Векторная алгебра.
Операции над геометрическими векторами.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Вектором, или геометрическим вектором, $\overline{a}$ называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление. О всяком отрезке $\overline{AB}$ из этого множества говорят, что он предстовляет вектор $\overline{a}$ (получен приложением вектора $\overline{a}$ к точке $A$). Длина отрезка $\overline{AB}$ называется длиной (модулем) вектора, и обозначается символом $|\overline{a}|=|\overline{AB}|$. Вектор нулевой длины называется нулевым вектором и обозначается символом $\overline{0}.$
Векторы $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называются равными ($\overline{a}=\overline{b}$) если множества представляющих их направленных отрезков совпадают.
Пусть направленный отрезок $\overline{AB}$ представляет вектор $\overline{a}.$ Приложив к точке $B$ заданный вектор $\overline{b},$ получим некоторый направленный отрезок $\overline{BC}.$ Вектор, представляемый направленным отрезком $\overline{AC},$ называется суммой векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ и обозначается $\overline{a+b}$.
Произведением вектора $\overline{a}$ на действительное число $\lambda$ называется вектор, обозначаемый $\overline{\lambda a}$, такой, что:
1) $|\overline{\lambda a}|=|\lambda|\cdot|\overline{a}|;$
2) векторы $\overline{a}$ и $\overline{\lambda a}$ сонаправлены при $\lambda>0$ и противоположно направлены при $\lambda<0.$
Примеры.
2.4.
Даны вектора $a_1$ и $a_2.$ Построить:
а) $3a_1;$
б) $1/2 a_2;$
в) $a_1+2a_2;$
г) $1/2 a_1-a_2.$
Решение.
в) Вначале построим вектор $\overline{2 a_2}:$ Вектор $\overline{2a_2}$ направлен так же как $\overline{a_2}$ и $|\overline{2a_2}|=2|\overline{a_2}|.$
Вектор $\overline{a_1+2a_2};$ можно построить как диагональ параллелограмма, построенного на векторах $\overline{a_1}$ и $\overline{2a_2}.$
г) Вначале построим вектор $\overline{0.5 a_1}:$ $|\overline{0.5a_1}|=0.5|\overline{a_1}|;$ направление векторов
$\overline{0.5a_1}$ и $\overline{a_1}1$ совпадают.
Вектор $\overline{0.5 a_1-a_2}$ - это такой вектор, который в сумме с $\overline{a_2} $ даст $\overline{1/2 a_1}.$
2.8.
$\overline{AK}$ и $\overline{BM}$ - медианы треугольника $ABC.$ Выразить через $p=\overline{AK}$ и $q=\overline{BM}$ векторы $\overline{AB},$ $\overline{BC}$ и $\overline{CA}.$
Решение.
Известно, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины. Поэтому $|\overline{AO}|=\frac{2}{3}|\overline{AK}|.$ Так как направление векторов $\overline{AO}$ и $\overline{AK}$ совпадает, то $\overline{AO}=\frac{2}{3}\overline{AK}.$
Аналогично, $\overline{BO}=\frac{2}{3}\overline{BM}.$
Из треугольника $AOB$ имеем $$\overline{AB}=\overline{AO}+\overline{OB}=\overline{AO}-\overline{BO}= \frac{2}{3}(\overline{AK}-\overline{BM})=\frac{2}{3}(p-q).$$
Далее, из треугольника $ABK$ найдем $BK:$
$$\overline{BK}=\overline{BA}+\overline{AK}=-\overline{AB}+\overline{AK}=-\frac{2}{3}(p-q)+p=\frac{1}{3}p+\frac{2}{3}q.$$
$$\overline{BC}=2\overline{BK}=\frac{2}{3}p+\frac{4}{3}q.$$
Из треугольника $ABC$ имеем $$\overline{AC}=\overline{AB}+\overline{BC}=\frac{2}{3}(p-q)+\frac{2}{3}p+\frac{4}{3}q=\frac{4}{3}p+\frac{2}{3}q\Rightarrow\overline{CA}=-\overline{AC}=-\frac{4}{3}p-\frac{2}{3}q.$$
Ответ: $\overline{AB}=\frac{2}{3}(p-q); $ $\overline{BC}=\frac{2}{3}p+\frac{4}{3}q;$ $\overline{CA}=-\frac{4}{3}p-\frac{2}{3}q.$
{jumi[*4]}
2.10.
В треугольнике $ABC$ $\overline{AM}=\alpha\overline{AB}$ и $\overline{CN}=\beta\overline{CM}.$ Полагая $\overline{AB}=a$ и $\overline{AC}=b$ выразить $\overline{AN}$ и $\overline{BN}$ через векторы $a$ и $b.$
Решение.
Так как $\overline{AM}=\alpha\overline{AB},$ а $\overline{AB}=a,$ то $\overline{AM}=\alpha a.$
Из треугольника $AMC$ имеем
$$\overline{CM}=\overline{CA}+\overline{AM}=-\overline{AC}+\overline{AM}=-b+\alpha a.$$
По условию $\overline{CN}=\beta\overline{CM}.$ Следовательно, $\overline{CN}=\beta(-b+\alpha a).$
Из треугольника $ANC$ имеем $$\overline{AN}=\overline{AC}+\overline{CN}=b+\beta(-b+\alpha a)=b(1-\beta)+\alpha\beta a.$$
Из треугольника $ABN$ имеем
$$\overline{BN}=\overline{BA}+\overline{AN}=-\overline{AB}+\overline{AN}=-a+b(1-\beta)+\alpha\beta a=b(1-\beta)+a(\alpha\beta-1).$$
Ответ: $\overline{AN}=\alpha\beta a+b(1-\beta); $ $\overline{BN}=a(\alpha\beta-1)+b(1-\beta).$
Линейные комбинации, линейная зависимость векторов. Коллинеарные и компланарные вектора.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Система векторов $a_1, a_2, ..., a_n$ называется линейно зависимой, если существуют числа $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и $\lambda_1 a_1+\lambda_2 a_2+...+\lambda_n a_n=0.$ В противном случае система называется линейно независимой.
Два вектора $a_1$ и $a_2$ называются коллинеарными если их направления совпадают или противоположны.
