Рейтинг:   / 25
ПлохоОтлично 

Преобразование координат. Матрица перехода. 

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

 

Пусть $L_n -$ произвольное мерное пространство, $B=(e_1, ..., e_n) -$ фиксированный базис в нем. Тогда всякому вектору $x\in L_n$ взаимно однозначно соответствует столбец его координат в этом базисе.

$$x=x_1e_1+...+x_ne_n\Leftrightarrow X=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\x_n\end{pmatrix}$$

При этом линейные комбинации над векторами в координатной форме выглядят следующим образом: 

$z=x+y\Leftrightarrow Z=X+Y$

$y=\lambda x\Leftrightarrow Y=\lambda X.$

Пусть $B=(e_1, e_2, ..., e_n)$ и $B'=(e_1', e_2', ..., e_n') -$ два различных базиса в $L_n.$ Каждый из векторов базиса $B'$ разложим по базису $B:$

$e_k'=t_{1k}e_1+...+t_{nk}e_{nk}\Leftrightarrow E_k'=\begin{pmatrix}t_{1k}\\\vdots\\t_{nk}\end{pmatrix},\quad k=1, 2, ..., n.$

Матрицей перехода $T_{B\rightarrow B'}$ от базиса $B$ к базису $B'$ называется матрица

$T_{B\rightarrow B'}=\begin{pmatrix}t_{11}&...&t_{1n}\\...&...&...\\t_{n_1}&...&t_{nn}\end{pmatrix}$ $k$-й столбец которой есть столбец $E'_k$ координат вектора $e'_k$ в базисе $B.$ Если $x -$ произвольный вектор из $L_n,$ $X$ и $X' -$ столбцы его координат в базисах $B$ и $B'$ соответственно то имеет место равенство $$X'=(T_{B\rightarrow B'})^{-1}X$$ (формула преобразования координат при преобразовании базиса).

 

Примеры.

4.15. В постранстве $V_3$ заданы векторы $e_1'=i+j, $ $e_2'=i-j, $ $e_3'=-i+2j-k.$ Доказать, что система $B'=(e_1', e_2', e_3')$ базис в $R_3 $ и написать матрицу перехода $T_{B\rightarrow B',}$ где $B=(e_1=i, e_2=j, e_3=k).$ Найти координаты вектора $x=i-2j+2k$ в базисе $B'.$

Решение.

Для того, чтобы показать, что система векторов $B'=(e_1', e_2', e_3')$ базис в $R_3, $ достаточно показать, что эти вектора не компланарны.  

Из условия мы имеем $e_1'=i+j=(1, 1, 0),$ $e_2'=i-j=(1, -1, 0),$ $e_3'=-i+2j-k=(-1, 2, -1).$ Вектора $e_1', e_2', e_3'$ не компланарны, если $\begin{vmatrix}1&1&0\\1&-1&0\\-1&2&-1\end{vmatrix}\neq 0.$ Проверим это:

$$\begin{vmatrix}1&1&0\\1&-1&0\\-1&2&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-1&0\\2&-1\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}1&0\\-1&-1\end{vmatrix}=1+1=2\neq 0.$$ Следовательно, система $B'=(e_1', e_2', e_3')$ является базисом в $R_3. $

Далее запишем матрицу перехода $T_{B\rightarrow B'.}$

$T_{B\rightarrow B'}=\begin{pmatrix}t_{11}&...&t_{1n}\\...&...&...\\t_{n_1}&...&t_{nn}\end{pmatrix}$ $k$-й столбец которой есть столбец $E'_k$ координат вектора $e'_k$ в базисе $B.$ То есть $$T_{B\rightarrow B'}=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&-1&2\\0&0&-1\end{pmatrix}.$$

Теперь, пользуясь формулой $X'=(T_{B\rightarrow B'})^{-1}X,$ найдем координаты вектора $x=i-2j+2k$ в базисе $B'.$ Здесь $(T_{B\rightarrow B'})^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&-1&2\\0&0&-1\end{pmatrix}^{-1},$ $X=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}.$

Найдем обратную матрицу $(T_{B\rightarrow B'})^{-1}:$

Обозначим $A=T_{B\rightarrow B'}.$ Тогда $det A=2;$

$A_{11}=1;$         $A_{12}=1;$           $A_{13}=0;$ 

$A_{21}=1;$         $A_{22}=-1;$         $A_{23}=0;$ 

$A_{31}=1;$         $A_{32}=-3;$         $A_{33}=-2.$

Отсюда $A^*=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&-3\\0&0&-2\end{pmatrix};$ $A^{-1}=\frac{1}{\det A}A^*=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&-3\\0&0&-2\end{pmatrix}.$ 

Подставляя этот результат в формулу $X'=(T_{B\rightarrow B'})^{-1}X,$ получаем:

$X'=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&-3\\0&0&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\-3\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/2\\-3/2\\-2\end{pmatrix}.$

 

Ответ: $T_{B\rightarrow B'}=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&-1&2\\0&0&-1\end{pmatrix};$   $X'=\begin{pmatrix}1/2\\-3/2\\-2\end{pmatrix}.$ 

 

4.17. Пусть $B=(i, j, k)$ и $B'=(i', j', k') -$ прямоугольные базисы в $R_3.$ Написать матрицу перехода $T_{B\rightarrow B'},$ и выписать столбец координат вектора $x=i-2j+k$ в базисе $B'.$

Базис $B'$ получен перестановкой $i'=j,$ $j'=k,$ $k'=i.$

Решение.

Из условия мы имеем $e_1=i, e_2-j, e_3=k;$ $e_1'=j=(0, 1, 0),$ $e_2'=k=(0, 0, 1),$ $e_3'=i=(1, 0, 0).$

Таким образом, матрица перехода $$T_{B\rightarrow B'}=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}.$$

Теперь, пользуясь формулой $X'=(T_{B\rightarrow B'})^{-1}X,$ найдем координаты вектора $x=i-2j+2k$ в базисе $B'.$ Здесь $(T_{B\rightarrow B'})^{-1}=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}^{-1},$ $X=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}.$

 Найдем обратную матрицу $(T_{B\rightarrow B'})^{-1}:$

Обозначим $A=T_{B\rightarrow B'}.$ Тогда $det A=1;$

$A_{11}=0;$         $A_{12}=0;$           $A_{13}=1;$ 

$A_{21}=1;$         $A_{22}=0;$         $A_{23}=0;$ 

$A_{31}=0;$         $A_{32}=1;$         $A_{33}=0.$

Отсюда $A^*=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix};$ $A^{-1}=\frac{1}{\det A}A^*=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}.$ 

Подставляя этот результат в формулу $X'=(T_{B\rightarrow B'})^{-1}X,$ получаем:

$X'=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}.$

 

Ответ: $T_{B\rightarrow B'}=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix};$   $X'=\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}.$

 

 

Домашнее задание.

 

Пусть $B=(i, j, k)$ и $B'=(i', j', k') -$ прямоугольные базисы в $R_3.$ Написать матрицу перехода $T_{B\rightarrow B'},$ и выписать столбец координат вектора $x=i-2j+k$ в базисе $B'.$

4.16. Базис $B'$ получен изменением на противоположное направление всех трех базисных ортов $B.$

Ответ: $T_{B\rightarrow B'}=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix};$   $X'=\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}.$

 

4.18. Базис $B'$ получен поворотом базиса $B$ на угол $\varphi$ вокруг орта $i.$

Ответ: $T_{B\rightarrow B'}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\varphi&-\sin\varphi\\0&\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix};$   $X'=\begin{pmatrix}1\\-2\cos\varphi+\sin\varphi\\2\sin\varphi+\cos\varphi\end{pmatrix}.$

 

 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить