Рейтинг:   / 24
ПлохоОтлично 

Линейные комбинации, линейная зависимость векторов. Коллинеарные и компланарные вектора.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Система векторов $a_1, a_2, ..., a_n$ называется линейно зависимой, если существуют числа $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и $\lambda_1 a_1+\lambda_2 a_2+...+\lambda_n a_n=0.$ В противном случае система называется линейно независимой.

Два вектора $a_1$ и $a_2$ называются коллинеарными если их направления совпадают или противоположны.

Три вектора $a_1, a_2$ и $a_3$ называются компланарными если они параллельны некоторой плоскости.

Геометрические критерии линейной зависимости:

а) система $\{a_1,\, a_2\}$ линейно зависима в том и только том случае, когда векторы $a_1$ и $a_2$ коллинеарны.

б) система $\{a_1,\, a_2,\, a_3\}$ линейно зависима в том и только том случае, когда векторы $a_1,\, a_2$ и $a_3$ компланарны.

Примеры.

2.19.

Разложить вектор $s=a+b+c$ по трем некомпланарным векторам: $p=a+b-2c,$ $q=a-b,$ $r=2b+3c.$

Решение.

Найдем такие $\alpha, \beta$ и $\gamma,$ что $s=\alpha p+\beta q+\gamma r:$

$$s=a+b+c=\alpha(a+b-2c)+\beta(a-b)+\gamma(2b+3c)=$$

$$=a(\alpha+\beta)+b(\alpha-\beta+2\gamma)+c(-2\alpha+3\gamma).$$

Из этого равенства, приравнивая коэффициенты при $a, b$ и $c$ получаем систему уравнений: $$\left\{\begin{array}{lcl}1=\alpha+\beta\\ 1=\alpha-\beta+2\gamma\\ 1=-2\alpha+3\gamma\end{array}\right.$$

Решим эту систему уравнений методом Крамера:

$$\Delta=\begin{vmatrix}1&1&0\\1&-1&2\\-2&0&3\end{vmatrix}=-3-4-3=-10, $$

$$\Delta_1=\begin{vmatrix}1&1&0\\1&-1&2\\1&0&3\end{vmatrix}=-3+2-3=-4, $$

$$\Delta_2=\begin{vmatrix}1&1&0\\1&1&2\\-2&1&3\end{vmatrix}=3-4-2-3=-6, $$

$$\Delta_3=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\-2&0&1\end{vmatrix}=-1-2-2-1=-6, $$

$$\alpha=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{-4}{-10}=\frac{2}{5};\quad\beta=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{-6}{-10}=\frac{3}{5};\quad\gamma=\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{-6}{-10}=\frac{3}{5}.$$ 

Таким образом, $s=\frac{2}{5} p+\frac{3}{5} q+\frac{3}{5}r.$

Ответ: $s=\frac{2}{5} p+\frac{3}{5} q+\frac{3}{5}r.$

 

2.22.

 Доказать, что для любых заданных векторов $а,\, b $ и $c$ векторы $a+b,\,\, b+c,\,\, c-a$ компланарны.

Доказательство.

Cистемы векторов $\{a, b, a+b\}; \,\,\{b, c, b+c\},\,\, \{a, c, c-a\}$ являются компланарными поскольку они линейно зависимы: $a+b-(a+b)=0; \,\,$ $b+c-(b+c)=0;\,\,$ $ -c+a+(c-a)=0.$ Отсюда следует, что если вектора $а,\, b $ и $c$ компланарны, то векторы $a+b,\,\, b+c,\,\, c-a$ также компланарны.

Пусть векторы $a, b$ и $c$ не компланарны. 

Так как векторы $a_1,\, a_2$ и $a_3$ компланарны в том и только том случае, когда система $\{a_1,\, a_2,\, a_3\}$ линейно зависима, то нам нужно показать, что система векторов $a+b,\,\, b+c,\,\, c-a$ линейно зависима. Для этого покажем, что существуют числа $\alpha,\, \beta$ и $\gamma$ такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и $\alpha(a+b)+\beta(b+c)+\gamma(c-a)=0.$

Предположим противное: вектора $a+b,\,\, b+c,\,\, c-a$ некомпланарны. Тогда равенство $\alpha(a+b)+\beta(b+c)+\gamma(c-a)=0$ верно только в случае $\alpha=\beta=\gamma=0$

Запишем последнее уравнение в виде $a(\alpha-\gamma)+b(\alpha+\beta)+c(\beta+\gamma)=0.$ Так как мы рассматриваем случай когда векторы $a, b$ и $c$ некомпланарны, то должны выполняться уравнения 

$$\left\{\begin{array}{lcl}\alpha-\gamma=0\\ \alpha+\beta=0\\ \beta+\gamma=0\end{array}\right.$$

Это вырожденная система: $$\begin{vmatrix}1&0&-1\\1&1&0\\0&1&1\end{vmatrix}=0,$$

поэтому данная система имеет нетривиальное решение, например $\alpha=\gamma=1;\,\,\beta=-1.$ Получили противоречие.

Таким образом, для любых заданных векторов $а,\, b $ и $c$ векторы $a+b,\,\, b+c,\,\, c-a$ компланарны. Что и требовалось доказать.

 

 

 

Домашнее заданее.

№2.18

На стороне $AD$ параллелограмма $ABCD$ отложен вектор $\overline{AK}$ длины $|\overline{AK}|=1/5|\overline{AD}|,$ а на диагонали $AC$ вектор $\overline{AL}$ длины $|\overline{AL}|=1/6|\overline{AC}|$ . Доказать, что векторы $\overline{KL}$ и $\overline{LB}$ коллинеарны и найти $\lambda$ такое, что $\overline{KL}=\lambda\overline{LB}.$

Ответ: $\lambda=5$

№2.20

 Найти линейную зависимость между данными четырьмя некомпланарными векторами: $p=a+b,\, q=b-c,\,r=a-b+c,\, s=b+1/2c.$

 Ответ: $3p-4q-3r-2s=0$

 

 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить