Рейтинг:   / 19
ПлохоОтлично 

 

Замена переменной в определенном интеграле.

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b],$ а функция $x=\varphi(t)$ непрерывно дифференцируема на отрезке $[t_1, t_2],$ причем $a=\varphi(t_1),\,\,\, b=\varphi(t_2),$ то $$\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_{t_1}^{t_2}f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt.$$ 

Примеры.

Вычислить интегралы с помощью указанных подстановок:

6.380. $\int\limits_1^6\frac{dx}{1+\sqrt{3x-2}},\quad 3x-2=t^2.$

Решение.

$$\int\limits_1^6\frac{dx}{1+\sqrt{3x-2}}=\left[\begin{array}{lcl}3x-2=t^2\Rightarrow x=\frac{1}{3}(t^2+2)\\dx=\frac{2}{3}dt\\x=1\Rightarrow t=1\\x=6\Rightarrow t=4\end{array}\right]=\int\limits_1^4\frac{2dt}{3(1+t)}=$$ $$=\left.\frac{2}{3}\ln|1+t|\right|_1^4=\frac{2}{3}\ln5-\frac{2}{3}\ln2=\frac{2}{3}\ln\frac{5}{2}.$$

Ответ: $\frac{2}{3}\ln\frac{5}{2}.$

 

 

6.382.  $\int\limits_0^{sh 1}\sqrt{x^2+1},\quad x=sh t.$

Решение.

$$\int\limits_0^{sh 1}\sqrt{x^2+1}dx=\left[\begin{array}{lcl}x=sh t\Rightarrow dx=ch t\\x=0\Rightarrow t=0\\x=sh 1\Rightarrow t=1\end{array}\right]=\int\limits_0^1\sqrt{sh^2 t+1}ch t\,dt=\int\limits_0^1ch^2t\,dt=$$ $$=\int\limits_0^1\frac{1}{2}(ch 2t+1)\,dt=\frac{1}{2}\left.\left(\frac{1}{2}sh 2t+t\right)\right|_0^1=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}sh 2+1-\frac{1}{2}sh 0-0\right)=$$ $$=\frac{1}{4}\left(sh 2+2\right).$$

Ответ: $\frac{1}{4}(sh 2+2).$

 

Вычислить интегралы с помощью замены переменой:

6.391. $\int\limits_1^5\frac{dx}{x+\sqrt{2x-1}}.$

Решение. 

$$\int\limits_1^{5}\frac{dx}{x+\sqrt{2x-1}}=\left[\begin{array}{lcl}t=\sqrt{2x-1}\Rightarrow x=\frac{1}{2}(t^2+1)\\dx=tdt\\x=1\Rightarrow t=1\\x=5\Rightarrow t=3\end{array}\right]=\int\limits_1^3\frac{tdt}{\frac{1}{2}(t^2+1)+t}=$$ $$=2\int\limits_1^3\frac{tdt}{t^2+2t+1}=2\int\limits_1^3\frac{tdt}{(t+1)^2}=2\int\limits_1^3\frac{t+1-1}{(t+1)^2dt}=2\int\limits_1^3\frac{dt}{1+t}-2\int\limits_1^3\frac{dt}{(t+1)^2}=$$ $$=\left.\left(2\ln|1+t|+2\frac{1}{t+1}\right)\right|_1^3=2\ln 4+\frac{1}{2}-2\ln 2-1=2\ln 2-\frac{1}{2}.$$

Ответ: $2\ln 2-\frac{1}{2}.$

 

6.393.$\int\limits_{-1}^1\frac{xdx}{\sqrt{5-4x}}.$

Решение. 

$$\int\limits_{-1}^{1}\frac{xdx}{\sqrt{5-4x}}=\left[\begin{array}{lcl}t=\sqrt{5-4x}\Rightarrow x=\frac{1}{4}(5-t^2)\\dx=-\frac{t}{2}dt\\x=-1\Rightarrow t=3\\x=1\Rightarrow t=1\end{array}\right]=-\int\limits_3^1\frac{(5-t^2)tdt}{8t}=$$ $$=\frac{1}{8}\int\limits_1^3{(5-t^2)dt}=\frac{1}{8}\left.\left(5t-\frac{t^3}{3}\right)\right|_1^3=\frac{1}{8}(15-9-5+\frac{1}{3})=\frac{1}{6}.$$ 

Ответ: $\frac{1}{6}.$

 

6.394. $\int\limits_{\ln 2}^{\ln 6}\frac{e^x\sqrt{e^x-2}}{e^x+2}\,dx.$

Решение. 

$$\int\limits_{\ln 2}^{\ln 6}\frac{e^x\sqrt{e^x-2}}{e^x+2}dx=\left[\begin{array}{lcl}t=\sqrt{e^x-2}\Rightarrow x=\ln(t^2+2)\\dx=\frac{2t}{t^2+2}dt\\x=\ln 2\Rightarrow t=0\\x=\ln 6\Rightarrow t=2\end{array}\right]=\int\limits_0^2\frac{(t^2+2)2t^2dt}{(t^2+2)(t^2+4)}=$$ $$=2\int\limits_0^2\frac{t^2}{t^2+4}dt=2\int\limits_0^2\frac{t^2+4-4}{t^2+4}dt=2\left.\left(t-\frac{4}{2}arctg\frac{t}{2}\right)\right|_0^2=2(2-2\frac{\pi}{4})=4-\pi.$$  

Ответ: $4-\pi.$

 

6.396. Показать, что $\int\limits_e^{e^2}\frac{dx}{\ln x}=\int\limits_1^2\frac{e^x}{x}\,dx.$ 

Решение. 

$$\int\limits_{e}^{e^2}\frac{dx}{\ln x}dx=\left[\begin{array}{lcl}t=\ln x\Rightarrow x=e^t\\dx=e^t\,dt\\x=e\Rightarrow t=1\\x=e^2\Rightarrow t=2\end{array}\right]=\int\limits_1^2\frac{(e^tdt}{t}.$$ Переобозначим переменные $t=x.$ Получим $$\int\limits_1^2\frac{(e^tdt}{t}\int\limits_1^2\frac{e^x\,dx}{x}.$$

Что и требовалось доказать.

 

 

Интегрирование по частям.

Если функции $u(x),\, v(x)$ и их производные $u'(x)$ и $v'(x)$ непрерывны на отрезке $[a, b],$ то $$\int\limits_a^budv=\left.uv\right|_a^b-\int\limits_a^bvdu.$$ (формула интегрирования по частям.)

Примеры.

Вычислить интегралы методом интегрирования по частям:

6.399. $\int\limits_0^1xe^xdx.$ 

Решение.  

$$\int\limits_0^1xe^xdx=\left[\begin{array}{lcl}u=x\Rightarrow du=dx\\dv=e^xdx\Rightarrow v=e^x\end{array}\right]=xe^x|_0^1-\int\limits_0^1 e^xdx=$$ $$=e-e^x|_0^1=e-e+1=1.$$  

Ответ: $1.$

 

6.402. $\int\limits_1^e\ln^2 x\,dx.$

Решение.  

$$\int\limits_1^e\ln^2 x\,dx=\left[\begin{array}{lcl}u=\ln^2x\Rightarrow du=\frac{2\ln x}{x}dx\\dv=dx\Rightarrow v=x\end{array}\right]=x\ln^2x|_1^e-\int\limits_1^e 2\frac{x\ln x}{x}dx=$$ $$=\left[\begin{array}{lcl}u=\ln x\Rightarrow du=\frac{dx}{x}\\dv=dx\Rightarrow v=x\end{array}\right]=x\ln^2x|_1^e-2x\ln x|_1^e+2\int\limits_1^e \frac{x}{x}dx=(x\ln^2 x-2x\ln x+2x)|_1^e=$$ $$=e-2e+2e-(0-0+2)=e-2.$$   