Три вектора $a_1, a_2$ и $a_3$ называются компланарными если они параллельны некоторой плоскости.
Геометрические критерии линейной зависимости:
а) система $\{a_1,\, a_2\}$ линейно зависима в том и только том случае, когда векторы $a_1$ и $a_2$ коллинеарны.
б) система $\{a_1,\, a_2,\, a_3\}$ линейно зависима в том и только том случае, когда векторы $a_1,\, a_2$ и $a_3$ компланарны.
Примеры.
2.19.
Разложить вектор $s=a+b+c$ по трем некомпланарным векторам: $p=a+b-2c,$ $q=a-b,$ $r=2b+3c.$
Решение.
Найдем такие $\alpha, \beta$ и $\gamma,$ что $s=\alpha p+\beta q+\gamma r:$
$$s=a+b+c=\alpha(a+b-2c)+\beta(a-b)+\gamma(2b+3c)=$$
$$=a(\alpha+\beta)+b(\alpha-\beta+2\gamma)+c(-2\alpha+3\gamma).$$
Из этого равенства, приравнивая коэффициенты при $a, b$ и $c$ получаем систему уравнений: $$\left\{\begin{array}{lcl}1=\alpha+\beta\\ 1=\alpha-\beta+2\gamma\\ 1=-2\alpha+3\gamma\end{array}\right.$$
Решим эту систему уравнений методом Крамера:
$$\Delta=\begin{vmatrix}1&1&0\\1&-1&2\\-2&0&3\end{vmatrix}=-3-4-3=-10, $$
$$\Delta_1=\begin{vmatrix}1&1&0\\1&-1&2\\1&0&3\end{vmatrix}=-3+2-3=-4, $$
$$\Delta_2=\begin{vmatrix}1&1&0\\1&1&2\\-2&1&3\end{vmatrix}=3-4-2-3=-6, $$
$$\Delta_3=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\-2&0&1\end{vmatrix}=-1-2-2-1=-6, $$
$$\alpha=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{-4}{-10}=\frac{2}{5};\quad\beta=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{-6}{-10}=\frac{3}{5};\quad\gamma=\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{-6}{-10}=\frac{3}{5}.$$
Таким образом, $s=\frac{2}{5} p+\frac{3}{5} q+\frac{3}{5}r.$
Ответ: $s=\frac{2}{5} p+\frac{3}{5} q+\frac{3}{5}r.$
{jumi[*4]}
2.22.
Доказать, что для любых заданных векторов $а,\, b $ и $c$ векторы $a+b,\,\, b+c,\,\, c-a$ компланарны.
Доказательство.
Cистемы векторов $\{a, b, a+b\}; \,\,\{b, c, b+c\},\,\, \{a, c, c-a\}$ являются компланарными поскольку они линейно зависимы: $a+b-(a+b)=0; \,\,$ $b+c-(b+c)=0;\,\,$ $ -c+a+(c-a)=0.$ Отсюда следует, что если вектора $а,\, b $ и $c$ компланарны, то векторы $a+b,\,\, b+c,\,\, c-a$ также компланарны.
Пусть векторы $a, b$ и $c$ не компланарны.
Так как векторы $a_1,\, a_2$ и $a_3$ компланарны в том и только том случае, когда система $\{a_1,\, a_2,\, a_3\}$ линейно зависима, то нам нужно показать, что система векторов $a+b,\,\, b+c,\,\, c-a$ линейно зависима. Для этого покажем, что существуют числа $\alpha,\, \beta$ и $\gamma$ такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и $\alpha(a+b)+\beta(b+c)+\gamma(c-a)=0.$
Предположим противное: вектора $a+b,\,\, b+c,\,\, c-a$ некомпланарны. Тогда равенство $\alpha(a+b)+\beta(b+c)+\gamma(c-a)=0$ верно только в случае $\alpha=\beta=\gamma=0$
Запишем последнее уравнение в виде $a(\alpha-\gamma)+b(\alpha+\beta)+c(\beta+\gamma)=0.$ Так как мы рассматриваем случай когда векторы $a, b$ и $c$ некомпланарны, то должны выполняться уравнения
$$\left\{\begin{array}{lcl}\alpha-\gamma=0\\ \alpha+\beta=0\\ \beta+\gamma=0\end{array}\right.$$
Это вырожденная система: $$\begin{vmatrix}1&0&-1\\1&1&0\\0&1&1\end{vmatrix}=0,$$
поэтому данная система имеет нетривиальное решение, например $\alpha=\gamma=1;\,\,\beta=-1.$ Получили противоречие.
Таким образом, для любых заданных векторов $а,\, b $ и $c$ векторы $a+b,\,\, b+c,\,\, c-a$ компланарны. Что и требовалось доказать.
Домашнее заданее.
№2.18
На стороне $AD$ параллелограмма $ABCD$ отложен вектор $\overline{AK}$ длины $|\overline{AK}|=1/5|\overline{AD}|,$ а на диагонали $AC$ вектор $\overline{AL}$ длины $|\overline{AL}|=1/6|\overline{AC}|$ . Доказать, что векторы $\overline{KL}$ и $\overline{LB}$ коллинеарны и найти $\lambda$ такое, что $\overline{KL}=\lambda\overline{LB}.$
Ответ: $\lambda=5$
№2.20
Найти линейную зависимость между данными четырьмя некомпланарными векторами: $p=a+b,\, q=b-c,\,r=a-b+c,\, s=b+1/2c.$
Ответ: $3p-4q-3r-2s=0$
Скалярное произведение векторов, свойства. Длина векторов. Угол между векторами.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Длина вектора.
Пусть вектор $\overline a=(x, y, z)$ представлен своими координатами в прямоугольном базисе. Тогда его длину можно вычислить по формуле $$|\overline a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$
Скалярное произведение векторов.
Если заданы координаты точек $A(x_1, y_1, z_1) $ и $B(x_2, y_2, z_2),$ то координаты вектора $\overline{AB}$ можно найти по формулам $$\overline{AB}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1).$$ Скалярным произведением ненулевых векторов $a_1$ и $a_2$ называется число $$(a_1, a_2)=|a_1||a_2|\cos(\widehat{a_1, a_2}).$$
Для скалярного произведения наряду с обозначением $(a_1,a_2)$ используется также обозначение $a_1a_2.$
Геометрические свойства скалярного произведения:
1) $a_1\perp a_2\Leftrightarrow a_1a_2=0$ (условие перпендикулярности векторов).
2) Если $\varphi=(\widehat{a_1, a_2}),$ то $$0\leq\varphi<\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow a_1a_2>0; \qquad\qquad \frac{\pi}{2}<\varphi\leq\pi\Leftrightarrow a_1 a_2<0.$$
Алгебраические свойства скалярного произведения:
1) $a_1a_2=a_2a_1;$
2) $(\lambda a_1)a_2=\lambda (a_1 a_2);$
3) $a(b_1+b_2)=ab_1+ab_2.$
Если векторы $a_1(X_1, Y_1, Z_1)$ и $a_2(X_2, Y_2, Z_2)$ представлены своими координатами в прямоугольном базисе, то скалярное произведение равно $$a_1a_2=X_1X_2+Y_1Y_2+Z_1Z_2. $$
Из этой формулы, в частности, следует формула для определения косинуса угла между векторами:
$$\cos(\widehat{a_1, a_2})=\frac{a_1 a_2}{|a_1||a_2|}=\frac{X_1X_2+Y_1Y_2+Z_1Z_2}{\sqrt{X_1^2+Y_1^2+Z_1^2}\sqrt{X_2^2+Y_2^2+Z_2^2}}.$$
Примеры.
2.65. $|a_1|=3; |a_2|=4; (\widehat{a_1,a_2})=\frac{2\pi}{3}.$ Вычислить:
а) $a_1^2=a_1a_1;$
б) $(3a_1-2a_2)(a_1+2a_2);$
в) $(a_1+a_2)^2.$
Решение.
а) $$a_1^2=(a_1, a_1)=|a_1||a_1|\cos(\widehat{a_1, a_1})=|a_1|^2=3^2=9.$$
б) $(3a_1-2a_2)(a_1+2a_2);$
Поскольку скалярное произведение зависит от длин векторов и угла между ними, то заданные векторы можно выбрать произвольно учитывая эти характеристики. Пусть $a_1=(3; 0). $ Тогда вектор $a_2,$ имея длину $|a_2|=4,$ и, образуя угол $\frac{2\pi}{3}$ с положительной полуосью оси $OX,$ имеет координаты $x=|a_2|cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{4}{2}=-2; $
$y=|a_2|\sin\frac{2\pi}{3}=4\frac{\sqrt 3}{2}=2\sqrt 3$
$3a_1-2a_2=3(3;0)-2(-2;2\sqrt 3)=(9;0)-(-4; 4\sqrt 3)=(13;-4\sqrt 3);$
$a_1+2a_2=(3; 0)+2(-2;2\sqrt 3) = (3; 0)+ (-4; 4\sqrt 3)= (-1; 4\sqrt 3).$
$(3a_1-2a_2)(a_1+2a_2)=(13; -4\sqrt 3)(-1; 4\sqrt 3) =-13-48=-61.$
в) $(a_1+a_2)^2.$
$a_1+a_2$=$(3; 0)+(-2; 2\sqrt 3)=(1; 2\sqrt 3).$
$(a_1+a_2)^2=(1; 2\sqrt3) (1; 2\sqrt 3)=1+12=13.$
Ответ: a) 9; б) -61; в) 13.
{jumi[*4]}
2.67. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах $a=p-3q, $ $b=5p+2q,$ если известно, что $|p|=2\sqrt{2}, |q|=3, (\widehat{p, q})=\frac{\pi}{4}.$
Решение.
Способ 1.
Из треугольника $ABC$ имеем $AC=AB+BC=a+b=p-3q+5p+2q=6p-q.$
Зная длину векторов $p$ b $q$ и угол между этими векторами, можно найти длину вектора $AC$ по теореме косинусов:
$|AC|^2=|6p|^2+|q|^2-12pq\cos\widehat{(6p, q)}=288+9-72=225.$
Отсюда $|AC|=15.$
Из треугольника $ABD$ имеем: $BD=AD-AB=b-a=5p+2q-p+3q=4p+5q.$
По теореме косинусов находим длину вектора $BD:$
$|BD|^2=|4p|^2+|5q|^2-8p5q\cos \widehat{(6p, q)}=$ $128+225+240=593.$
Отсюда $|BD|=\sqrt{593}.$
Способ 2.
Пусть $q=(3; 0). $ Тогда вектор $p,$ имея длину $|p|=2\sqrt 2,$ и образуя угол $\frac{\pi}{4}$ с положительной полуосью оси $OX$ имеет координаты
$x=|p|\cos\frac{\pi}{4}=2\sqrt 2\frac{1}{\sqrt 2}=2; $
$y=|p|\sin\frac{\pi}{4}=2\sqrt 2\frac{1}{\sqrt 2}=2.$
Вектор $BC=AD=b.$
Из треугольника $ABC$ имеем
$AC=AB+BC=a+b=p-3q+5p+2q=6p-q=$ $=6(2;2)-(3;0)=(12; 12)-(3;0)=(9; 12).$
Следовательно, $|AC|=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15.$
Из треугольника $ABD$ имеем
$BD=AD-AB=b-a=5p+2q-p+3q=4p+5q=$ $=4(2; 2)+5(3;0)=(8; 8)+(15; 0)=(23; 8).$
Таким образом, $|BD|=\sqrt{23^2+8^2}=\sqrt {593}.$
Ответ: $15, \sqrt {593}.$
2.68. Определить угол между векторами $a$ и $b$ если известно, что $(a-b)^2+(a+2b)^2=20$ и $|a|=1, |b|=2.$
Ответ: $2\pi/3$
Домашнее задание:
2.66.
$|a_1|=3; |a_2|=5. $ Определить, при каком значении $\alpha$ векторы $a_1+\alpha a_2$ и $a_1-\alpha a_2$ будут перпендикулярны.
Ответ: $\alpha=\pm\frac{3}{5}$
2.69.
