение.
$a+b=(2+1; 1-1; -3+1)=(3; 0; -2);$
$[a, a+b]=\begin{vmatrix}i&j&k\\2&1&-3\\3&0&-2\end{vmatrix}=-2i-5j-3k;$
$[a, b]=\begin{vmatrix}i&j&k\\2&1&-3\\1&-1&1\end{vmatrix}=-2i-5j-3k;$
$[a, [a, b]]=\begin{vmatrix}i&j&k\\2&1&-3\\-2&-5&-3\end{vmatrix}=-18i+12j-8k;$
$[a, a+b]+[a, [a, b]]=(-2; -5; -3)+(-18; 12; -8)=(-20; 7; -11).$
Ответ: $(-20; 7; -11).$
Смешанное произведение векторов.
Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов $a_1, a_2, a_3$ называется число $[a_1, a_2]a_3.$
Геометрические свойства смешанного произведения:
1) Если $V -$ объем параллилепипеда, построенного на векторах $a_1, a_2$ и $a_3,$ то
$[a_1, a_2]a_3=V,$ если тройка векторов $(a_1, a_2, a_3)$ правая;
$[a_1, a_2]a_3=-V,$ если тройка векторов $(a_1, a_2, a_3)$ левая.
2) Для того чтобы три вектора $a_1, a_2, a_3$ были компланарны, необходимо и достаточно выполнения условия $[a_1, a_2]a_3=0.$
Основное алгебраическое свойство смешанного произведения состоит в том, что циклическая перестановка векторов не меняет его величины, то есть $[a_1, a_2]a_3=a_1[a_2, a_3]=[a_3, a_1]a_2.$
Это свойство позволяет ввести обозначение $[a_1, a_2]a_3=a_1a_2a_3.$
Смешанное произведение через координаты векторов в правом прямоугольном базисе записывается в виде $$a_1a_2a_3=\begin{vmatrix}X_1&Y_1&Z_1\\X_2&Y_2&Z_2\\X_3&Y_3&Z_3\end{vmatrix}.$$
Примеры.
2.124. Векторы $a_1, a_2, a_3$ образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и $|a_1|=4, |a_2|=2, |a_3|=3.$ Вычислить $a_1a_2a_3.$
Решение.
$a_1a_2a_3=[a_1, a_2]a_3=|[a_1, a_2]||a_3|cos(\widehat{[a_1, a_2], a_3}).$
$\cos(\widehat{[a_1, a_2], a_3})=\cos 0 =1;$
$|[a_1, a_2]|=|a_1||a_2|\sin(\widehat{a_1, a_2})=|a_1||a_2|;$
Cледовательно, $a_1a_2a_3=|a_1||a_2||a_3|=24.$
Ответ: 24.
2.127. Установить, образуют ли векторы $a_1, a_2$ и $a_3$ базис в множестве всех векторов, если
а) $a_1(2, 3, -1), a_2(1, -1, 3), a_3(1, 9, -11);$
б) $a_1(3, -2, 1), a_2(2, 1, 2), a_3(3, -1, -2).$
Решение.
Базисом является всякая упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Проверим будут ли наши вектора компланарны, т.е. выполняется ли условие $a_1a_2a_3=0.$
а) $a_1a_2a_3=\begin{vmatrix}2&3&-1\\1&-1&3\\1&9&-11\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}-1&3\\9&-11\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}1&3\\1&-11\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}1&-1\\1&9\end{vmatrix}=$
$=-32+42-10=0.$
Вектора являются компалнарными, т. е. они не образуют базис.
б) $a_1a_2a_3=\begin{vmatrix}3&-2&1\\2&1&2\\3&-1&-2\end{vmatrix}=3\begin{vmatrix}1&2\\-1&-2\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}2&2\\3&-2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2&1\\3&-1\end{vmatrix}=$ $=0-20-5=-25.$
Вектора не являются компалнарными, т. е. они образуют базис.
Ответ. а) не образуют; б) образуют.
2.129. Доказать, что при любых $a, b$ и $c$ векторы $a-b, b-c$ и $c-a$ компланарны. Каков геометрический смысл этого факта?
Решение.
Пусть $a=(x_a, y_a, z_a), b=(x_b, y_b, z_b), c=(x_c, y_c, z_c).$
Тогда, $[a-b, b-c](c-a)=\begin{vmatrix}x_a-x_b&y_a-y_b&z_a-z_b\\x_b-x_c&y_b-y_c&z_b-z_c\\x_c-x_a&y_c-y_a&z_c-z_a\end{vmatrix}=$
пользуясь свойством определителей добавим ко второй строке первую, определитель при этом не меняется:
$=\begin{vmatrix}x_a-x_b&y_a-y_b&z_a-z_b\\x_a-x_c&y_a-y_c&z_a-z_c\\x_c-x_a&y_c-y_a&z_c-z_a\end{vmatrix}=0$ (Опять воспользовались свойством определителей -- вторая и третья строки пропорциональны, поэтому определитель равен нулю.)
Таким образом, векторы $a-b, b-c$ и $c-a$ компланарны. Геометрический смысл заключается в том, что векторы $a-b, b-c$ и $c-a$ лежат параллельных плоскостях.
2.134. В тетраэдре с вершинами в точках $A(1, 1, 1), B(2, 0, 2), C(2, 2, 2)$ и $D(3, 4, -3)$ вычислить высоту $h=|\overline{DE}|.$
Решение.