Ответ: $e-2.$

 

6.408.$\int\limits_0^{\pi/2}e^x\cos x\,dx.$

Решение.   

$$\int\limits_0^{\pi/2}e^x\cos x\,dx=\left[\begin{array}{lcl}u=\cos x\Rightarrow du=-\sin x dx\\dv=e^xdx\Rightarrow v=e^x\end{array}\right]=e^x\cos x|_0^{\pi/2}+\int\limits_0^{\pi/2} e^x\sin x\,dx=$$ $$=\left[\begin{array}{lcl}u=\sin x\Rightarrow du=\cos x\,dx\\dv=e^xdx\Rightarrow v=e^x\end{array}\right]=e^x\cos x|_0^{\pi/2}+e^x\sin x|_0^{pi/2}-\int\limits_0^{\pi/2}e^x\cos x dx.$$ Обозначим $I=\int\limits_0^{\pi/2}e^x\cos x dx.$ Получили уравнение $$I=e^x\cos x|_0^{\pi/2}+e^x\sin x|_0^{pi/2}-I\Rightarrow I=\frac{1}{2}(e^x\cos x+e^x\sin x)|_0^{\pi/2}=\frac{1}{2}(e^{\pi/2}-1).$$

 

Ответ: $\frac{1}{2}(e^{\pi/2}-1).$

 

 

Домашнее задание.

Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы:

6.327. $\int\limits_0^1(\sqrt x+\sqrt[3]{x^2})\,dx.$

6.332. $\int\limits_1^2e^x\,dx.$

6.337. $\int\limits_0^{\pi/4}\sin^2\varphi\,d\varphi.$

6.351. $\int\limits_0^2\frac{2x-1}{2x+1}\,dx.$

 

6.364. (б) Определить знак интеграла, не вычисляя его: $\int\limits_{-1}^1x^3e^x\,dx.$

6.365. (а) Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов больше: $\int\limits_1^2\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$ или$\int\limits_1^2\frac{dx}{x}.$

6.366. (а) Найти среднее значение функции на данном отрезке: $x^3,\,\, 0\leq x \leq 1.$

6.368. Оценить интеграл $\int\limits_{-1}^1\sqrt{8+x^3}dx.$

6.370.(а) Оценить интеграл $\int\limits_0^1\sqrt{(1+x)(1+x^3)}dx,$ пользуясь обобщенной теоремой об оценке интеграла.

Найти производные следующих функций:

6.375. $\Phi(x)=\int\limits_{1/x}^{\sqrt x}\sin t^2\,dt.$

6.377. $\Phi(x)=\int\limits_{x^2}^{x^3}\frac{dt}{\ln t},\quad (x>0).$

 

Вычислить интегралы с помощью указанных подстановок: 

6.381. $\int\limits_{ln 3}^{\ln 8}\frac{dx}{\sqrt{e^x+1}},\quad e^x+1=t^2.$

6.383. $\int\limits_0^{\pi/2}\frac{dx}{3+2\cos x},\quad tg\frac{x}{2}=t.$

Вычислить интегралы с помощью замены переменой:

6.387. $\int\limits_{-2}^{0}\frac{dx}{\sqrt{x+3}+\sqrt{(x+3)^3}}.$

6.395. $\int\limits_0^3x^2\sqrt{9-x^2}\,dx.$

6.397. Показать, что $\int\limits_{1/\sqrt 2}^1\frac{dx}{arcsin x}=\int\limits_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{\cos x}{x}\,dx.$

 

Вычислить интегралы методом интегрирования по частям:

6.400. $\int\limits_0^{1}\frac{arcsin x}{\sqrt{1+x}}\,dx.$

6.403. $\int\limits_0^{\pi/4}e^{3x}\sin 4x\,dx.$

6.405. $\int\limits_1^ex\ln x\,dx.$

 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить