Подробности

Просмотров: 59013

Рейтинг:  4 / 5

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Пусть задана система $m$ линейных уравнений с $n$ неизвестными общего вида  

$$\left\{\begin{array}{lcl}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\...............................\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\end{array}\right.\qquad (1)$$

Прямой ход метода Гаусса: 

С помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов, расширенная матрица системы (1) может быть приведена к виду 

$A=\begin{pmatrix}a_{11}'&a_{12}'&...&a_{1r}'&a_{1,r+1}'&...&a_{1n}'\\0&a_{22}'&...&a_{2r}'&a_{2,r+1}'&...&a_{2n}'\\...&...&...&...&...&...&...\\0&0&...&a_{rr}'&a_{r,r+1}'&...&a_{rn}'\\0&0&0&0&0&0&0\\...&...&...&...&...&...&...\\0&0&...&0&0&...&0\end{pmatrix};\qquad(2).$

Матрица (2) является расширенной матрицей системы 

$$\left\{\begin{array}{lcl}a_{11}'x_1+a_{12}'x_2+...+a_{1r}'x_r+a_{1,r+1}'x_{r+1}+...+a_{1n}'x_n=b_1'\\ \qquad\qquad a_{22}'x_2+...+a_{2r}'x_r+a_{2,r+1}'x_{r+1}+...+a_{2n}'x_n=b_2'\\\qquad\qquad\qquad..............................\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\,\, a_{rr}'x_r+a_{r,r+1}'x_{r+1}+...+a_{rn}'x_n=b_r'\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0=b_{r+1}'\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad0=b_{r+2}'\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad........\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0=b_m'\end{array}\right.\qquad (3)$$

которая эквивалентна исходной системе.

Обратный ход метода Гаусса:

Если хотя бы одно из чисел $b'_{r+1}, ..., b'_m$ отлично от нуля, то системы (3) и, следовательно, и исходная система (1) несовместны. Если же  $b'_{r+1}=...=b'_m=0,$ то система совместна и из формул (3) можно выразить базисные неизвестные через свободные неизвестные $x_{r+1},...,x_n.$

Подробности

Просмотров: 288592

Рейтинг:  4 / 5

Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Миноры, алгебраические дополнения.

English Version: Calculation of determinants

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Квадратная таблица $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$$ составленная из четырех действительных или комплексных чисел называется квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице $A$ (или просто определителем матрицы $A$) называется число $$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$$

Аналогично если $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$$

- квадратная матрица 3-го порядка, то соответсвующим ей определителем 3-го порядка называется число

$$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=$$ $$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11}.$$

Эту формулу называют "правило треугольника": одно из трех слагаемых, входящих в правую часть со знаком "+", есть произведение элементов главной диагонали матрицы, каждое из двух других - произведение элементов лежащих на параллели к этой диагонали и элемента из противоположного угла матрицы, а слагаемые, входящие в со знаком минус, строятся таким же образом, но относительно второй (побочной) диагонали. 

Примеры.

Вычислить определители второго порядка:

3.1. $\begin{vmatrix}-1&4\\-5&2\end{vmatrix}$

Решение.

$\begin{vmatrix}-1&4\\-5&2\end{vmatrix}=-1\cdot 2-(-5)\cdot 4=-2+20=18.$

Ответ: 18.

3.2. $\begin{vmatrix}a+b&a-b\\a-b&a+b\end{vmatrix}$

 Решение.

$\begin{vmatrix}a+b&a-b\\a-b&a+b\end{vmatrix}=(a+b)^2-(a-b)^2=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=4ab.$

Ответ: $4ab.$

3.8. Решить уравнение:

$\begin{vmatrix}x&x+1\\-4&x+1\end{vmatrix}=0.$

Решение.

$\begin{vmatrix}x&x+1\\-4&x+1\end{vmatrix}=x(x+1)-(-4)(x+1)=x^2+x+4x-4=x^2+5x+4.$

Осталось решить квадратное уравнение $x^2+5x+4=0:$

$D=25-16=9$

$x_1=\frac{-5-3}{2}=-4;\qquad x_2=\frac{-5+3}{2}=-1.$

Ответ: $x_1=-4;\,\,\, x_2=-1.$

 {jumi[*4]}

3.13. $\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}.$

Решение.

$\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}=3\cdot 7\cdot8+(-5)\cdot 8\cdot(-1)+4\cdot(-2)\cdot2-(-5)\cdot7\cdot2-$

$-4\cdot8\cdot8-3\cdot(-2)\cdot(-1)=168+40-16+70-256-6=0.$

Ответ: $0.$

3.16. $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}.$

 Решение.

 $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\gamma-$

$-\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\cos\gamma-\cos\alpha\sin\beta=$

$=\sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha).$

Ответ: $\sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha).$

Свойства определителя:

1) Если матрицу транспонировать, то определитель не изменится: $\det A^T=\det A.$

2) Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.

3) Если поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак. В частности, если две строки (столбца) равны, то определитель равен нулю.

4) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором - вторые слагаемые.

5) Если одна строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель равен нулю.

6) Определитель не меняется если к одной из его строк (столбцов) добавить линейную комбинацию его других строк (столбцов).

Примеры:

3.24. Используя свойства определителя доказать следующее тождество: $\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}.$

Доказательство.

$\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$

 $\begin{vmatrix}a_1&a_1-b_1x&c_1\\a_2&a_2-b_2x&c_2\\a_3&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1-b_1x&c_1\\b_2x&a_2-b_2x&c_2\\b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$=\begin{vmatrix}a_1&a_1&c_1\\a_2&a_2&c_2\\a_3&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}b_1x&b_1x&c_1\\b_2x&b_2x&c_2\\b_3x&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}=$ $-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$-2\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}.$

 Что и требовалось доказать.

3.31. Проверить, что определитель $\begin{vmatrix}1&1&1\\x&y&z\\x^2&y^2&z^2\end{vmatrix}$ делится на $x-y, y-z$ и $z-x.$

Проверка. 

1)  Пользуясь 6-м свойством определителей от первого столбца отнимаем второй, а затем используем 2-е свойство и выносим общий множетель за определитель.

 $\begin{vmatrix}1&1&1\\x&y&z\\x^2&y^2&z^2\end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix}0&1&1\\x-y&y&z\\x^2-y^2&y^2&z^2\end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix}0&1&1\\x-y&y&z\\(x-y)(x+y)&y^2&z^2\end{vmatrix}=$ 

 $(x-y)\begin{vmatrix}0&1&1\\1&y&z\\x+y&y^2&z^2\end{vmatrix}.$

Таким образом, мы доказали, что определитель делится на $x-y.$ Совершенно аналогично доказываются и два других случая:

2) $\begin{vmatrix}1&1&1\\x&y&z\\x^2&y^2&z^2\end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix}1&0&1\\x&y-z&z\\x^2&y^2-z^2&z^2\end{vmatrix}=$  $\begin{vmatrix}1&0&1\\x&y-z&z\\x^2&(y-z)(y+z)&z^2\end{vmatrix}=$

 $(y-z)\begin{vmatrix}1&0&1\\x&1&z\\x^2&y+z&z^2\end{vmatrix}.$

3) $\begin{vmatrix}1&1&1\\x&y&z\\x^2&y^2&z^2\end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix}1&1&0\\x&y&z-x\\x^2&y^2&z^2-x^2\end{vmatrix}=$  $\begin{vmatrix}1&1&0\\x&y&z-x\\x^2&y^2)&(z-x)(z+x)\end{vmatrix}=$

  $(z-x)\begin{vmatrix}1&1&0\\x&y&1\\x^2&y^2&z+x\end{vmatrix}.$

Минором $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$ матрицы $A$ $n-$ го порядка называется определитель $n-1-$ го порядка, полученного из исходного определителя вычеркиванием $i-$й строки и $j-$го столбца:

$M_{ij}=$\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{i-1,1}&\cdots&a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots&a_{i-1,n}\\a_{i+1,1}&\cdots&a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots&a_{i+1,n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}

Алгебраическим дополнением $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$ матрицы $A$ $n-$ го порядка называется число равное произведению минора $M_{ij}$ на $(-1)^{i+j}:$ $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.$

Определители $n-$го порядка вычисляются с помощью метода понижения порядка - по формуле $\det A=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}A_{ij}$ ($i$ фиксированно) --- разложение по $i-$й строке.