Вычислим объем тетраэдра по формуле $V=\frac{1}{6}|\overline{AB}\overline{AC}\overline{AD}|:$
$\overline{AB}=(1, -1, 1);$
$\overline{AC}=(1, 1, 1);$
$\overline{AD}=(2, 3, -4);$
$\overline{AB}\overline{AC}\overline{AD}=\begin{vmatrix}1&-1&1\\1&1&1\\2&3&-4\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1\\3&-4\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&1\\2&-4\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&1\\2&3\end{vmatrix}=$
$=-7-6+1=-12.$
$V=\frac{1}{6}|\overline{AB}\overline{AC}\overline{AD}|=2.$
Объем также можно вычислить по известной с школьного курса формуле
$V=\frac{1}{3}S_{OCH}h=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}|DE|=\frac{1}{6}|[\overline{AB}, \overline{AC}]||DE|.$
$[\overline{AB}, \overline{AC}]=\begin{vmatrix}i&j&k\\1&-1&1\\1&1&1\end{vmatrix}=i\begin{vmatrix}-1&1\\1&1\end{vmatrix}-j\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}+k\begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}=-2i+2k.$
$|[\overline{AB}, \overline{AC}]|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}.$
Таким образом, $2=\frac{1}{6}\sqrt{8}|DE|.$ Отсюда $|DE|=\frac{12}{\sqrt{8}}=3\sqrt 2.$
Ответ: $3\sqrt {2}.$
2.137. Доказать, что четыре точки $A(1, 2, -1), B(0, 1, 5), C(-1, 2, 1)$ и $D(2, 1,3)$ лежат в одной плоскости.
Решение.
Четыре точки $A, B, C$ и $D$ находятся в одной плоскости, если вектора $\overline{AB}, \overline{AC}$ и $\overline{AD}$ компланарны.
Проверим, компланарны ли эти вектора:
$\overline{AB}=(-1, -1, 6);$
$\overline{AC}=(-2, 0, 2);$
$\overline{AD}=(1, -1, 4).$
$\overline{AB}\overline{AC}\overline{AD}=\begin{vmatrix}-1&-1&6\\-2&0&2\\1&-1&4\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}0&2\\-1&4\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-2&2\\1&4\end{vmatrix}+6\begin{vmatrix}-2&0\\1&-1\end{vmatrix}=$ $=-2-10+12=0.$
Следовательно, вектора $\overline{AB}, \overline{AC}$ и $\overline{AD}$ компланарны и точки $A, B, C$ и $D$ находятся в одной плоскости.
Домашнее задание.
2.102. $|a|=|b|=5,$ $(\widehat{a, b})=\pi/4$ Вычислить площадь треугольнака, построенного на векторах $a-2b,$ $3a+2b.$
Ответ: $50\sqrt{2}.$
2.104. Доказать, что при любых векторах $a, p, q$ и $r$ векторы $[a, p], [a, q]$ и $[a, r]$ компланарны.
2.106. Заданы векторы $a_1(3, -1, 2)$ и $a_2(1, 2, -1)$. Найти координаты векторов
а) $[a_1, a_2];$
б) $[2a_1+a_2, a_2];$
в) $[2a_1-a_2, 2a_1+a_2].$
Ответ: а) $(-3, 5, 7); $ б) $(-6, 10, 14);$ в) $(-12, 20, 28).$
2.108. В треугольнике с вершинами $A(1, -1, 2), B(5, -6, 2)$ и $C(1, 3, -1)$ найти высоту $h=|BD|.$
Ответ: 5.
2.111. Для заданных векторов $a(2, 1, -1), b(1, 2, 1), c(2, -1, 3), d(3, -1, 2)$ вычислить проекцию вектора $a+c$ на вектор $[b-d,c].$
Ответ: $\sqrt{6}.$
2.119. Найти координаты вектора $x,$ если он перпендикулярен векторам $a_1(2, -3, 1)$ и $a_2(1, -2, 3),$ а также удовлетворяет условию $x(i+2j-7k)=10.$
Ответ: $(7, 5, 1).$
2.125. Векторы $a, b, c$ образуют левую тройку $|a|=1, |b|=2, |c|=3,$ $(\widehat{a, b})=\pi/6, c\bot a, c\bot b.$ Найти $abc.$
Ответ: $-3/2.$
2.130. Доказать тождество $(a+b+c)(a-2b+2c)(4a+b+5c)=0.$
2.132. Вычислить объем тетраэдра $OABC,$ если $\overline{OA}=3i+4j, \overline{OB}=-3j+k, \overline{OC}=2j+5k.$
Ответ: $17/2.$
2.133. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках $A(2, -3, 5), B(0, 2, 1), C(-2, -2, 3)$ и $D(3, 2, 4).$
Ответ: $6.$
2.136. При каком $\lambda$ векторы $a, b, c$ будут компланарны?
а) $a(\lambda, 3, 1), b(5, -1, 2), c(-1, 5, 4);$
б) $a(1, 2\lambda, 1), b(1,\lambda,0), c(0, \lambda, 1).$
Ответ: а) $-3$ б) при любом $\lambda.$
2.140. Доказать тождества
а) $(a+c)b(a+b)=-abc;$
б) $(a-b)(a-b-c)(a+2b-c)=3abc;$
в) $(a+b)(b+c)(c+a)=2abc;$
г) $\forall\alpha, \beta(ab(c+\alpha a+\beta b))=abc.$