Проекции вектора. Направляющие косинусы. Неравенство Коши-Буняковского.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Проекции вектора. Направляющие косинусы.

Проекцией вектора $a$ на вектор $b$ называется число $Pr_b a=|a|\cos\varphi,$ где $\varphi=\widehat{(a, b)}$ угол между векторами $a$ и $b,$ $0\leq\varphi\leq\pi.$ 

Координаты $X, Y, Z$ вектора $a$ в прямоугольном базисе совпадают с проекциями вектора $a$ на базисные орты $i, j, k$ соответственно, а длина вектора $a$ равна $|a|=\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}.$

Числа $$\cos\alpha=\cos\widehat{(a, i)}=\frac{X}{\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}},$$ 

$$\cos\beta=\cos\widehat{(a, j)}=\frac{Y}{\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}},$$

$$\cos\gamma=\cos\widehat{(a, k)}=\frac{Z}{\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}},$$ называются направляющими косинусами вектора $a.$

Направляющие косинусы совпадают с координатами (проекциями) его орта $a_0=\frac{a}{|a|}.$

Неравенство Коши-Буняковского.

Для любых векторов евклидова пространства справедливо неравенство Коши-Буняковского $$|(x, y)|^2\leq(x, x)(y, y).$$ 

Примеры:

2.35. Заданы векторы $a_1(-1; 2; 0),$ $a_2(3; 1; 1)$   $a_3(2; 0; 1)$ и $a=a_1-2a_2+1/3a_3.$ Вычислить:

а) $|a_1|$ и координаты орта $a_{1,0}$ вектора $a_1;$

б) $\cos\widehat{(a, j)};$

в) координату $X$ вектора $a;$

г) $Pr_j a.$

Решение. 

а) $|a_1|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5};$

$a_{1, 0}=\frac{a_1}{|a_1|}=\frac{(-1; 2; 0)}{\sqrt 5}=(-\frac{1}{\sqrt 5}, \frac{2}{\sqrt 5}, 0).$

б) $\cos\widehat{(a_1, j)}=\frac{a_{1y}}{|a_1|}.$

$a_{1y}=2;$

$|a_1|=\sqrt{5}.$

Таким образом,  $\cos\widehat{a_1, j}=\frac{a_{1y}}{|a_1|}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

в) $a=2 a_1-2a_2+1/3a_3=(-1; 2; 0)-2(3; 1; 1)+1/3(2; 0; 1)=$ $=(-1; 2; 0)+(-6; -2; -2)+(2/3; 0; 1/3)=(-19/3; 0; -5/3).$

Отсюда $a_x=-19/3.$

г) $Pr_j a=a_y=0.$

Ответ: а) $|a_1|=\sqrt{5},$ $a_{1, 0}(-\frac{1}{\sqrt 5}, \frac{2}{\sqrt 5}, 0).$

б) $\cos\widehat{(a_1, j)}=\frac{2}{\sqrt 5};$

в) $a_x=-19/3;$

г) $Pr_j a=0.$

2.40. Найти координаты орта $a_0,$ если $a(6; 7; -6).$

Решение.

$$a_0=\frac{a}{|a|}=\frac{(6; 7; -6)}{\sqrt{6^2+7^2+6^2}}=\frac{(6; 7; -6)}{\sqrt{121}}=\frac{(6; 7; -6)}{11}=\left(\frac{6}{11}, \frac{7}{11}, -\frac{6}{11}\right).$$

Ответ: $\left(\frac{6}{11}, \frac{7}{11}, -\frac{6}{11}\right).$

2.45. Найти вектор $x,$ образующий с ортом $j$ угол $\pi/3,$ с ортом $k -$ угол $2\pi/3,$ если $|x|=5\sqrt{2}.$

Решение.

Пусть $x=(x_1, x_2, x_3).$ Тогда

$\cos(x, j)=\frac{x_2}{|x|}=\frac{x_2}{5\sqrt 2}=\frac{1}{2}\Rightarrow x_2=\frac{5\sqrt 2}{2}=\frac{5}{\sqrt 2}.$

$\cos(x, k)=\frac{x_3}{|x|}=\frac{x_3}{5\sqrt 2}=-\frac{1}{2}\Rightarrow x_3=-\frac{5\sqrt 2}{2}=-\frac{5}{\sqrt 2}.$

Далее находим $x_1:$

$|x_1|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}=\sqrt{x_1^2+(5/\sqrt 2)^2+(5/\sqrt 2)^2}=5\sqrt 2.$

$x_1^2+\frac{50}{2}=50$

$x_1^2=25$

$x_1=\pm 5$

Ответ: $\left(\pm 5, \frac{5\sqrt 2}{2}, -\frac{5}{\sqrt 2}\right).$

Домашнее задание.

2.39. Заданы векторы $a=2i+3j, b=-3j-2k, c=i+j-k.$ Найти

а) координаты орта $a_0;$

б) координаты вектора $a-1/2b+c;$

в) разложение вектора $a+b-2c$ по базису $B=(i, j, k);$

г) $Pr_j (a-b).$

Ответ: а)$a_{0}(\frac{2}{\sqrt {13}}, \frac{3}{\sqrt {13}}, 0).$

б) $a-\frac{1}{2}b+c=d(3, 11/2, 0);$

в) $a+b-2c=-2j;$

г) $Pr_j (a-b)=6.$

2.42. Найти длину и направляющие косинусы вектора $p=3a-5b+c$ если $a=4i+7j+3k; b=i+2j+k; c=2i-3j-k.$

Ответ: а)$p=\sqrt{154};$ $\cos\alpha=9/\sqrt{154};$ $\cos\beta=8/\sqrt{154};$ $\cos\gamma=3/\sqrt{154}.$