Рейтинг:   / 6
ПлохоОтлично 

Операции над геометрическими векторами.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

 

Вектором, или геометрическим вектором, $\overline{a}$ называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление. О всяком отрезке $\overline{AB}$ из этого множества говорят, что он предстовляет вектор $\overline{a}$ (получен приложением вектора $\overline{a}$ к точке $A$). Длина отрезка $\overline{AB}$ называется длиной (модулем) вектора, и обозначается символом $|\overline{a}|=|\overline{AB}|$. Вектор нулевой длины называется нулевым вектором и обозначается символом $\overline{0}.$

 

Векторы $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называются равными ($\overline{a}=\overline{b}$) если множества представляющих их направленных отрезков совпадают.

 

vector

Пусть направленный отрезок $\overline{AB}$ представляет вектор $\overline{a}.$ Приложив к точке $B$ заданный вектор $\overline{b},$ получим некоторый направленный отрезок $\overline{BC}.$ Вектор, представляемый направленным отрезком $\overline{AC},$ называется суммой векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ и обозначается $\overline{a+b}$.

Произведением вектора $\overline{a}$ на действительное число $\lambda$ называется вектор, обозначаемый $\overline{\lambda a}$, такой, что:

1) $|\overline{\lambda a}|=|\lambda|\cdot|\overline{a}|;$

 

2) векторы $\overline{a}$ и $\overline{\lambda a}$ сонаправлены при $\lambda>0$ и противоположно направлены при $\lambda<0.$

 

Примеры.

2.4.

Даны вектора $a_1$ и $a_2.$ Построить:

а) $3a_1;$

б) $1/2 a_2;$

в) $a_1+2a_2;$

г) $1/2 a_1-a_2.$

Решение.

3a1

а) $|\overline{3a_1}|=3|\overline{a_1}|;$ направление векторов 
$\overline{3a_1}$ и $\overline{a_1}$ совпадают.

 

 

 

 
 
 
05a2
 
б) $|\overline{0.5a_2}|=0.5|\overline{a_2}|;$ направление векторов  $\overline{0.5a_2}$ и $\overline{a_2}$ совпадают.
 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1+2a2

в) Вначале построим вектор $\overline{2 a_2}:$ Вектор $\overline{2a_2}$ направлен так же как $\overline{a_2}$ и $|\overline{2a_2}|=2|\overline{a_2}|.$  

Вектор $\overline{a_1+2a_2};$ можно построить как диагональ параллелограмма, построенного на векторах $\overline{a_1}$ и $\overline{2a_2}.$

 

 



 

 

05a1-a2

г) Вначале построим вектор $\overline{0.5 a_1}:$ $|\overline{0.5a_1}|=0.5|\overline{a_1}|;$ направление векторов

 $\overline{0.5a_1}$ и $\overline{a_1}1$ совпадают.

Вектор $\overline{0.5 a_1-a_2}$ - это такой вектор, который в сумме с $\overline{a_2} $ даст $\overline{1/2 a_1}.$

 

2.8.

$\overline{AK}$ и $\overline{BM}$ - медианы треугольника $ABC.$ Выразить через $p=\overline{AK}$ и $q=\overline{BM}$ векторы $\overline{AB},$ $\overline{BC}$ и $\overline{CA}.$ 

Решение.

28

Известно, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины. Поэтому $|\overline{AO}|=\frac{2}{3}|\overline{AK}|.$ Так как направление векторов $\overline{AO}$ и $\overline{AK}$  совпадает, то $\overline{AO}=\frac{2}{3}\overline{AK}.$

Аналогично, $\overline{BO}=\frac{2}{3}\overline{BM}.$ 

Из треугольника $AOB$ имеем $$\overline{AB}=\overline{AO}+\overline{OB}=\overline{AO}-\overline{BO}= \frac{2}{3}(\overline{AK}-\overline{BM})=\frac{2}{3}(p-q).$$

 Далее, из треугольника $ABK$ найдем $BK:$ 

$$\overline{BK}=\overline{BA}+\overline{AK}=-\overline{AB}+\overline{AK}=-\frac{2}{3}(p-q)+p=\frac{1}{3}p+\frac{2}{3}q.$$

$$\overline{BC}=2\overline{BK}=\frac{2}{3}p+\frac{4}{3}q.$$

Из треугольника $ABC$ имеем $$\overline{AC}=\overline{AB}+\overline{BC}=\frac{2}{3}(p-q)+\frac{2}{3}p+\frac{4}{3}q=\frac{4}{3}p+\frac{2}{3}q\Rightarrow\overline{CA}=-\overline{AC}=-\frac{4}{3}p-\frac{2}{3}q.$$

Ответ: $\overline{AB}=\frac{2}{3}(p-q); $ $\overline{BC}=\frac{2}{3}p+\frac{4}{3}q;$ $\overline{CA}=-\frac{4}{3}p-\frac{2}{3}q.$

  

2.10.

В треугольнике $ABC$ $\overline{AM}=\alpha\overline{AB}$ и $\overline{CN}=\beta\overline{CM}.$ Полагая $\overline{AB}=a$ и $\overline{AC}=b$  выразить $\overline{AN}$ и $\overline{BN}$ через векторы $a$ и $b.$ 

Решение.

 210

Так как $\overline{AM}=\alpha\overline{AB},$ а $\overline{AB}=a,$ то $\overline{AM}=\alpha a.$

Из треугольника $AMC$ имеем 

$$\overline{CM}=\overline{CA}+\overline{AM}=-\overline{AC}+\overline{AM}=-b+\alpha a.$$

По условию $\overline{CN}=\beta\overline{CM}.$ Следовательно, $\overline{CN}=\beta(-b+\alpha a).$

Из треугольника $ANC$ имеем  $$\overline{AN}=\overline{AC}+\overline{CN}=b+\beta(-b+\alpha a)=b(1-\beta)+\alpha\beta a.$$

Из треугольника $ABN$ имеем 

$$\overline{BN}=\overline{BA}+\overline{AN}=-\overline{AB}+\overline{AN}=-a+b(1-\beta)+\alpha\beta a=b(1-\beta)+a(\alpha\beta-1).$$

Ответ: $\overline{AN}=\alpha\beta a+b(1-\beta); $ $\overline{BN}=a(\alpha\beta-1)+b(1-\beta).$

 

 

 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить