Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат. Формулы перехода.

Полярные координаты.

 Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. 

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается ) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом и обозначается , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.

$$x=\rho \cos\varphi,\; y=\rho\sin\varphi,\quad (\rho\geq 0,\,\,\,0\leq\varphi\leq 2\pi)$$

Обобщённые полярные координаты.$$ x=a\rho\cos\varphi,\; y=b\rho\sin\varphi,\quad (\rho\geq0, 0\leq\varphi\leq 2\pi)$$

Цилиндрические координаты:

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой ), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

$x=\rho\cos\varphi,\;y=\rho\sin\varphi,z=h,$ $ (\rho\ge 0,\, 0\le\varphi\le 2\pi,\, -\infty< h<+\infty).$

 {jumi[*4]}

Сферические координаты. 

  Положение точки М в сферической системе координат задается тройкой чисел  r,  φ  и  θ, где  r – расстояние от начала координат до точки  M  ();  φ – угол, образованный проекцией радиус-вектора    на плоскость Оху с положительным направлением оси  Ох ();  θ – угол между положительным направлением оси Ozи радиус-вектором точки М ().

$$\left\{\begin{array}{rcl} x=r\cos\varphi\cos\theta,\\ y=r\sin\varphi\cos\theta,\\ z=r\sin\theta,\end{array}\right.$$

 $ (r\geq 0,\;0\leq\varphi \leq 2\pi,\; -\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}).$

Обобщённые сферические координаты.

$$ \left\{\begin{array}{rcl} x=ar\cos^\alpha\varphi\cos^\beta\theta,\\ y=br\sin^\alpha\varphi\cos^\beta\theta,\\ z=cr\sin^\beta\theta, \end{array} \right. $$ 

$ (r\ge0,\; 0\le \varphi\le 2\pi,\;-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}). $