В треугольнике $ABC$ $\overline{AB}=3e_1-4e_2;$ $\overline{BC}=e_1+5e_2.$ Вычислить длину его высоты $\overline{CH},$ если известно, что $e_1$ и $e_2$ взаимно перпендикулярные орты.
Ответ: $\frac{19}{5}.$
- Подробности
- Просмотров: 105000
Базис линейного пространства. Разложение вектора по базису.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов $e_1, e_2, e_3$ называется базисом в пространстве всех геометрических векторов. Всякий геометрический вектор $a$ может быть представлен единственным образом в виде $$a=X_1e_1+X_2e_2+X_3e_3.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (1)$$ Числа $X_1, X_2, X_3$ называются координатами вектора в базисе $B=\{e_1, e_2, e_3\}.$ Запись (1) называют разложением вектора $a$ по базису $B.$
Аналогично, упорядоченная пара неколлинеарных векторов $e_1, e_2$ называется базисом $B=(e_1, e_2)$ в множестве геометрических векторов, компланарных некоторой плоскости.
Наконец, всякий ненулевой вектор $e$ образует базис $B=(e)$ в множестве геометрических векторов, коллинеарных некоторому направлению.
Если вектор $a$ есть линейная комбинация векторов $a_1, a_2, ..., a_n$ с коэффициентами $\lambda_1, \lambda_2, ...,\lambda_n$, то есть $$a=\sum\limits_{k=1}^n \lambda_ka_k$$ то каждая координата $X_i(a)$ вектора $a$ равна сумме произведений коэффициентов $\lambda_1,\lambda_2,..., \lambda_n$ на одноименные координаты векторов $a_1, a_2, ..., a_n: $ $$X_i(a)=\sum\limits_{k=1}^n\lambda_k X_i(a_k),\qquad (i=1, 2, 3.)$$
Базис $B=(e_1, e_2, e_3)$ называется прямоугольным, если векторы $e_1, e_2$ и $e_3$ попрано перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения $$e_1=i;\,\, e_2-j;\,\, e_3=k.$$
Примеры.
2.26. Задан тетраэдр $OABC.$ В базисе из ребер $\overline{OA}, \overline{OB}$ и $\overline{OC}$ найти координаты:
а) вектора $\overline{DE},$ где $D$ и $E$ середины ребер $OA$ и $BC.$
б) вектора $\overline{OF},$ где $F-$ точка пересечения медиан основания $ABC.$
Решение.
а)
Выразим вектор $\overline{DE}$ через вектора $\overline{OA}, \overline{OB}, \overline{OC}:$
Из треугольника $ODE$ имеем $\overline{DE}=\overline{DO}+\overline{OE}.\qquad\qquad\qquad (1)$
Далее, $\overline{DO}=-\overline{OD}=-\frac{1}{2}\overline{OA};$
вектор $\overline{OE}$ найдем из треугольника $OBE:$
$\overline{OE}=\overline{OB}+\overline{BE}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(2),$
здесь $\overline{BE}=\frac{1}{2}\overline{BC},$ а вектор $\overline{BC}$ находим из треугольника $OBC:$
$\overline{BC}=\overline{BO}+\overline{OC}=\overline{OC}-\overline{OB}.$
Таким образом, из (2) получаем $\overline{OE}=\overline{OB}+\frac{1}{2}(\overline{OC}-\overline{OB}).$
Наконец из (1) имеем $$\overline{DE}=\overline{DO}+\overline{OE}=-\frac{1}{2}\overline{OA}+\overline{OB}+\frac{1}{2}(\overline{OC}-\overline{OB})=$$ $$=-\frac{1}{2}\overline{OA}+\frac{1}{2}\overline{OB}+\frac{1}{2}\overline{OC}.$$
Таким образом, координаты вектора $\overline{DE}$ в базисе из ребер $\overline{OA}, \overline{OB}, \overline{OC}:$ $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).$
Ответ: $\left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right).$
б)
Выразим вектор $\overline{OF}$ через вектора $\overline{OA}, \overline{OB}, \overline{OC}:$
Из треугольника $OFB$ имеем $\overline{OF}=\overline{OB}+\overline{BF}.\qquad\qquad\qquad (1)$
Далее, $\overline{BF}=\frac{2}{3}\overline{BM};$
вектор $\overline{BM}$ найдем из треугольника $BMC:$
$\overline{BM}=\overline{BC}+\overline{CM}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (2)$
здесь $\overline{CM}=\frac{1}{2}\overline{CA},$ а вектор $\overline{CA}$ находим из треугольника $OCA:$
$\overline{CA}=\overline{CO}+\overline{OA}=-\overline{OC}+\overline{OA};$
$\overline{BC}=\overline{BO}+\overline{OC}=\overline{OC}-\overline{OB}.$
Таким образом, из (2) получаем $$\overline{BM}=\overline{BC}+\overline{CM}=\overline{OC}-\overline{OB}+\frac{1}{2}\overline{CA}=$$ $$=\overline{OC}-\overline{OB}+\frac{1}{2}(-\overline{OC}+\overline{OA}).$$
Наконец из (1) имеем $$\overline{OF}=\overline{OB}+\overline{BF}=\overline{OB}+\frac{2}{3}\overline{BM}=$$ $$=\overline{OB}+\frac{2}{3}\left(\overline{OC}-\overline{OB}+\frac{1}{2}(-\overline{OC}+\overline{OA})\right)=$$ $$=\overline{OB}+\frac{2}{3}\overline{OC}-\frac{2}{3}\overline{OB}+\frac{1}{3}(-\overline{OC}+\overline{OA})=\frac{1}{3}\overline{OA}+\frac{1}{3}\overline{OB}+\frac{1}{3}\overline{OC}.$$
Таким образом, координаты вектора $\overline{OF}$ в базисе из ребер $\overline{OA}, \overline{OB}, \overline{OC}:$ $\left(\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right).$
Ответ: $\left(\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right).$
{jumi[*4]}
2.27. В тетраэдре $OABC$ медиана $AL$ грани $ABC$ делится точкой $M$ в отношении $|\overline{AM}|:|\overline{ML}|=3:7.$ Найти координаты вектора $\overline{OM}$ в базисе из ребер $\overline{OA}, \overline{OB}, \overline{OC}.$
Решение.
Вектор $\overline{OM}$ найдем из треугольника $AOM:$ $$\overline{OM}=\overline{OA}+\overline{AM}.\qquad\qquad\qquad (1)$$
Из условия $|\overline{AM}|:|\overline{ML}|=3:7$ имеем $\overline{AM}=\frac{3}{10}\overline{AL}.$ Из треугольника $ABL$ находим $\overline{AL}=\overline{AB}+\overline{BL}=\overline{AB}+\frac{1}{2}\overline{BC}.$
Далее, из треугольников $AOB$ и $BOC$ получаем
$\overline{AB}=\overline{AO}+\overline{OB}=-\overline{OA}+\overline{OB}.$
$\overline{BC}=\overline{BO}+\overline{OC}=\overline{OC}-\overline{OB}.$
Таким образом,
$$\overline{AM}=\frac{3}{10}\overline{AL}=\frac{3}{10}\left(\overline{AB}+\frac{1}{2}\overline{BC}\right)=\frac{3}{10}\left(-\overline{OA}+\overline{OB}+\frac{1}{2}(\overline{OC}-\overline{OB})\right)=$$ $=-\frac{3}{10}\overline{OA}+\frac{3}{20}\overline{OB}+\frac{3}{20}\overline{OC}.$
Отсюда и из (1) получаем $$\overline{OM}=\overline{OA}+\overline{AM}=\overline{OA}+\frac{3}{10}\overline{OA}+\frac{3}{20}\overline{OB}+\frac{3}{20}\overline{OC}=$$ $$=\frac{7}{10}\overline{OA}-\frac{3}{20}\overline{OB}+\frac{3}{20}\overline{OC}.$$
Ответ: $\left(\frac{7}{10}; \frac{3}{20};\frac{3}{20}\right).$
2.29. В трапеции $ABCD$ известно отношение длин оснований $|\overline{AB}|/|\overline{CD}|=\lambda$ Найти координаты вектора $\overline{CB}$ в базисе из векторов $\overline{AB}$ и $\overline{AD}.$
Решение.
Вектор $\overline{CB}$ можно найти из треугольника $ABC:$ $\overline{CB}=\overline{CA}+\overline{AB}.$
$\overline{CA}$ находим из треугольника $ACD:$ $\overline{CA}=\overline{CD}+\overline{DA}=\overline{CD}-\overline{AD}.$
Из условия $|\overline{AB}|/|\overline{CD}|=\lambda$ находим вектор $\overline{CD}:$ $\overline{CD}=-\overline{AB}/\lambda.$
Таким образом, $\overline{CA}=-\overline{AB}/\lambda-\overline{AD};$
$\overline{CB}=-\overline{AB}/\lambda-\overline{AD}+\overline{AB}=\left(1-\frac{1}{\lambda}\right)\overline{AB}-\overline{AD}.$
Ответ: $\left(1-\frac{1}{\lambda}; -1\right).$
2.36. Заданы векторы $e(-1, 1, 1/2)$ и $a(2, -2, -1).$ Убедиться, что они коллинеарны и найти разложение вектора $a$ по базису $B(e). $
Решение.
Векторы коллинеарны, если их направления совпадают или противоположны, т.е. тогда и только тогда когда их координаты пропорциональны. Проверим: $$\frac{-1}{2}=\frac{1}{-2}=\frac{1/2}{-1}=-\frac{1}{2},$$ то есть векторы $e$ и $a$ коллинеарны.
Найдем разложение вектора $a$ по базису $B(e),$ то есть найдем такое число $\lambda$ что $a=\lambda e:$
$$\left\{\begin{array}{lcl}2=-\lambda\\ -2=\lambda\\-1=\frac{1}{2}\lambda\end{array}\right.\Rightarrow \lambda=-2,$$
Отсюда $a=-2e.$
Ответ: $a=-2e.$
Домашнее задание.
2.28. Вне плоскости параллелограмма $ABCD$ взята точка $O.$ В базисе из векторов $\overline{OA}, \overline{OB}$ и $\overline{OC}$ найти координаты:
а) вектора $\overline{OM}$ , где $M$ точка пересечения диагоналей параллелограмма;
б) вектора $\overline{OK},$ где $K$- середина стороны $AD.$
Ответ: а) $(1/2; 0; 1/2);$ б) $(1, -1/2, 1/2).$
2.31. В треугольнике $ABC$ $\overline{AK}=\alpha\overline{AB}; \overline{BM}=\beta\overline{BC};$ $\overline{CF}=\gamma\overline{CA}.$ Пусть $P, Q$ и $R -$ точки пересечения прямых $BF$ и $CK;$ $CK$ и $AM;$ $AM$ и $BF$ соответственно. В базисе из векторов $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$ найти координаты векторов $\overline{AP},$ $\overline{BQ}$ и $\overline{CR}.$
Ответ: $\overline{AP}\left(\frac{\alpha(1-\gamma)}{1-\alpha\gamma}; \frac{\gamma(1-\alpha)}{1-\alpha\gamma}\right);$ $\overline{BQ}\left(\frac{2\alpha\beta-\alpha-\beta}{1-\alpha\beta}; \frac{\beta(1-\alpha)}{1-\alpha\beta}\right);$ $\overline{CQ}\left(\frac{\beta(1-\gamma)}{1-\beta\gamma}; \frac{2\beta\gamma-\beta-\gamma}{1-\beta\gamma}\right).$
2.37. На плоскости заданы векторы $e_1(-1,2),$ $e_2(2,1)$ и $a(0,-2).$ Убедиться, что базис $B=e_1, e_2$ в множестве всех векторов на плоскости Построить заданные веткоры и найти разложение вектора $a$ по базису $B.$
Ответ: $a=-\frac{4}{5}e_1-\frac{2}{5}e_2.$
2.38. Показать, что тройка векторов $e_1(1,0,0), e_2(1,1,0)$ и $e_3(1,1,1)$ образуют базис в множестве всех векторов пространства. Вычислить координаты вектора $a=-2i-k$ в базисе $B(e_1, e_2, e_3)$ и написать соответствующее разложение вектора по базису.
Ответ: $a=-2e_1+e_2-e_3.$
- Подробности
- Просмотров: 123996
Векторное и смешанное произведение векторов.
Векторное произведение векторов.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов $e_1, e_2, e_3$ называется правой, если наблюдателю, находящемуся внутри угла, образованного этими векторами, кратчайшие повороты от $e_1$ к $e_2$ и от $e_2$ к $e_3$ кажутся происходящими против часовой стрелки. В противном случае тройка $(e_1, e_2, e_3)$ называется левой.
Векторным произведением вектора $a_1$ на вектор $a_2$ называется вектор, обозначаемый символом $[a_1, a_2]$ (или $a_1\times a_2$) определяемый следующими тремя условиями:
1) длина вектора $[a_1, a_2]$ равна площади параллелограмма построенного на векторах $a_1$ и $a_2$ т.е. $|[a_1, a_2]|=|a_1||a_2|\sin(\widehat{a_1, a_2})$
2) вектор $[a_1, a_2]$ перпендикулярен плоскости векторов $a_1$ и $a_2;$
3) упорядоченная тройка $a_1, a_2, [a_1, a_2]$ правая.
Из определения векторного произведения следует, что $(\widehat{a_1,a_2})=\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow [a_1, a_2]=0.$
Алгебраические свойства векторного произведения.
1) $[a_1, a_2]=-[a_2, a_1];$
2) $[\lambda a_1,a_2]=\lambda[a_1, a_2];$
3) $[a_1+a_2, b]=[a_1, b]+[a_2, b].$
Если $a_1(X_1, Y_1, Z_1) $ и $a_2(X_2, Y_2, Z_2) -$ векторы, заданные своими координатами в правом прямоугольном базисе, то разложение векторного произведения $[a_1, a_2]$ в том же базисе имеет вид $$[a_1, a_2]=(Y_1Z_2-Z_1Y_2)i-(X_1Z_2-Z_1X_2)j+(X_1Y_2-Y_1X_2)k,$$ или, в символической записи (с использованием понятия определителя 3-го порядка) $$[a_1, a_2]=\begin{vmatrix}i& j& k\\X_1& Y_1&Z_1\\X_2&Y_2&Z_2\end{vmatrix}.$$
Примеры.
2.98. $|a_1|=1, |a_2|=2, (\widehat{a_1, a_2})=2\pi/3.$ Вычислить:
а) $|[a_1, a_2]|$
б) $|[2a_1+a_2, a_1+2a_2]|$
в) $|[a_1+3a_2, 3a_1-a_2]|.$
Решение.
а) $|[a_1, a_2]|=|a_1||a_2|\sin(\widehat{a_1, a_2})=2\sin({2\pi/3})=2\frac{\sqrt {3}}{2}=\sqrt 3.$
б) $[2a_1+a_2, a_1+2a_2]=[2a_1, a_1+2a_2]+[a_2, a_1+2a_2]=$
$=2[a_1, a_1+2a_2]+[a_2, a_1+2a_2]=-2[a_1+2a_2, a_1]-[a_1+2a_2, a_2]=$
$=-2[a_1, a_1]-2[2a_2, a_1]-[a_1, a_2]-[2a_2, a_2]=-4[a_2, a_1]-[a_1,a_2]=$
$=4[a_1, a_2]-[a_1, a_2]=3[a_1, a_2].$
$|[2a_1+a_2, a_1+2a_2]|=3|[a_1, a_2]|=3\sqrt 3.$
в) $[a_1+3a_2, 3a_1-a_2]=[a_1, 3a_1-a_2]+3[a_2, 3a_1-a_2]=$
$=-[3a_1-a_2, a_1]-3[3a_1-a_2, a_2]=$
$=-[3a_1, a_1]+[a_2, a_1]-9[a_1, a_2]+3[a_2, a_2]=-10[a_1, a_2].$
$|[a_1+3a_2, 3a_1-a_2]|=|10[a_1, a_2]|=10\sqrt 3.$
Ответ: а) $\sqrt 3;$ б) $3\sqrt 3;$ в) $10\sqrt 3.$
2.100. Упростить выражения:
а) $[i, j+k]-[j, i+k]+[k, i+j+k];$
б) $[a+b+c, c]+[a+b+c, b]+[b-c,a];$
в) $[2a+b, c-a]+[b+c, a+b];$
г) $2i[j, k]+3j[i, k]+4k[i, j].$
Решение.
а) $[i, j+k]-[j, i+k]+[k, i+j+k]=-[j+k, i]+[i+k, j]-[i+j+k, k]=-[j, i]-[k, i]+[i, j]+[k, j]-[i, k]-[j, k]-[k, k]=$
$=[i, j]+[i, k]+[i, j]-[j, k]-[i, k]-[j, k]=2[i, j]-2[j, k]=$
$2\begin{vmatrix} i&j&k\\1&0&0\\0&1&0\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}i&j&k\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}=2k-2i.$
б) $[a+b+c, c]+[a+b+c, b]+[b-c,a]=$
$=[a,c]+[b, c]+[c, c]+[a, b]+ [b, b]+[c, b]+[b, a]-[c, a]=$
$=[a, c]+[b, c]+[a, b]-[b, c]-[a, b]+[a, c]=2[a, c].$
в) $[2a+b, c-a]+[b+c, a+b]=2[a, c-a]+[b,c-a]+[b, a+b]+[c, a+b]=$
$=-2[c-a, a]-[c-a, b]-[a+b, b]-[a+b, c]=$
$=-2[c, a]+2[a, a]-[c, b]+[a,b]-[a, b]-[b, b]-[a, c]-[b, c]=[a, c].$
Ответ: а) $2(k-i);$ б) $2[a, c];$ в) $[a,c].$
{jumi[*4]}
2.107. Вычислить площадь треугольника с вершинами $A(1, 1, 1), B(2, 3, 4)$ и $C(4, 3, 2).$
Решение.