Из этой формулы и второго свойства определителей - $\det A^T=\det A,$ следует, что верна также формула разложения по $j$ столбцу $\det A=\sum\limits_{i=1}^na_{ij}A_{ij}$ ($j$ фиксированно).

Метод приведения к треугольному виду заключается в преобразовании определителя, когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из ее диагоналей, становятся равными нулю. В этом случае определитель равен произведению диагональных элементов.

Примеры.

Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу.

3.50. $\begin{vmatrix}1&0&2\\0&2&0\\2&0&3\end{vmatrix}.$

Решение.

Вычислим этот определитель с помощью разложения по второй строке: $\begin{vmatrix}1&0&2\\0&2&0\\2&0&3\end{vmatrix}=$ $0\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}0&2\\0&3\end{vmatrix}+$ $2\cdot(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}1&2\\2&3\end{vmatrix}+$ $0\cdot(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}1&0\\2&0\end{vmatrix}$ $=2(3-4)=-2.$

3.54. (a) $\begin{vmatrix}2&-3&4&1\\4&-2&3&2\\a&b&c&d\\3&-1&4&3\end{vmatrix}.$

Решение.

Вычислим этот определитель с помощью разложения по третьей строке: $\begin{vmatrix}2&-3&4&1\\4&-2&3&2\\a&b&c&d\\3&-1&4&3\end{vmatrix}=$ $a\cdot(-1)^{3+1}$ $\begin{vmatrix}-3&4&1\\-2&3&2\\-1&4&3\end{vmatrix}+$ $b\cdot(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}2&4&1\\4&3&2\\3&4&3\end{vmatrix}+$ $+c\cdot(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}2&-3&1\\4&-2&2\\3&-1&3\end{vmatrix}+$ $d\cdot(-1)^{3+4}\begin{vmatrix}2&-3&4\\4&-2&3\\3&-1&4\end{vmatrix}=$

$=a(-27-8-8+3+24+24)-b(18+16+24-9-16-48)+$

$+c(-12-4-18+6+4+36)-d(-16-16-27+24+6+48)=$

$=8a+15b+12c-19d.$

Ответ: $8a+15b+12c-19d.$

   {jumi[*4]}

3.61. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}.$

Решение.

 Вычислим этот определитель с помощью приведения определителя к треугольному виду:

$\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от каждой из первых четырех строк отнимем пятую $=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от пятой строки отнимем первую, затем пятую строку умножим на два 

$=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&1&1&1&11\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&2&2&2&22\end{vmatrix}=$ Далее от пятой строки отнимем вторую, после чего пятую строку умножим на $\frac{3}{2}:$ $=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&2&2&27\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\frac{2}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&3&3&40,5\end{vmatrix}=$ Теперь от пятой строки отнимем третью, после чего пятую строку умножим на $\frac{4}{3}:$ $=\frac{1}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&3&45,5\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{3}\frac{3}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&4&\frac{182}{3}\end{vmatrix}=$ Отнимем от пятой строки четвертую и перемножив диагональные элементы получаем ответ: $=\frac{1}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&0&\frac{197}{3}\end{vmatrix}=$ $=\frac{1}{4}\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\frac{197}{3}=394.$ 

Ответ: $394.$

Домашнее задание:

Вычислить определители второго порядка:

3.3. $\begin{vmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{vmatrix}.$

Ответ: $1.$

3.7. $\begin{vmatrix}\frac{1-t^2}{1+t^2}&\frac{2t}{1+t^2}\\-\frac{2t}{1+t^2}&\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{vmatrix}.$

Ответ: $1.$

Решить уравнение:

3.9. $\begin{vmatrix}\cos 8x&-\sin 5x\\\sin 8x&\cos 5x\end{vmatrix}=0.$

Ответ: $x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3},$ $k\in Z.$ 

Вычислить определители 3-го порядка:

3.12.  $\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}.$

Ответ: $0.$

3.15. $\begin{vmatrix}\alpha^2+1&\alpha\beta&\alpha\gamma\\\alpha\beta&\beta^2+1&\beta\gamma\\\alpha\gamma&\beta\gamma&\gamma^2+1\end{vmatrix}.$

Ответ: $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+1.$

3.25. Используя свойства определителя доказать следующее тождество: $\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1x+b_1&c_1\\a_2+b_2x&a_2x+b_2&c_2\\a_3+b_3x&a_3x+b_3&c_3\end{vmatrix}=$ $(1-x^2)\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}.$

3.32. Проверить, что определитель $\begin{vmatrix}x&y&x+y\\y&x+y&x\\x+y&x&y\end{vmatrix}$ делится на $x+y$ и $x^2-xy+y^2.$

Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу.

3.51. $\begin{vmatrix}-1&5&2\\0&7&0\\1&2&0\end{vmatrix}.$

Ответ: $-14.$

3.52. $\begin{vmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{vmatrix}.$

Ответ: $4.$

3.54. (б) $\begin{vmatrix}5&a&2&-1\\4&b&4&-3\\2&c&3&-2\\4&d&5&-4\end{vmatrix}.$

Ответ: $2a-8b+c+5d.$

3.62. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}5&6&0&0&0\\1&5&6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{vmatrix}.$

Ответ: $665.$

  {jumi[*4]}

Рейтинг:  4 / 5

Матрицы. Действия с матрицами.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Матрицей размера $m\times n$ называется прямоугольная таблица из чисел $a_{ij},\, i=1, 2, ...,m,$ $j=1, 2, ..., n$,

$$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{pmatrix}$$

состоящая из $m$ строк и $n$ столбцов.

 Суммой $A+B$ матриц размера $m\times n$ $A=\{a_{ij}\}$ и $B=\{b_{ij}\}$ называется матрица $C=\{c_{ij}\}$ того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц $A$ и $B:$

$$A+B=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&...&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&...&b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{m1}&b_{m2}&...&b_{mn}\end{pmatrix}=$$

$$=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&...&a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&...&a_{2n}+b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&...&a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}$$

Произведением $\alpha A$ матрицы $A=\{a_{ij}\}$ на число $\alpha$ (действительное или комплексное) называется матрица $B=\{b_{ij}\}$, каждый элемент которой равен произведению числа $\alpha$ на соответствующий элемент матрицы $A:$

$$\alpha A=\alpha\left(\begin{array}{} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{}\alpha a_{11}&\alpha a_{12}&...&\alpha a_{1n}\\ \alpha a_{21}&\alpha a_{22}&...&\alpha a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha a_{m1}&\alpha a_{m2}&...&\alpha a_{mn} \end{array}\right). $$

Произведением $AB$ матрицы $A=\{a_{ij}\}$ размера $m\times n$, на матрицу $B=\{b_{ij}\}$ размера $n\times k$ называется матрица $C=\{c_{ij}\}$ размера $m\times k,$ элемент которой, стоящий в $i$-й строке и $j$-м столбце равен сумме произведений соответствующих элементов $i$-й строки матрицы $A$ и $j$-го столбца матрицы $B:$

$$A\times B=\left(\begin{array}{}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{}b_{11}&b_{12}&...&b_{1k}\\ b_{21}&b_{22}&...&b_{2k}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ b_{n1}&b_{n2}&...&b_{nk}\end{array}\right)=$$  $$=\left(\begin{array}{}\sum\limits_{\nu=1}^na_{1\nu}b_{\nu 1}&\sum\limits_{\nu=1}^na_{1\nu}b_{\nu 2}&...&\sum\limits_{\nu=1}^na_{1\nu}b_{\nu k}\\ \sum\limits_{\nu=1}^na_{2\nu}b_{\nu 1}&\sum\limits_{\nu=1}^na_{2\nu}b_{\nu 2}&...&\sum\limits_{\nu=1}^na_{2\nu}b_{\nu k}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \sum\limits_{\nu=1}^na_{m\nu}b_{\nu 1}&\sum\limits_{\nu=1}^n a_{m\nu}b_{\nu 2}&...&\sum\limits_{\nu=1}^na_{m\nu}b_{\nu k} \end{array}\right)=C. $$

Матрица $A^T$ называется транспонированной к матрице $A,$ если выполняется условие $a_{ij}^T=a_{ji}$ для всех $i, j$, где $a_{ij},$ $a_{ij}^T$-- элементы матриц $A$ и $A^T$ соответственно:

$$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{pmatrix}\Rightarrow A^T=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&...&a_{m1}\\a_{12}&a_{22}&...&a_{m2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{1n}&a_{2n}&...&a_{mn}\end{pmatrix}$$

ПРИМЕРЫ.

1. Дано 

$$A=\begin{pmatrix} {} 2&1&3\\5&3&-6\\-1&2&4\end{pmatrix}; \quad B=\begin{pmatrix} {} 6&-3&2\\4&-2&5\\ 3&2&7\end{pmatrix}. $$

Вычислить

а) $A+B;$

б) $3A;$

в) $AB;$

г) $A^T.$

  {jumi[*4]}

Решение.

а) $$A+B=\begin{pmatrix} {} 2&1&3\\5&3&-6\\-1&2&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} {} 6&-3&2\\4&-2&5\\ 3&2&7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{}2+6&1-3&3+2\\5+4&3-2&-6+5\\-1+3&2+2&4+7\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} {} 8&-2&5\\9&1&-1\\2&4&11\end{pmatrix}.$$

 {jumi[*4]} 

б) $$3A=3\begin{pmatrix}{}2&1&3\\5&3&-6\\-1&2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{} 3\cdot2&3\cdot1&3\cdot3\\3\cdot5&3\cdot3&3\cdot(-6)\\3\cdot(-1)&3\cdot2&3\cdot4\end{pmatrix}=$$ $$=\begin{pmatrix} {} 6&3&9\\15&9&-18\\-3&6&12\end{pmatrix}. $$

в) $$AB=\begin{pmatrix} {} 2&1&3\\5&3&-6\\-1&2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} {} 6&-3&2\\4&-2&5\\ 3&2&7\end{pmatrix}=$$ $$\begin{pmatrix}{}2\cdot6+1\cdot4+3\cdot3&2\cdot(-3)+1\cdot(-2)+3\cdot2&2\cdot2+1\cdot5+3\cdot7\\5\cdot6+3\cdot4-6\cdot3&5\cdot(-3)+3\cdot(-2)-6\cdot2&5\cdot2+3\cdot5-6\cdot7\\-1\cdot6+2\cdot4+4\cdot3&-1\cdot(-3)+2\cdot(-2)+4\cdot2&-1\cdot2+2\cdot5+4\cdot7\end{pmatrix}=$$ $$=\begin{pmatrix} {} 25&-2&30\\24&-33&-17\\14&7&36\end{pmatrix}.$$

г) $$A^T=\begin{pmatrix} {} 2&5&-1\\1&3&2\\3&-6&4\end{pmatrix}.$$

Подробности

Категория: Линейная алгебра

Рейтинг:  5 / 5

Cимметричные, несимметричные, ортогональные и обратные матрицы.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Квадратная матрица $A$ называется симметричной, если $A^T=A.$ Квадратная матрица $B$ называется кососимметричной, если $B^T=-B.$ 

Квадратная матрица $A$ называется вырожденной (особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (неособенной) в противном случае. Если $A$ - невырожденная матрица, то существует и притом единственная матрица $A^{-1}$ такая, что $AA^{-1}=A^{-1}A=E,$ где $E-$ единичная матрица (то есть такая, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю). Матрица  $A^{-1}$ называется обратной к матрице $A.$

Основные методы вычисления обратной матрицы:

Метод присоедененной матрицы. Присоедененная матрица $A^*$ определяется как транспонированная к матрице, составленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы $A.$ Таким образом,

$A^*=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&...&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&...&A_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&...&A_{nn}\end{pmatrix}.$

Справедливо равенство

$A^*A=AA^*=\det A\cdot E.$

Отсюда следует, что если $A-$ невырожденная матрица, то

$A^{-1}=\frac{1}{\det A}A^*.$

Примеры:

Методом присоедененной матрицы найти обратные для следующих матриц:

3.106. $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}.$

Решение.

$\det A=\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1\cdot 4-2\cdot 3=4-6=-2\neq 0.$

Поскольку определитель не равен нулю, то данная матрица невырождена и обратная матрица существует.

Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы $A:$

$A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot4=4;$

$A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot3=-3;$

$A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot2=-2;$

$A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot1=1.$

Отсюда находим присоедененную матрицу:

$A^*=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}.$

$A^{-1}=\frac{1}{\det A}A^*=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\ 3/2&-1/2\end{pmatrix}. $ 

Ответ: $\begin{pmatrix}-2&1\\3/2&-1/2\end{pmatrix}.$ 

3.109. $\begin{pmatrix}2&5&7\\6&3&4\\5&-2&-3\end{pmatrix}.$

Решение.

$\det A=\begin{vmatrix}2&5&7\\6&3&4\\5&-2&-3\end{vmatrix}=2\cdot 3\cdot (-3)+6\cdot(-2)\cdot 7+5\cdot 4\cdot 5-$ $=5\cdot3\cdot7-2\cdot (-2)\cdot4-5\cdot 6\cdot (-3)=-18-84+100-105+16+90=$ $=-1\neq 0.$

 Поскольку определитель не равен нулю, то данная матрица невырождена и обратная матрица существует.

 Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы $A:$

 $A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot\begin{vmatrix}3&4\\-2&-3\end{vmatrix}=3\cdot(-3)-4\cdot(-2)=-9+8=-1;$

$A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot\begin{vmatrix}6&4\\5&-3\end{vmatrix}=-(6\cdot(-3)-4\cdot5)=-(-18-20)=38;$

$A_{13}=(-1)^{1+3}\cdot\begin{vmatrix}6&3\\5&-2\end{vmatrix}=6\cdot(-2)-5\cdot3=-12-15=-27;$

$A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot\begin{vmatrix}5&7\\-2&-3\end{vmatrix}=-(5\cdot(-3)-7\cdot(-2))=-(-15+14)=1;$

$A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot\begin{vmatrix}2&7\\5&-3\end{vmatrix}=2\cdot(-3)-7\cdot5=-6-35=-41;$

$A_{23}=(-1)^{2+3}\cdot\begin{vmatrix}2&5\\5&-2\end{vmatrix}=-(2\cdot(-2)-5\cdot5)=-(-4-25)=29;$

$A_{31}=(-1)^{3+1}\cdot\begin{vmatrix}5&7\\3&4\end{vmatrix}=5\cdot4-7\cdot3=20-21=-1;$

$A_{32}=(-1)^{3+2}\cdot\begin{vmatrix}2&7\\6&4\end{vmatrix}=-(2\cdot4-7\cdot6)=-(8-42)=34;$

$A_{33}=(-1)^{3+3}\cdot\begin{vmatrix}2&5\\6&3\end{vmatrix}=2\cdot3-5\cdot6=6-30=-24;$

Отсюда находим присоедененную матрицу:

 $A^*=\begin{pmatrix}-1&1&-1\\38&-41&34\\-27&29&-24\end{pmatrix}.$

$A^{-1}=\frac{1}{\det A}A^*=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}-1&1&-1\\38&-41&34\\-27&29&-24\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-38&41&-34\\27&-29&24\end{pmatrix}. $ 

Ответ: $\begin{pmatrix}1&-1&1\\-38&41&-34\\27&-29&24\end{pmatrix}.$

3.121. Решить матричное уравнение.

$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}X=$ $\begin{pmatrix}3&5\\5&9\end{pmatrix}.$

Решение.

Умножим обе части уравнения слева на $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}^{-1}:$

$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}^{-1}$ $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}X=$ $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}3&5\\5&9\end{pmatrix}\Leftrightarrow$

 $EX=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}3&5\\5&9\end{pmatrix}\Leftrightarrow$ 

 $X=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}3&5\\5&9\end{pmatrix}.$ 

В номере 3.106 мы находили  $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}^{-1}:$ 

$A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1\\ 3/2&-1/2\end{pmatrix}. $ 

Таким образом,  $X=\begin{pmatrix}-2&1\\3/2&-1/2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&5\\5&9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\cdot3+1\cdot5&-2\cdot5+1\cdot9\\3/2\cdot3-1/2\cdot5&3/2\cdot5-1/2\cdot9\end{pmatrix}=$ $=\begin{pmatrix}-1&-1\\2&3\end{pmatrix}.$

Ответ: $\begin{pmatrix}-1&-1\\ 2&3\end{pmatrix}. $ 

 Метод элементарных преобразований. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:

1) перестановка строк (столбцов);

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответсвующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

Для данной матрицы $A$ $n-$го порядка построим прямоугольную матрицу $\Gamma_A=(A|E)$ размера $n\times 2n$, приписывая к $A$ справа единичную матрицу. Далее, используя элементарные преобразования над строками, приводим матрицу $\Gamma_A$ к виду $(E|B),$ что всегда возможно, если $A$ невырождена. Тогда $B=A^{-1}.$

Пример.

