Рейтинг:   / 19
ПлохоОтлично 

Вычисление определенных интегралов.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Формула Ньютона-Лейбница.

Если $F(x) -$ одна из первообразных непрерывной на $[a, b]$ функции $f(x),$ то справедлива следующая формула Ньютона-Лейбница: $$\int\limits_a^b f(x)\,dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a).$$

Примеры:

Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы:

6.324. $\int\limits_{-1}^2x^3\,dx.$

Решение.

 $$\int\limits_{-1}^2x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_{-1}^2=\frac{(-1)^4}{4}-\frac{2^4}{4}=\frac{1}{4}-\frac{16}{4}=-\frac{15}{4}=-3,75.$$

Ответ: $-3,75.$

6.331. $\int\limits_{-\pi/4}^0\frac{dx}{\cos^2 x}.$

Решение.

$$\int\limits_{-\pi/4}^0\frac{dx}{\cos^2 x}=\left.tg x\right|_{-\pi/4}^0=tg 0-tg(-\pi/4)=0-(-1)=1.$$

Ответ: $1.$

 

6.335. $\int\limits_{1}^2\frac{dx}{2x-1}.$

Решение.

$$\int\limits_{1}^2\frac{dx}{2x-1}=\int\limits_1^2\frac{1}{2}d(\ln(2x-1))=\frac{1}{2}\left.\left(\ln(2x-1)\right)\right|_{1}^2=\ln3-\ln1=\ln 3.$$

Ответ: $\ln 3.$

 

6.347.  $\int\limits_0^{\pi/2}\cos^3\alpha\,d\alpha.$

Решение.

$$\int\limits_{0}^{\pi/2}\cos^3\alpha\,d\alpha=\int\limits_0^{\pi/2}\cos^2xd\sin x=\int\limits_0^{\pi/2}(1-\sin^2 x)d\sin x=\left.\left(\sin x-\frac{\sin^3 x}{3}\right)\right|_{0}^{\pi/2}=$$ $$=\sin\frac{\pi}{2}-\frac{\sin^3{\pi/2}}{3}-\left(\sin 0-\frac{\sin^30}{3}\right)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$$

Ответ: $\frac{2}{3}.$

 

 Свойства определенного интеграла:

1) Если $f(x)\geq 0$ на отрезке $[a, b],$ то $\int\limits_a^bf(x)dx\geq 0.$

2) Если $f(x)\leq g(x)$ на $[a, b]$ то $\int\limits_a^bf(x)\,dx\leq\int\limits_a^b g(x)\,dx.$

3) $|\int\limits_a^bf(x)\,dx|\leq\int\limits_a^b |f(x)|\,dx.$

4) Если $f(x)$ непрерывна на $[a, b], \,\, m -$ наименьшее, $M -$ наибольшее значения $f(x)$ на $[a, b],$ то $$m(b-a)\leq\int\limits_a^bf(x)\,dx\leq M(b-a)$$ (теорема об оценке определенного интеграла).

5) Если $f(x)$ непрерывна, а $g(x)$ интегрируема на $[a, b],\,\, g(x)\geq 0.$ $m$ и $M -$ наименьшее и наибольшее значения $f(x)$ на $[a, b],$ то $$m\int\limits_a^b g(x)\,dx\leq\int\limits_a^bf(x)g(x)dx\leq M\int\limits_a^bg(x)\,dx.$$ (обобщенная теорема об оценке определенного интеграла)

6) Если $f(x)$ непрерывна на $[a, b],$ то существует такая точка $c\in(a, b),$ что справедливо равенство $$\int\limits_a^bf(x)dx=f(c)(b-a).$$ (теорема о среднем значении) 

Число $f(c)=\frac{1}{b-a}\int\limits_a^bf(x)\,dx$ называется средним значением функции $f(x)$ на отрезке $[a, b].$

7) Если $f(x)$ непрерывна а интегрируема на $[a, b]$ и $g(x)\geq 0,$ то существует такая точка $c\in(a, b),$ что справедливо равенство $$\int\limits_a^bf(x)g(x)dx=f(c)\int\limits_a^bg(x)dx$$  (обобщенная теорема о среднем).

8) Если $f^2(x)$ и $g^2(x)$ интегрируемы на $[a, b],$ то  $$|\int\limits_a^bf(x)g(x)dx|=\sqrt{\int\limits_a^bf^2(x)dx\int\limits_a^bg^2(x)dx}$$ (неравенство Коши-Буняковского).

9) Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах. Если функция $f(x)$ четная, то $\int\limits_{-a}^af(x)dx=2\int\limits_0^af(x)dx.$ Если функция $f(x)$ нечетная, то $\int\limits_{-a}^af(x)dx=0.$ 

10) Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b],$ то интеграл с переменным верхним пределом $$\Phi(x)=\int\limits_a^x f(t)dt$$ является первообразной для функции $f(x),$ т.е.  $$\Phi'(x)=(\int\limits_a^x f(t)dt)'=f(x),\quad x\in[a, b].$$

11) Если функции $\phi(x)$ и $\psi(x)$ дифференцируемы в точке $x\in(a, b)$ и $f(t)$ непрерывна при $\phi(a)\leq t\leq \psi(b),$ то $$\left(\int\limits_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(t)dt\right)_x'=f(\psi(x))\psi'(x)-f(\phi(x))\phi'(x).$$

 

Примеры.

6.364. а) Определить знак интеграла, не вычисляя его: $\int\limits_{-2}^1\sqrt[3]{x}\,dx.$

Решение.

