Комплексные числа
Рейтинг: 4 / 5
Действия над комплексными числами.
English version: Actions with complex numbers.
Комплексные числа - числа вида $x+iy,$ где $x,y\in \mathbb{R,}$ а
$\,i,$ такое число, что $ i^2=-1.$ Множество комплексных чисел
обозначается $\mathbb{C}.$
Действия над комплексными числами.
Сложение комплексных чисел:
$$(x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2).$$
Умножение двух комплексных чисел:
$$(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2-y_1y_2+(x_1y_2+x_2y_1)i.$$
Умножение комплексного числа на действительное:
$$\lambda(x+iy)=\lambda x+i\lambda y.$$
Деление комплексных чисел:
$$\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=\frac{x_1x_2+y_1y_2+i(y_1x_2-x_1y_2)}{x_2^2+y_2^2}=$$ $$\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+\frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}i.$$
Действительные числа $x$ и $y$ комплексного числа $z=x+iy,$ называются действительной и мнимой частью числа $z$ и обозначаются, соответственно, $Re z=x$ и $Im z=y.$
Два комплексных числа $z_1=x_1+iy_1$ и $z_2=x_2+iy_2$ называются равными в том и только том случае, если $x_1=x_2,$ $y_1=y_2.$
Запись $z=x+iy$ называют алгебраической формой комплексного числа $z.$
Числа $z_1=x+iy$ и $z_2=x-iy$ называют сопряженными.
Примеры:
Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой форме:
1.421. $(2+3i)(3-i).$
Решение:
$(2+3i)(3-i)=6-2i+9i-3i^2=6+7i+3=9+7i.$
Ответ: $9+7i.$
1.424. $(2i-i^2)^2+(1-3i)^3.$
Решение.
$(2i-i^2)^2+(1-3i)^3=(2i+1)^2+1-3(3i)^2+3(3i)-(3i)^3=$ $=4i^2+4i+1-27i^2+9i-27i^3=-4+4i+1+27-9i+27i=24+22i.$
Ответ: $24+22i.$
1.425. $\frac{2-i}{1+i}.$
Решение.
$$\frac{2-i}{1+i}=\frac{(2-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2-2i-i+i^2}{1-i^2}=\frac{2-3i-1}{1+1}=\frac{1-3i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i.$$
Ответ: $\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i.$
{jumi[*4]}
1.428. $\frac{(1+i)(3+i)}{3-i}-\frac{(1-i)(3-i)}{3+i}.$
Решение.
$$\frac{(1+i)(3+i)}{3-i}-\frac{(1-i)(3-i)}{3+i}=\frac{(1+i)(3+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}-$$ $$-\frac{(1-i)(3-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}=\frac{9+15i+7i^2+i^3}{9-i^2}-\frac{9-15i+7i^2-i^3}{9-i^2}=$$ $$=\frac{9+15i-7-i-9+15i+7-i}{10}=\frac{28}{10}i=\frac{14}{5}i.$$
Ответ: $\frac{14}{5}i.$
Найти действительные решения следующего уравнения:
1. 430. $(1+i)x+(-2+5i)y=-4+17i.$
Решение.
$(1+i)x+(-2+5i)y=-4+17i\Rightarrow$
$x+xi-2y+5yi=-4+17i\Rightarrow$
$(x-2y)+(x+5y)i=-4+17i\Rightarrow$
$$\left\{\begin{array}{lcl}x-2y=-4\\x+5y=17\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2y-4\\2y-4+5y=17\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2\\y=3\end{array}\right. .$$
Ответ: $x=2; y=3.$
Домашнее задание.
Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой форме:
1.422. $(1+2i)^2.$
Ответ: $-3+4i.$
1.423. $(1-i)^3-(1+i)^3.$
Ответ: $-4i.$
1.426. $\frac{1}{1+4i}+\frac{1}{4-i}.$
Ответ: $\frac{5}{17}-\frac{3}{17}i.$
1.427. $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^3.$
Ответ: $i.$
Найти действительные решения следующего уравнения:
1.431. $12((2x+i)(1+i)+(x+y)(3-2i))=17+6i.$
Ответ: $x=1/3; y=1/4.$
Решить следующие системы линейных уравнений:
1.432. $(3-i)z_1+(4+2i)z_2=1+3i;$
$(4+2i)z_1-(2+3i)z_2=7.$
Ответ: $z_1=1; z_2=i.$
1.433. $(2+i)z_1+(2-i)z_2=6;$
$(3+2i)z_1+(3-2i)z_2=8.$
Ответ: $z_1=2+i; z_2=2-i.$
Рейтинг: 3 / 5
Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Множество действительных чисел можно рассматривать как подмножество комплексных чисел, у которых $Im z=0.$
Можно также изображать комплексное число в виде радиус-вектора $\{x, y\}$ и определять его, задавая его длину $r$ и угол $\varphi$ между осью $Ox$ и вектором.
Длина этого вектора называется модулем комплексного числа $$|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}\geq 0,$$а угол $\varphi$ называется аргументом комплексного числа и обозначается $Arg z.$ Аргумент определяется с точностью до слагаемого $2\pi k\,\,\,\,\, (k=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, ...)$ и для положительных значений отсчитывается от оси $Ox$ до вектора против часовой стрелки, а для отрицательных значений – по часовой стрелке.
Значение аргумента, который принадлежит интервалу $(-\pi, \pi],$ называется главным значением аргумента и определяется $arg z.$ Главное значение аргументу числа $x+iy$ можно вычислять по формуле $\varphi= arg z=arctg\left(\frac{y}{x}\right)+k\pi,$ где $k=0,$ если $z$ находится в первой или четвертой четвертях, $k=1,$ если $z$ находится во второй четверти, $k=-1,$ если $z$ находится в третей четверти. Если $x=Rez=0,$ то $\varphi=\pi/2,$ когда $y=Imz>0$ и $\varphi=-\pi/2,$ когда $y=Imz<0.$ плоскость называется комплексной плоскостью C (рисунок 1), ось $Ox$ называется действительной осью, а ось $Oy$ – мнимой осью. Таким образом, действительному числу $z=x+0i=x$ отвечает точка на действительной оси, а мнимому числу $z=0+iy=y -$ точка на мнимой оси.
Рейтинг: 4 / 5
Формулы Эйлера и Муавра. Корень n-й степени с комплексного числа.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Формулы Эйлера:
$$\cos\varphi=\frac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}; \qquad\qquad \sin\varphi=\frac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}$$
Формула Муавра:
Если $z=re^{i\varphi}, $ то $$z^n=r^ne^{in\varphi},$$ или, в тригонометричской форме:
$$z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi).$$
Пусть $a=re^{i\varphi}, \,\, a\neq 0,-$ фиксированное комплексное число. Тогда уравнение $z^n=a,\,\,\, n\in N,$ имеет в точности $n$ различных решений $z_0, z_1, ..., z_{n-1}$ причем эти решения даются формулой $$z_k=\sqrt[n]{r}e^{i\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2\pi}{n}k\right)}=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),$$ $$k=0, 1, ... , n-1.$$ (здесь $\sqrt r$ действительное положительное число) Числа $z_k, \,\, k=0, 1, ..., n-1,$ называются корнями $n-$й степени из комплексного числа $a$ и обозначаются символом $\sqrt[n]{a}.$
Примеры:
1.483. Доказать формулу Эйлера $\cos\varphi=\frac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}.$
Решение.
Известно, что $e^{i\varphi}=\cos{\varphi}+i\sin\varphi.$ Соответственно, $e^{-i\varphi}=\cos{(-\varphi)}+i\sin(-\varphi)=\cos\varphi-i\sin\varphi.$
Отсюда находим $e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi+\cos\varphi-i\sin\varphi=2\cos\varphi.$
Cледовательно, $\cos\varphi=\frac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}.$ Что и требовалось доказать.
Используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:
1.485. $(1+i)^{10}.$
Решение.
Запишем число $z=1+i$ в показательной форме:
$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt 2.$
Поскольку число $z$ находится в первой четверти, то
$tg\varphi=\frac{y}{x}=\frac{1}{1}=1.$ И $\varphi=\frac{\pi}{4}.$
Таким образом, мы можем записать число $z=1+i$ в показательной форме: $z=\sqrt 2 e^{i\frac{\pi}{4}}.$
Теперь, используя формулу Муавра можно найти $z^{10}:$
$$(1+i)^{10}=(\sqrt 2 e^{i\frac{\pi}{4}})^{10}=(\sqrt 2)^{10}e^{i\frac{10\pi}{4}}=$$
$$=32e^{i\frac{5\pi}{2}}=32(\cos\frac{5\pi}{2}+i\sin{5\pi}{2})=32i.$$
Ответ: $(1+i)^{10}=32i.$
1.491. Используя формулу Муавра, выразить через $\cos\varphi$ и $\sin\varphi$ функцию$\cos 3\varphi.$
Решение.
$$\cos 3\varphi=\frac{e^{3i\varphi}+e^{-3i\varphi}}{2}=\frac{1}{2}\left((\cos\varphi+i\sin\varphi)^3+(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi))^3\right)=$$
$$=\frac{1}{2}\left(\cos^3\varphi+3i\cos^2\varphi\sin\varphi+3i^2\cos\varphi\sin^2\varphi+i^3\sin^3\varphi \right. +$$
$$+\left.\cos^3(-\varphi)-3i\cos^2(-\varphi)\sin(-\varphi)+3i^2\cos(-\varphi)\sin^2(-\varphi)-i^3\sin^3(-\varphi)\right)=$$ $$=\frac{1}{2}\left(\cos^3{\varphi}+3i(1-\sin^2\varphi)\sin\varphi-3\cos\varphi(1-\cos^2\varphi)\right.-i\sin^3\varphi+$$ $$+\left.\cos^3\varphi+3i(1-\sin^2\varphi)\sin\varphi-3\cos\varphi(1-\cos^2\varphi)-i\sin^3\varphi\right)=$$ $$=\cos^3\varphi+3i\sin\varphi-3i\sin^3\varphi-3\cos\varphi+3\cos^3\varphi-i\sin^3\varphi=$$ $$=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi+3i\sin\varphi-4i\sin^3\varphi.$$
Ответ: $4\cos^3\varphi-3\cos\varphi+3i\sin\varphi-4i\sin^3\varphi.$
{jumi[*4]}
1.495. Найти и изобразить на комплексной плоскости все корни 2-й, 3-й и 4-й степени из единицы.
Решение.
Запишем число 1 в показательной форме:
$1=1e^{0i}.$ То есть $r=1, \varphi=0.$
Далее, пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:
$$z_0=\sqrt[2]{1}e^{i\left(\frac{0}{2}+\frac{2\pi}{2}0\right)}=e^0=1.$$$$z_1=\sqrt[2]{1}e^{i\left(\frac{0}{2}+\frac{2\pi}{2}1\right)}=e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1.$$
Вычисляем корень третьей степени из единицы:
$$z_0=\sqrt[3]{1}e^{i\left(\frac{0}{3}+\frac{2\pi}{3}0\right)}=e^0=1.$$
$$z_1=\sqrt[3]{1}e^{i\left(\frac{0}{3}+\frac{2\pi}{3}1\right)}=e^{i\frac{2\pi}{3}}=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}.$$
$$z_2=\sqrt[3]{1}e^{i\left(\frac{0}{3}+\frac{2\pi}{3}2\right)}=e^{i\frac{4\pi}{3}}=\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}.$$
Вычисляем корень четвертой степени из единицы:
$$z_0=\sqrt[4]{1}e^{i\left(\frac{0}{4}+\frac{2\pi}{4}0\right)}=e^0=1.$$
$$z_1=\sqrt[4]{1}e^{i\left(\frac{0}{4}+\frac{2\pi}{4}1\right)}=e^{i\frac{\pi}{2}}=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i.$$
$$z_2=\sqrt[4]{1}e^{i\left(\frac{0}{4}+\frac{2\pi}{4}2\right)}=e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1.$$
$$z_3=\sqrt[4]{1}e^{i\left(\frac{0}{4}+\frac{2\pi}{4}3\right)}=e^{i\frac{3\pi}{2}}=\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}=-i.$$
Ответ: Корни второй степени: $z_0=1;\,\, z_1 =-1.$ Корни третьей сепени: $z_0=1;\,\, z_1=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2};\,\, z_2=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}.$ Корни четвертой степени: $z_0=1;\,\, z_1=i;\,\, z_2=-1;\,\, z_3=-i.$
Найти все значения корней:
1.499. $\sqrt{-1+i\sqrt 3}.$
Решение.
Запишем число $z=-1+i\sqrt 3$ в показательной форме:
$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1+3}= 2.$
Поскольку число $z$ находится во второй четверти, то
$tg\varphi=\frac{y}{x}=\frac{\sqrt 3}{-1}=-\sqrt 3$ и $\varphi=\frac{2\pi}{3}.$
Таким образом, мы можем записать число $z=-1+i\sqrt 3$ в показательной форме: $z=2 e^{i\frac{2\pi}{3}}.$
Пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:
$$z_0=\sqrt{2}e^{i\left(\frac{2\pi}{6}+\frac{2\pi}{2}0\right)}=\sqrt 2e^{i\frac{\pi}{3}}=\sqrt 2\left(cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt 2\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}\right).$$
$$z_1=\sqrt{2}e^{i\left(\frac{2\pi}{6}+\frac{2\pi}{2}1\right)}=\sqrt 2e^{i\frac{\pi}{3}+\pi}=\sqrt 2\left(cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)=$$ $$=\sqrt 2\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}\right).$$
Ответ: $\pm\frac{\sqrt 2}{2}(1+i\sqrt 3)$
1.501. $\sqrt [5]{-1-i}.$
Решение.
Запишем число $z=-1-i 3$ в показательной форме:
$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1+1}= \sqrt 2.$
Поскольку число $z$ находится в третьей четверти, то
$tg\varphi=\frac{y}{x}=\frac{-1}{-1}=1$ и $\varphi=\frac{5\pi}{4}.$
Таким образом, мы можем записать число $z=-1-i$ в показательной форме: $z=\sqrt 2 e^{i\frac{5\pi}{4}}.$
Пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:
$$z_0=\sqrt[5]{\sqrt 2}e^{i\left(\frac{5\pi}{4\cdot 5}+\frac{2\pi}{5}0\right)}=\sqrt [10] {2}e^{i\frac{\pi}{4}}=\sqrt[10]{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt[10]{2} \left(\frac{1}{\sqrt 2}+i\frac{1}{\sqrt 2}\right).$$
$$z_1=\sqrt[5]{\sqrt 2}e^{i\left(\frac{5\pi}{4\cdot 5}+\frac{2\pi}{5}1\right)}=\sqrt [10] {2}e^{i\frac{\pi}{4}}=\sqrt[10]{2}\left(\cos\frac{13\pi}{20}+i\sin\frac{13\pi}{20}\right).$$
$$z_2=\sqrt[5]{\sqrt 2}e^{i\left(\frac{5\pi}{4\cdot 5}+\frac{2\pi}{5}2\right)}=\sqrt [10] {2}e^{i\frac{21\pi}{20}}=\sqrt[10]{2}\left(\cos\frac{21\pi}{20}+i\sin\frac{21\pi}{20}\right).$$
$$z_3=\sqrt[5]{\sqrt 2}e^{i\left(\frac{5\pi}{4\cdot 5}+\frac{2\pi}{5}3\right)}=\sqrt [10] {2}e^{i\frac{29\pi}{20}}=\sqrt[10]{2}\left(\cos\frac{29\pi}{20}+i\sin\frac{29\pi}{20}\right).$$
$$z_4=\sqrt[5]{\sqrt 2}e^{i\left(\frac{5\pi}{4\cdot 5}+\frac{2\pi}{5}4\right)}=\sqrt [10] {2}e^{i\frac{37\pi}{20}}=\sqrt[10]{2}\left(\cos\frac{37\pi}{20}+i\sin\frac{37\pi}{20}\right).$$
Ответ: $\sqrt[10]{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{5}k\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{5}k\right)\right).$
Домашнее задание:
1.483. Доказать формулу Эйлера $\sin\varphi=\frac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}.$
Используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:
1.486. $\frac{(1+i)^{5}}{(1-i)^3}.$
Ответ: $2.$
1.488. $(1+i)^8(1-i\sqrt 3)^{-6}.$
Ответ: $\frac{1}{4}.$
