Высшая математика.

Рейтинг:  5 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активна

Сайт создан для помощи студентам, желающим самостоятельно изучать и сдавать экзамены по высшей математике, и помощи преподавателям в подборке материалов к занятиям и контрольным работам.

Здесь Вы можете найти план практических занятий стандартного курса высшей математики технических ВУЗов, решение достаточного количества задач для усвоения материала, условия задач для самостоятельного изучения (домашнее задание), примеры вариантов контрольных работ и много другой полезной информации.

Материалы на сайте добавляются каждый день! 

 

Рейтинг:  5 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активна

I семестр

Матрицы, определители и системы линейных уравнений. (8 часов)

Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Миноры, алгебраические дополнения,

Матрицы. Действия с матрицами. 

Подобные, симметричные, несимметричные, ортогональные и обратные матрицы.

Решение систем линейных уравнений матричным методом.

Правило Крамера.

Методы Гаусса, Жордана-Гаусса.

 

Элементы векторной алгебры и теории линейных пространств. (12 часов)

Операции над геометрическими векторами. Сложение векторов. Умножение вектора на число.

Линейные комбинации, линейная зависимость векторов. Коллинеарные и компланарные вектора.

Координаты вектора. Базис линейного пространства. Разложение вектора по базису.

Скалярное произведение векторов, свойства. Длина вектора. Угол между векторами.

Проекции вектора. Направляющие косинусы. Неравенство Коши-Буняковского. 

Преобразование координат. Матрица перехода.

Векторное и смешанное произведение векторов, свойства, связь с коллинеарностью и компланарностью.

Двойное векторное произведение.

Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат. Формулы перехода.

Собственные числа и вектора матриц. Методы их нахождения.

 

 Алгебраические линии первого порядка на плоскости и в пространстве. (6 часов)

Прямая на плоскости, всевозможные уравнения, расстояние от точки до прямой.

Деление отрезка в заданном отношении (векторный и координатный способы).

Взаимное расположение прямых, угол между прямыми.

Плоскость в пространстве, всевозможные уравнения, расстояние от точки до плоскости.

Взаимное расположение плоскостей, угол между плоскостями.

Прямая в пространстве, всевозможные уравнения, взаимное расположение прямых в пространстве, расстояние от точки до прямой в пространстве.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Нахождение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых.

 

Алгебраические линии второго порядка на плоскости и в пространстве. (6 часов)

Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство эллипса и гиперболы.

Уравнение эллипса, гиперболы, параболы в полярной системой координат.

Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Общее уравнение кривой второго порядка. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

 

Некоторые вводные понятия математической логики теории множеств. (2 часа)

Логическая символика. Необходимые и достаточные условия.

Множества, операции над множествами.

Счетность и несчетность множеств. Равномощность множеств.

Ограниченность числовых множеств, их точные границы. Предельные точки числовых множеств.

 

Комплексные числа. (2 часа)

Действия с комплексными числами.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

Формулы Эйлера и Муавра. Корень n-й степени с комплексного числа.

Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами и комплексной переменной.

 

Предел функции. (20 часов)

Последовательность. Ограниченность и монотонность последовательности. Предел последовательности.

Предел функции, вычисление пределов.

Асимптотическое сравнение функций.

Частичный, верхний и нижний предел функции.

 

 Непрерывность функции. (4 часа)

 Исследование функций на непрерывность и равномерную непрерывность.

 

Дифференцируемость функции, ее дифференциал и производная. (12 часов)

Вычисление  производных первого порядка.

Дифференциал первого порядка.

Геометрические применения производных.

Приближенные вычисления с использованием дифференциалов.

Вычисление производных обратных функций.

II семестр 

Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. (4 часа)

Вычисление  производных высших порядков.

Вычисление дифференциалов высших порядков.

Производные функций заданных параметрически.

Правило Лопиталя.

Формула Тейлора.

Исследование функций с помощью производных. 

 

Графики функций и кривые, заданные в декартовой либо полярной системах координат. (4 часа)

Построение графиков функций и кривых, заданных явно в декартовой системе координат.

Построение графиков функций и кривых  в параметрической форме в декартовой системе координат.

Построение графиков функций и кривых в полярной системе координат.

 

Неопределенный интеграл. (8 часов)

Первообразная и неопределенный интеграл.

Интегрирование с помощью замены переменной.

Метод интегрирования по частям.

Интегрирование рациональных функций.

Методы интегрирования иррациональностей.

Интегрирование тригонометрических функций.

 

Определенный интеграл и его применение. (8 часов)

Вычисление определенных интегралов.

Геометрическое применение определенного интеграла и применение интеграла Римана в механике и физике.

 

Несобственный интеграл. (4 часа)

Вычисление и исследование на сходимость несобственных интегралов.

 

Числовые ряды. (4 часа)

Исследование на сходимость числовых рядов с неотрицательными членами и знакопеременных рядов.

 

Рейтинг:  5 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активна

Алгебраические линии первого порядка на плоскости и в пространстве.

Прямая на плоскости, всевозможные уравнения, расстояние от точки до прямой.

Деление отрезка в заданном отношении (векторный и координатный способы).

Взаимное расположение прямых, угол между прямыми.

Плоскость в пространстве, всевозможные уравнения, расстояние от точки до плоскости.

Взаимное расположение плоскостей, угол между плоскостями.

Прямая в пространстве, всевозможные уравнения, взаимное расположение прямых в пространстве, расстояние от точки до прямой в пространстве.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Нахождение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых.

 

Алгебраические линии второго порядка на плоскости и в пространстве. 

Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство эллипса и гиперболы.

Уравнение эллипса, гиперболы, параболы в полярной системой координат.

Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.

Общее уравнение кривой второго порядка. Преобразование уравнения кривой при преобразовании координат.

Преобразование уравнения кривой при преобразовании координат.

Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.



Рейтинг:  4 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда не активна

Правило Лопиталя.

Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида
$\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$).

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ :

а) дифференцируемы в окрестности точки $a,$ за исключением, быть
может, самой точки $a,$ причем $g'(x)\neq 0$ в этой окрестности;

б) функции $f(x)$ и $g(x)$ являются одновременно либо бесконечно
малыми либо бесконечно большими при $x\rightarrow a;$

в) существует конечный $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$ 

Тогда существует  $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$ и
выполняется равенство $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$   

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в точке $a,$

$g(a)=f(a)=0,$ $ g'(a)\neq ,0$ то $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}.$

 Примеры:

1. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^5-1}{2x^3-x-1}$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^5-1}{2x^3-x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{5x^4}{6x^2-1}=1.$

2. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x-arctg x}{x^3}$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x-arctg x}{x^3}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\frac{1}{1+x^2}}{3x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{3x^2(1+x^2)=\frac{1}{3}.}$$

3. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$

Имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{1/x}{1/(2\sqrt{x})}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{2}{\sqrt{x}}=0.$$

4. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{\sin^3 x}.$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Замечая, что $\sin x\sim x$ при $x\rightarrow 0,$ по правилу Лопиталя находим

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{\sin^3 x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-\cos x+x\sin x}{3x^2}=$ $\frac{1}{3}\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{3}.$

 

5. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^10-10x+9}{x^5-5x+4}.$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^10-10x+9}{x^5-5x+4}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{10x^9-10}{5x^4-5}.$

Пользуясь еще раз правилом Лопиталя, находим

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{10x^9-10}{5x^4-5}=2\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^9-1}{x^4-1}=2\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{9x^8}{4x^3}=\frac{9}{2}.$

 

6. $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{\alpha}}{e^{\beta x}},$ где $\alpha>0,$ $\beta>0.$ 

Пусть $k=[\alpha]+1;$ тогда $\alpha-k<0.$ 

Применяя правило Лопиталя $k$ раз, получаем $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{\alpha}}{e^{\beta x}}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\alpha x^{\alpha-1}}{\beta e^{\beta x}}=...=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-k+1)x^{\alpha-k}}{\beta^k e^{\beta x}}=0.$


7. $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln^{\alpha}x}{x^{\beta}},$ где $\alpha>0,$ $\beta>0.$ 

Пусть $\ln x =t;$ тогда $x=e^t$ и $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln^{\alpha}x}{x^{\beta}}=\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\frac{t^{\alpha}}{e^{\beta t}}=0$ (пример 6).

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

8. $\lim\limits_{x\rightarrow +0}x\ln x$

Преобразуя неопределенность вида $0\cdot\infty$ к виду $\frac{\infty}{\infty}$ и применяя правило Лопиталя имеем

$$\lim\limits_{x\rightarrow +0}x\ln x=\lim\limits_{x\rightarrow +0}\frac{\ln x}{1/x}=\lim\limits_{x\rightarrow +0}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow +0}(-x)=0.$$

9. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x^{50}}e^{-1/x^2}.$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Полагая $1/x^2=t,$ получаем

$$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x^{50}}e^{-1/x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{t^{25}}{e^t}=0.$$
10.  $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-ctg^2 x\right).$ 

Преобразуя неопредленность вида $\infty-\infty$ к виду $\frac{0}{0}$ и используя асимптотическую формулу $\sin x \sim x$ при $x\rightarrow 0,$ получаем

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-ctg^2 x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin^2 x-x^2\cos^2 x}{x^2\sin^2 x}=$$ $$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(\sin x+x\cos x)(\sin x-x\cos x)}{x^2\sin^2 x}=$$ $$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x+x\cos x}{x}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}.$$ 

Так как

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x+x\cos x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}+\lim\limits_{x\rightarrow 0}\cos x=2,$$

а $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}=\frac{1}{3}$  (см. пример 4), то искомый предел равен $2/3.$

Рейтинг:  0 / 5

Звезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активна

ІІI семестр

Метрическое пространство ℝn. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. (8 часов)

Кратные и повторные пределы функций нескольких переменных.

Частные производные, дифференциал, производная по направлению, градиент.

Касательная плоскость и нормаль к явно заданной поверхности.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Дифференцирование сложных и неявно заданных функций.

Замена переменных в дифференциальных выражениях.

  

Экстремумы функций нескольких переменных. (4 часа)

Исследование функций на внутренний экстремум.

Исследование функций на условный экстремум.

 

Двойные интегралы. (6 часов)

Вычисление двойных интегралов приведением их к повторным в декартовых координатах и переходом к полярным координатам.

Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов.

Использование двойных интегралов в механике и физике.

 

Тройные интегралы. (6 часов)

Вычисление тройных интегралов приведением их к повторным в декартовых координатах и переходом к сферическим и цилиндрическим координатам.

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов.

Использование тройных интегралов в механике и физике.

 

Криволинейные интегралы. (4 часа)

Вычисление криволинейных интегралов первого и второго рода, их использование в механике и физике.

Связь между криволинейными интегралами 1 и 2-го роду. Физическое толкование криволинейных интегралов 2-го роду.

Формула Грина, следствия. Независимость криволинейного интеграла.

  

Поверхностные интегралы. (4 часа)

Вычисление поверхностных интегралов первого и второго рода.

Применение поверхностных интегралов в механике и физике.

 

Элементы теории поля. (4 часа)

Скалярные, векторные поля. Оператор Гамильтона, градиент.  Дивергенция, циркуляция, ротор, поток векторного поля. Критерий потенциальности векторного поля и критерий  соленоидальности векторного поля в области в терминах элементов теории поля.  Формула Стокса. Формула Гаусса-Остроградского.

 

IV семестр

Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряди. (6 часов)

Исследование на поточечную и равномерную сходимость функциональных последовательностей и рядов. Исследование степенных рядов и разложение рядов в ряд Тейлора.

 

Функции комплексной переменной. Дифференцируемость и интегрируемость функций комплексной переменной. Ряди Лорана. (10 часов)

Предел, непрерывность и дифференцируемость функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера). Геометрическое толкование аргумента та модуля производной. Интегрирование функции комплексной переменной. Формула Коши. Изолированные точки, их классификация. Ряди Лорана. Вычеты и их использование при вычислении интегралов.

 

В-функция  та Г-функция Эйлера. (2 часа)

Использование функций Эйлера Г(p), B(p,q) для вычисления несобственных интегралов.

  

Тригонометрические ряди Фурье. (6 часов)

Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье.

 

Дифференциальные уравнения. (8 часов)

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и к ним сводящиеся.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Методы интегрируемого множителя и вариации произвольной постоянной.

Уравнения в полных дифференциалах.

Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка  с постоянными коэффициентами. Уравнения Эйлера.  Метод вариации произвольных постоянных.  Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.