Скалярное произведение векторов, свойства. Длина векторов. Угол между векторами.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Длина вектора.

Пусть вектор $\overline a=(x, y, z)$ представлен своими координатами в прямоугольном базисе. Тогда его длину можно вычислить по формуле $$|\overline a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$

Скалярное произведение векторов.

Если заданы координаты точек $A(x_1, y_1, z_1) $ и $B(x_2, y_2, z_2),$ то координаты вектора $\overline{AB}$ можно найти по формулам $$\overline{AB}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1).$$ Скалярным произведением ненулевых векторов $a_1$ и $a_2$ называется число $$(a_1, a_2)=|a_1||a_2|\cos(\widehat{a_1, a_2}).$$

Для скалярного произведения наряду с обозначением $(a_1,a_2)$ используется также обозначение $a_1a_2.$ 

Геометрические свойства скалярного произведения:

1) $a_1\perp a_2\Leftrightarrow a_1a_2=0$ (условие перпендикулярности векторов).

2) Если $\varphi=(\widehat{a_1, a_2}),$ то $$0\leq\varphi<\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow a_1a_2>0; \qquad\qquad \frac{\pi}{2}<\varphi\leq\pi\Leftrightarrow a_1 a_2<0.$$

Алгебраические свойства скалярного произведения:

1) $a_1a_2=a_2a_1;$

2) $(\lambda a_1)a_2=\lambda (a_1 a_2);$

3) $a(b_1+b_2)=ab_1+ab_2.$

Если векторы $a_1(X_1, Y_1, Z_1)$ и $a_2(X_2, Y_2, Z_2)$ представлены своими координатами в прямоугольном базисе, то скалярное произведение равно $$a_1a_2=X_1X_2+Y_1Y_2+Z_1Z_2. $$

Из этой формулы, в частности, следует формула для определения косинуса угла между векторами:

$$\cos(\widehat{a_1, a_2})=\frac{a_1 a_2}{|a_1||a_2|}=\frac{X_1X_2+Y_1Y_2+Z_1Z_2}{\sqrt{X_1^2+Y_1^2+Z_1^2}\sqrt{X_2^2+Y_2^2+Z_2^2}}.$$

Примеры.

2.65. $|a_1|=3; |a_2|=4; (\widehat{a_1,a_2})=\frac{2\pi}{3}.$ Вычислить:

а) $a_1^2=a_1a_1;$

б) $(3a_1-2a_2)(a_1+2a_2);$

в) $(a_1+a_2)^2.$

Решение. 

а) $$a_1^2=(a_1, a_1)=|a_1||a_1|\cos(\widehat{a_1, a_1})=|a_1|^2=3^2=9.$$

б) $(3a_1-2a_2)(a_1+2a_2);$

Поскольку скалярное произведение зависит от длин векторов и угла между ними, то заданные векторы можно выбрать произвольно учитывая эти характеристики. Пусть $a_1=(3; 0). $ Тогда вектор $a_2,$ имея длину $|a_2|=4,$ и, образуя угол $\frac{2\pi}{3}$ с положительной полуосью оси $OX,$ имеет координаты $x=|a_2|cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{4}{2}=-2; $ 

$y=|a_2|\sin\frac{2\pi}{3}=4\frac{\sqrt 3}{2}=2\sqrt 3$

$3a_1-2a_2=3(3;0)-2(-2;2\sqrt 3)=(9;0)-(-4; 4\sqrt 3)=(13;-4\sqrt 3);$

$a_1+2a_2=(3; 0)+2(-2;2\sqrt 3) = (3; 0)+ (-4; 4\sqrt 3)= (-1; 4\sqrt 3).$

 $(3a_1-2a_2)(a_1+2a_2)=(13; -4\sqrt 3)(-1; 4\sqrt 3) =-13-48=-61.$

в) $(a_1+a_2)^2.$

$a_1+a_2$=$(3; 0)+(-2; 2\sqrt 3)=(1; 2\sqrt 3).$

$(a_1+a_2)^2=(1; 2\sqrt3) (1; 2\sqrt 3)=1+12=13.$

Ответ: a) 9;  б) -61; в) 13.

 {jumi[*4]}

2.67. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах $a=p-3q, $ $b=5p+2q,$ если известно, что $|p|=2\sqrt{2}, |q|=3, (\widehat{p, q})=\frac{\pi}{4}.$ 

Решение. 

Способ 1.

Из треугольника $ABC$ имеем $AC=AB+BC=a+b=p-3q+5p+2q=6p-q.$ 

Зная длину векторов $p$ b $q$ и угол между этими векторами, можно найти длину вектора $AC$ по теореме косинусов:

$|AC|^2=|6p|^2+|q|^2-12pq\cos\widehat{(6p, q)}=288+9-72=225.$

Отсюда $|AC|=15.$

Из треугольника $ABD$ имеем: $BD=AD-AB=b-a=5p+2q-p+3q=4p+5q.$

По теореме косинусов находим длину вектора $BD:$

$|BD|^2=|4p|^2+|5q|^2-8p5q\cos \widehat{(6p, q)}=$ $128+225+240=593.$

Отсюда $|BD|=\sqrt{593}.$

 Способ 2.

Пусть $q=(3; 0). $ Тогда вектор $p,$ имея длину $|p|=2\sqrt 2,$ и образуя угол $\frac{\pi}{4}$ с положительной полуосью оси $OX$ имеет координаты

$x=|p|\cos\frac{\pi}{4}=2\sqrt 2\frac{1}{\sqrt 2}=2; $

$y=|p|\sin\frac{\pi}{4}=2\sqrt 2\frac{1}{\sqrt 2}=2.$ 

Вектор $BC=AD=b.$

Из треугольника $ABC$ имеем

$AC=AB+BC=a+b=p-3q+5p+2q=6p-q=$ $=6(2;2)-(3;0)=(12; 12)-(3;0)=(9; 12).$

 Следовательно, $|AC|=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15.$

Из треугольника $ABD$ имеем 

$BD=AD-AB=b-a=5p+2q-p+3q=4p+5q=$ $=4(2; 2)+5(3;0)=(8; 8)+(15; 0)=(23; 8).$ 

Таким образом, $|BD|=\sqrt{23^2+8^2}=\sqrt {593}.$

Ответ: $15, \sqrt {593}.$

2.68. Определить угол между векторами $a$ и $b$ если известно, что $(a-b)^2+(a+2b)^2=20$ и $|a|=1, |b|=2.$

Ответ: $2\pi/3$

Домашнее задание:

2.66.

$|a_1|=3; |a_2|=5. $ Определить, при каком значении $\alpha$ векторы $a_1+\alpha a_2$ и $a_1-\alpha a_2$ будут перпендикулярны.

Ответ: $\alpha=\pm\frac{3}{5}$

2.69. 

В треугольнике $ABC$ $\overline{AB}=3e_1-4e_2;$ $\overline{BC}=e_1+5e_2.$ Вычислить длину его высоты $\overline{CH},$ если известно, что $e_1$ и $e_2$ взаимно перпендикулярные орты.

Ответ: $\frac{19}{5}.$