Используя формулу Муавра, выразить через $\cos\varphi$ и $\sin\varphi$ следующие функции:
1.492. $\sin 3\varphi.$
Ответ: $3\sin\varphi-4\sin^3\varphi.$
1.493. $\cos 4\varphi.$
Ответ: $\cos^4\varphi-6\cos^2\varphi\sin^2\varphi+\sin^4\varphi.$
Найти все значения корней:
1.496. $\sqrt i$
Ответ: $\pm\frac{\sqrt 2}{2}\left(1+i\right).$
1.497. $\sqrt {-1}.$
Ответ: $\pm\frac{\sqrt 2}{2}\left(1+i\right),$ $\pm\frac{\sqrt 2}{2}\left(1-i\right).$
1.500. $\sqrt[4]{2\sqrt 3+2i}.$
Ответ: $\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{2}k\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{2}k\right)\right).$
1.502. $\sqrt[6]{1+i\sqrt 3}.$
Ответ: $\sqrt[6]{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{18}+\frac{\pi}{3}k\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{18}+\frac{\pi}{3}k\right)\right).$
Рейтинг: 4 / 5
Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами и комплексной переменной.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Решить квадратное уравнение.
1.508. $z^2+2z+5=0.$
Решение.
$D=2^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16$
$z_1=\frac{-2+\sqrt {-16}}{2}=\frac{-2+\sqrt {16}\sqrt{-1}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=-1+2i;$
$z_2=\frac{-2-\sqrt {-16}}{2}=\frac{-2-\sqrt {16}\sqrt{-1}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=-1-2i.$
Ответ: $z_1=-1+2i;$ $z_2=-1-2i.$
1.509. $4z^2-2z+1=0.$
Решение.
$D=(-2)^2-4\cdot 4\cdot 1=4-16=-12$
$z_1=\frac{2+\sqrt {-12}}{8}=\frac{2+\sqrt {12}\sqrt{-1}}{8}=\frac{2+2\sqrt 3i}{8}=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt 3}{4}i;$
$z_2=\frac{2-\sqrt {-12}}{8}=\frac{2-\sqrt {12}\sqrt{-1}}{8}=\frac{2-2\sqrt 3i}{8}=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt 3}{4}i.$
Ответ: $z_1=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt 3}{4}i;$ $z_2=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt 3}{4}i.$
Решить биквадратное уравнение
1.516. $z^4+18z^2+81=0.$
Решение.
Сделаем замену переменных:
$t=z^2.$
Получаем квадратное уравнение:
$t^2+18t+81=0.$
Решим его:
$D=(18)^2-4\cdot 1\cdot 81=324-324=0.$
$t_1=\frac{-18+0}{2}=-9;$
$t_2=\frac{-18-0}{2}=-9.$
Далее сделаем обратную замену:
$t_1=t_2=z_{1, 2}^2=z_{3, 4}^2\Rightarrow $
$\Rightarrow -9=z_{1 ,2}^2\Rightarrow $
$\Rightarrow z_{1, 2}=\pm\sqrt {-9}=\pm\sqrt 9\sqrt{-1}=\pm 3i.$
Ответ: $z_{1,2}=z_{3,4}=\pm3i.$
Домашнее задание
Решить биквадратное уравнение
1.517. $z^4+4z^2+3=0.$
Ответ: $z_{1,2}=\pm i$ $z_{3,4}=\pm\sqrt 3i.$
1.518. $z^4+9z^2+20=0.$
Ответ: $z_{1,2}=\pm 2i$ $z_{3,4}=\pm\sqrt 5i.$
Рейтинг: 5 / 5
Комплексные числа.
Действия с комплексными числами.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
Формулы Эйлера и Муавра. Корень n-й степени с комплексного числа.
Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами и комплексной переменной.