Производная обратной функции.

Определение. Пусть функция $y=f(x)$ непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки $x_0,$ и пусть в этой точке существует производная $f'(x_0)\neq 0.$ Тогда обратная функция в точке $y_0=f(x_0)$ имеет производную, которая может быть найдена по формуле $\left(f^{-1}(y_0)\right)'=\frac{1}{f'(x_0)}.$

Примеры.

Найти производные обратных функций  $\left(f^{-1}(y)\right)'.$

1) ${ y=x+x^3 }.$

Решение.

$$\frac{dy}{dx}=1+3 x^2\Rightarrow\frac{dx}{dy}=\frac{1}{1+3x^2}.$$

Ответ: $x'_y=\frac{1}{1+3x^2}.$

2) Найти $\left(f^{-1}(0)\right)',$ $\left(f^{-1}(6/5)\right)'.$

${ y=x+\frac{1}{5}x^5}.$

Решение.

Если $y=0,$ то

$0=x+\frac{1}{5}x^5\Rightarrow 0=x\left(1+\frac{1}{5}x^4\right)\Rightarrow$ $\left[\begin{array}{lcl}x=0\\1+\frac{1}{5}x^4=0\end{array}\right.\Rightarrow$ $\left[\begin{array}{lcl}x=0\\x^4=-5\end{array}\right.\Rightarrow x=0.$ 

Если $y=6/5,$ то $\frac{6}{5}=x+\frac{1}{5}x^5\Rightarrow$ $x=1.$ (Функция имеет единственный корень, поскольку она строго монотонна).

$y'=1+x^4\Rightarrow x'=\frac{1}{1+x^4}.$ Таким образом,
$$x'(0)=\frac{1}{1}=1; \,\, x'(6/5)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.$$

Ответ: $x'(0)=1; \,\, x'(6/5)=\frac{1}{2}.$

3) ${ y=2x-\frac{\cos x}{2},\,\, y=-\frac{1}{2}. }$

Решение.

$2x-\frac{\cos x}{2}=-\frac{1}{2},$ следовательно $x=0.$

$y'=2+\frac{\sin x}{2},$ поэтому  $x'=\frac{1}{2+\frac{\sin x}{2}}.$ Таким образом, $x'(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}.$  

Ответ: $x'(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}.$

4) ${ y=0,1x+e^{0,1x} ,\,\, y=1.}$

Решение.

$0,1x+e^{0,1x}=1, $ следовательно $x=0.$

$y'=0,1+0,1e^{0,1x},$ поэтому $x'=\frac{1}{0,1+0,1e^{0,1x}}.$
Таким образом, $x'(1)=\frac{1}{\frac{2}{10}}=5.$

Ответ: $x'(1)=5.$