$S \triangle ABC=\frac{1}{2}|[\overline{BA}, \overline{BC}]|.$
$\overline{BA}=(1-2; 1-3; 1-4)=(-1; -2; -3).$
$\overline{BC}=(4-2; 3-3; 2-4)=(2; 0; -2).$
$[\overline{BA}, \overline{BC}]=\begin{vmatrix}i&j&k\\-1&-2&-3\\2&0&-2\end{vmatrix}=4i-8j+4k.$
$S \triangle ABC=\frac{1}{2}|[\overline{BA}, \overline{BC}]|=\frac{1}{2}\sqrt{16+64+16}=\frac{\sqrt {96}}{2}=2\sqrt{6}.$
Ответ: $2\sqrt{6}.$
2.110. Для заданных векторов $a(2, 0, 3), b(-3, 5, 4), c(3, 4, -1)$ вычислить проекцию вектора $[a, b]$ на вектор $(a, b)c.$
Решение.
Найдем вектора $d=[a, b]$ и $k=(a,b)c:$
$d=[a, b]=\begin{vmatrix}i&j&k\\2&0&3\\-3&5&4\end{vmatrix}=-15i-17j+10k=(-15, -17, 10);$
$k=(a, b)c=(-6+12)(3, 4, -1)=6(3, 4, -1)=(18, 24, -6).$
$Pr_k d=\frac{(d, k)}{|k|}=\frac{-270-408-60}{\sqrt{324+576+36}}=\frac{-738}{\sqrt {936}}=\frac{-738}{6\sqrt{26}}=\frac{-123}{\sqrt{26}}.$
Ответ: $\frac{-123}{\sqrt{26}}.$
2.112. Найти вектор $[a, a+b]+[a, [a, b]],$ если $a(2, 1, -3)$ $b(1, -1, 1).$
Решение.
$a+b=(2+1; 1-1; -3+1)=(3; 0; -2);$
$[a, a+b]=\begin{vmatrix}i&j&k\\2&1&-3\\3&0&-2\end{vmatrix}=-2i-5j-3k;$
$[a, b]=\begin{vmatrix}i&j&k\\2&1&-3\\1&-1&1\end{vmatrix}=-2i-5j-3k;$
$[a, [a, b]]=\begin{vmatrix}i&j&k\\2&1&-3\\-2&-5&-3\end{vmatrix}=-18i+12j-8k;$
$[a, a+b]+[a, [a, b]]=(-2; -5; -3)+(-18; 12; -8)=(-20; 7; -11).$
Ответ: $(-20; 7; -11).$
Смешанное произведение векторов.
Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов $a_1, a_2, a_3$ называется число $[a_1, a_2]a_3.$
Геометрические свойства смешанного произведения:
1) Если $V -$ объем параллилепипеда, построенного на векторах $a_1, a_2$ и $a_3,$ то
$[a_1, a_2]a_3=V,$ если тройка векторов $(a_1, a_2, a_3)$ правая;
$[a_1, a_2]a_3=-V,$ если тройка векторов $(a_1, a_2, a_3)$ левая.
2) Для того чтобы три вектора $a_1, a_2, a_3$ были компланарны, необходимо и достаточно выполнения условия $[a_1, a_2]a_3=0.$
Основное алгебраическое свойство смешанного произведения состоит в том, что циклическая перестановка векторов не меняет его величины, то есть $[a_1, a_2]a_3=a_1[a_2, a_3]=[a_3, a_1]a_2.$
Это свойство позволяет ввести обозначение $[a_1, a_2]a_3=a_1a_2a_3.$
Смешанное произведение через координаты векторов в правом прямоугольном базисе записывается в виде $$a_1a_2a_3=\begin{vmatrix}X_1&Y_1&Z_1\\X_2&Y_2&Z_2\\X_3&Y_3&Z_3\end{vmatrix}.$$
Примеры.
2.124. Векторы $a_1, a_2, a_3$ образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и $|a_1|=4, |a_2|=2, |a_3|=3.$ Вычислить $a_1a_2a_3.$
Решение.
$a_1a_2a_3=[a_1, a_2]a_3=|[a_1, a_2]||a_3|cos(\widehat{[a_1, a_2], a_3}).$
$\cos(\widehat{[a_1, a_2], a_3})=\cos 0 =1;$
$|[a_1, a_2]|=|a_1||a_2|\sin(\widehat{a_1, a_2})=|a_1||a_2|;$
Cледовательно, $a_1a_2a_3=|a_1||a_2||a_3|=24.$
Ответ: 24.
2.127. Установить, образуют ли векторы $a_1, a_2$ и $a_3$ базис в множестве всех векторов, если
а) $a_1(2, 3, -1), a_2(1, -1, 3), a_3(1, 9, -11);$
б) $a_1(3, -2, 1), a_2(2, 1, 2), a_3(3, -1, -2).$
Решение.
Базисом является всякая упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Проверим будут ли наши вектора компланарны, т.е. выполняется ли условие $a_1a_2a_3=0.$
а) $a_1a_2a_3=\begin{vmatrix}2&3&-1\\1&-1&3\\1&9&-11\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}-1&3\\9&-11\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}1&3\\1&-11\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}1&-1\\1&9\end{vmatrix}=$
$=-32+42-10=0.$
Вектора являются компалнарными, т. е. они не образуют базис.
б) $a_1a_2a_3=\begin{vmatrix}3&-2&1\\2&1&2\\3&-1&-2\end{vmatrix}=3\begin{vmatrix}1&2\\-1&-2\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}2&2\\3&-2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2&1\\3&-1\end{vmatrix}=$ $=0-20-5=-25.$
Вектора не являются компалнарными, т. е. они образуют базис.
Ответ. а) не образуют; б) образуют.
2.129. Доказать, что при любых $a, b$ и $c$ векторы $a-b, b-c$ и $c-a$ компланарны. Каков геометрический смысл этого факта?
Решение.
Пусть $a=(x_a, y_a, z_a), b=(x_b, y_b, z_b), c=(x_c, y_c, z_c).$
Тогда, $[a-b, b-c](c-a)=\begin{vmatrix}x_a-x_b&y_a-y_b&z_a-z_b\\x_b-x_c&y_b-y_c&z_b-z_c\\x_c-x_a&y_c-y_a&z_c-z_a\end{vmatrix}=$
пользуясь свойством определителей добавим ко второй строке первую, определитель при этом не меняется:
$=\begin{vmatrix}x_a-x_b&y_a-y_b&z_a-z_b\\x_a-x_c&y_a-y_c&z_a-z_c\\x_c-x_a&y_c-y_a&z_c-z_a\end{vmatrix}=0$ (Опять воспользовались свойством определителей -- вторая и третья строки пропорциональны, поэтому определитель равен нулю.)
Таким образом, векторы $a-b, b-c$ и $c-a$ компланарны. Геометрический смысл заключается в том, что векторы $a-b, b-c$ и $c-a$ лежат параллельных плоскостях.
2.134. В тетраэдре с вершинами в точках $A(1, 1, 1), B(2, 0, 2), C(2, 2, 2)$ и $D(3, 4, -3)$ вычислить высоту $h=|\overline{DE}|.$
Решение.
Вычислим объем тетраэдра по формуле $V=\frac{1}{6}|\overline{AB}\overline{AC}\overline{AD}|:$
$\overline{AB}=(1, -1, 1);$
$\overline{AC}=(1, 1, 1);$
$\overline{AD}=(2, 3, -4);$
$\overline{AB}\overline{AC}\overline{AD}=\begin{vmatrix}1&-1&1\\1&1&1\\2&3&-4\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1\\3&-4\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&1\\2&-4\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&1\\2&3\end{vmatrix}=$
$=-7-6+1=-12.$
$V=\frac{1}{6}|\overline{AB}\overline{AC}\overline{AD}|=2.$
Объем также можно вычислить по известной с школьного курса формуле
$V=\frac{1}{3}S_{OCH}h=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}|DE|=\frac{1}{6}|[\overline{AB}, \overline{AC}]||DE|.$
$[\overline{AB}, \overline{AC}]=\begin{vmatrix}i&j&k\\1&-1&1\\1&1&1\end{vmatrix}=i\begin{vmatrix}-1&1\\1&1\end{vmatrix}-j\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}+k\begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}=-2i+2k.$
$|[\overline{AB}, \overline{AC}]|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}.$
Таким образом, $2=\frac{1}{6}\sqrt{8}|DE|.$ Отсюда $|DE|=\frac{12}{\sqrt{8}}=3\sqrt 2.$
Ответ: $3\sqrt {2}.$
2.137. Доказать, что четыре точки $A(1, 2, -1), B(0, 1, 5), C(-1, 2, 1)$ и $D(2, 1,3)$ лежат в одной плоскости.
Решение.
Четыре точки $A, B, C$ и $D$ находятся в одной плоскости, если вектора $\overline{AB}, \overline{AC}$ и $\overline{AD}$ компланарны.
Проверим, компланарны ли эти вектора:
$\overline{AB}=(-1, -1, 6);$
$\overline{AC}=(-2, 0, 2);$
$\overline{AD}=(1, -1, 4).$
$\overline{AB}\overline{AC}\overline{AD}=\begin{vmatrix}-1&-1&6\\-2&0&2\\1&-1&4\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}0&2\\-1&4\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-2&2\\1&4\end{vmatrix}+6\begin{vmatrix}-2&0\\1&-1\end{vmatrix}=$ $=-2-10+12=0.$
Следовательно, вектора $\overline{AB}, \overline{AC}$ и $\overline{AD}$ компланарны и точки $A, B, C$ и $D$ находятся в одной плоскости.
Домашнее задание.
2.102. $|a|=|b|=5,$ $(\widehat{a, b})=\pi/4$ Вычислить площадь треугольнака, построенного на векторах $a-2b,$ $3a+2b.$
Ответ: $50\sqrt{2}.$
2.104. Доказать, что при любых векторах $a, p, q$ и $r$ векторы $[a, p], [a, q]$ и $[a, r]$ компланарны.
2.106. Заданы векторы $a_1(3, -1, 2)$ и $a_2(1, 2, -1)$. Найти координаты векторов
а) $[a_1, a_2];$
б) $[2a_1+a_2, a_2];$
в) $[2a_1-a_2, 2a_1+a_2].$
Ответ: а) $(-3, 5, 7); $ б) $(-6, 10, 14);$ в) $(-12, 20, 28).$
2.108. В треугольнике с вершинами $A(1, -1, 2), B(5, -6, 2)$ и $C(1, 3, -1)$ найти высоту $h=|BD|.$
Ответ: 5.
2.111. Для заданных векторов $a(2, 1, -1), b(1, 2, 1), c(2, -1, 3), d(3, -1, 2)$ вычислить проекцию вектора $a+c$ на вектор $[b-d,c].$
Ответ: $\sqrt{6}.$
2.119. Найти координаты вектора $x,$ если он перпендикулярен векторам $a_1(2, -3, 1)$ и $a_2(1, -2, 3),$ а также удовлетворяет условию $x(i+2j-7k)=10.$
Ответ: $(7, 5, 1).$
2.125. Векторы $a, b, c$ образуют левую тройку $|a|=1, |b|=2, |c|=3,$ $(\widehat{a, b})=\pi/6, c\bot a, c\bot b.$ Найти $abc.$
Ответ: $-3/2.$
2.130. Доказать тождество $(a+b+c)(a-2b+2c)(4a+b+5c)=0.$
2.132. Вычислить объем тетраэдра $OABC,$ если $\overline{OA}=3i+4j, \overline{OB}=-3j+k, \overline{OC}=2j+5k.$
Ответ: $17/2.$
2.133. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках $A(2, -3, 5), B(0, 2, 1), C(-2, -2, 3)$ и $D(3, 2, 4).$
Ответ: $6.$
2.136. При каком $\lambda$ векторы $a, b, c$ будут компланарны?
а) $a(\lambda, 3, 1), b(5, -1, 2), c(-1, 5, 4);$
б) $a(1, 2\lambda, 1), b(1,\lambda,0), c(0, \lambda, 1).$
Ответ: а) $-3$ б) при любом $\lambda.$
2.140. Доказать тождества
а) $(a+c)b(a+b)=-abc;$
б) $(a-b)(a-b-c)(a+2b-c)=3abc;$
в) $(a+b)(b+c)(c+a)=2abc;$
г) $\forall\alpha, \beta(ab(c+\alpha a+\beta b))=abc.$