3.115. Методом элементарных преобразований найти обратную для следующей матрицы:

$\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&-2\\2&-2&1\end{pmatrix}.$

Решение.

Образуем матрицу $\Gamma_A:$

$\Gamma_A=\left(\begin{array}{cccc} 1&2&2\\2&1&-2\\2&-2&1\end{array}\left|\begin{array}{cccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right.\right).$

Обозначив через $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ строки матрицы $\Gamma_A,$ произведем над ними следующие преобразования: $\gamma_1'=\gamma_1,$ $\gamma_2'=\gamma_2-2\gamma_1,$ $\gamma_3'=\gamma_3-2\gamma_1$

$\gamma_1''=\gamma_1',$ $\gamma_2''=\gamma_2'-2\gamma_3',$ $\gamma_3''=\gamma_3'-2\gamma_2'$

$\gamma_1'''=\gamma_1''-\frac{2}{9}\gamma_2''-\frac{2}{9}\gamma_3'',$ $\gamma_2'''=\frac{1}{9}\gamma_2'',$ $\gamma_3'''=\frac{1}{9}\gamma_3''$

Получаем $\left(\begin{array}{cccc} 1&2&2\\2&1&-2\\2&-2&1\end{array}\left|\begin{array}{cccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right.\right)\sim $ $\left(\begin{array}{cccc} 1&2&2\\0&-3&-6\\0&-6&-3\end{array}\left|\begin{array}{cccc}1&0&0\\-2&1&0\\-2&0&1\end{array}\right.\right)\sim$

$\left(\begin{array}{cccc} 1&2&2\\0&9&0\\0&0&9\end{array}\left|\begin{array}{cccc}1&0&0\\2&1&-2\\2&-2&1\end{array}\right.\right)\sim $ $\left(\begin{array}{cccc} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\left|\begin{array}{cccc}\frac{1}{9}&\frac{2}{9}&\frac{2}{9}\\\frac{2}{9}&\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\\\frac{2}{9}&-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{array}\right.\right)$

Следовательно, $A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{9}&\frac{2}{9}\\\frac{2}{9}&\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\\\frac{2}{9}&-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{pmatrix}.$ 

Ответ: $A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{9}&\frac{2}{9}\\\frac{2}{9}&\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\\\frac{2}{9}&-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{pmatrix}.$ 

Отрогональной матрицей называется матрица, для которой $A^{-1}=A^T.$

Домашнее задание:

3.105. Доказать, что любую матрицу $A$ можно представить, и при этом единственным образом, в виде $A=B+C, $ где $B-$ симметричная, а $C-$ кососимметричная матрицы.

Методом присоедененной матрицы найти обратные для следующих матриц:

3.108.  $A=\begin{pmatrix}\cos\alpha &-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}.$

Ответ:   $A^{-1}=\begin{pmatrix}\cos\alpha &\sin\alpha\\-\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}.$

3.110.  $A=\begin{pmatrix}3&-4&5\\2&-3&1\\3&-5&-1\end{pmatrix}.$

 Ответ:  $A^{-1}=\begin{pmatrix}-8&29&-11\\-5&18&-7\\1&-3&1\end{pmatrix}.$

3.112.  $A=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&0&0\\0&0&1&-1\end{pmatrix}.$

Ответ: $A^{-1}=\begin{pmatrix}1/4&1/4&1/2&0\\1/4&1/4&-1/2&0\\1/4&-1/4&0&1/2\\1/4&-1/4&0&-1/2\end{pmatrix}.$

Методом элементарных преобразований найти обратную для следующей матрицы:

3.114. $A=\begin{pmatrix}2&7&3\\3&9&4\\1&5&3\end{pmatrix}.$

Ответ: $A^{-1}=\begin{pmatrix}-7/3&2&-1/3\\5/3&-1&-1/3\\-2&1&1\end{pmatrix}.$

Решить матричное уравнение:

3.125. $X\cdot\begin{pmatrix}5&3&1\\1&-3&-2\\-5&2&1\end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix}-8&3&0\\-5&9&0\\-2&15&0\end{pmatrix}.$

Ответ: $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}.$