Поскольку функция $\sqrt[3]x$ нечетная $(\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]x),$ то, пользуясь 9-м свойством получаем   $\int\limits_{-2}^2\sqrt[3]{x}\,dx=0.$ Далее воспользуемся равенством $$\int\limits_{-2}^1\sqrt[3]{x}\,dx=\int\limits_{-2}^2\sqrt[3]{x}\,dx-\int\limits_{1}^2\sqrt[3]{x}\,dx=-\int\limits_{1}^2\sqrt[3]{x}\,dx.$$

Ясно, что $\sqrt[3]x>0$ при $x\in[1, 2].$ Поэтому из первого свойства определенных интегралов следует, что $\int\limits_{1}^2\sqrt[3]{x}\,dx>0.$ Следовательно,  $$\int\limits_{-2}^1\sqrt[3]{x}\,dx=-\int\limits_{1}^2\sqrt[3]{x}\,dx<0.$$

Ответ: $\int\limits_{-2}^1\sqrt[3]{x}\,dx<0.$

   

6.365. б) Не вычисляя интегралов, выяснить какой из интегралов больше $\int\limits_1^2\frac{dx}{x^2}$ или $\int\limits_1^2\frac{dx}{x^3}.$

Решение.

Воспользуемся вторым свойством определенных интегралов. На отрезке $[1, 2]$ выполняется неравенство $\frac{1}{x^2}\geq\frac{1}{x^3}.$ Проверим это: $$\frac{1}{x^2}\geq\frac{1}{x^3}\Rightarrow x^3\geq x^2\Rightarrow x\geq1.$$ Следовательно, $$\int\limits_1^2\frac{dx}{x^2}\geq\int\limits_1^2\frac{dx}{x^3}.$$ Строгое  неравенство легко получить, представив заданные интегралы как сумму $$\int\limits_1^2\frac{dx}{x^2}=\int\limits_1^{3/2}\frac{dx}{x^2}+\int\limits_{3/2}^2\frac{dx}{x^2};$$ $$\int\limits_1^2\frac{dx}{x^3}=\int\limits_1^{3/2}\frac{dx}{x^3}+\int\limits_{3/2}^2\frac{dx}{x^3}.$$ На отрезке $[1, 3/2]$ выполняется неравенство $$\frac{1}{x^2}\geq\frac{1}{x^3}\Rightarrow\int\limits_1^{3/2}\frac{dx}{x^2}\geq\int\limits_{3/2}^2\frac{dx}{x^3};$$ На отрезке $[3/2, 2]$ выполняется неравенство $$\frac{1}{x^2}>\frac{1}{x^3}\Rightarrow\int\limits_1^{3/2}\frac{dx}{x^2}>\int\limits_{3/2}^2\frac{dx}{x^3}.$$ Таким образом, $$\int\limits_1^2\frac{dx}{x^2}=\int\limits_1^{3/2}\frac{dx}{x^2}+\int\limits_{3/2}^2\frac{dx}{x^2}>\int\limits_1^{3/2}\frac{dx}{x^3}+\int\limits_{3/2}^2\frac{dx}{x^3}=\int\limits_1^2\frac{dx}{x^3}.$$ Ответ: $\int\limits_1^2\frac{dx}{x^2}>\int\limits_1^2\frac{dx}{x^3}.$

 

6.366. в) Найти среднее значение функции на данном отрезке: $\cos x,\quad 0\leq x\leq\pi/2.$

Решение.

Воспользуемся 6-м свойством определенных интегралов. Средним значением функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ называется число $f(c)=\frac{1}{b-a}\int\limits_a^bf(x)\,dx.$ 

Отсюда находим $$\cos c=\frac{1}{\pi/2-0}\int\limits_0^{\pi/2}\cos x\,dx=\frac{2}{\pi}\left.\sin x\right|_0^{\pi/2}=\frac{2}{\pi}(1-0)=\frac{2}{\pi}.$$

Ответ: $\frac{2}{\pi}.$

 

6.369. Оценить интеграл $\int\limits_0^{2\pi}\frac{dx}{\sqrt{5+2\sin x}}.$

Решение. 

Оценим подынтегральную функцию:

$$-1\leq\sin x\leq 1\Rightarrow$$ $$3\leq 5+2\sin x\leq 7\Rightarrow$$ $$\sqrt 3\leq\sqrt{5+2\sin x}\leq 7\Rightarrow$$ $$\frac{1}{\sqrt 7}\leq\frac{1}{\sqrt{5+2\sin x}}\leq\frac{1}{\sqrt 3}.$$

Отсюда и из второго свойства определенных интегралов следует, что

$$\int\limits_0^{2\pi}\frac{1}{\sqrt 7}dx\leq\int\limits_0^{2\pi}\frac{1}{\sqrt{5+2\sin x}}dx\leq\int\limits_0^{2\pi}\frac{1}{\sqrt 3}dx.$$

Находим предельные интегралы: $$\int\limits_0^{2\pi}\frac{1}{\sqrt 7}dx=\frac{1}{\sqrt 7}(2\pi-0)=\frac{2\pi}{\sqrt 7};$$ $$\int\limits_0^{2\pi}\frac{1}{\sqrt 3}dx=\frac{1}{\sqrt 3}(2\pi-0)=\frac{2\pi}{\sqrt 3}.$$

Таким образом, $$\frac{2\pi}{\sqrt 7}\leq\int\limits_0^{2\pi}\frac{1}{\sqrt{5+2\sin x}}dx\leq\frac{2\pi}{\sqrt 3}.$$

Ответ: $\frac{2\pi}{\sqrt 7}\leq\int\limits_0^{2\pi}\frac{1}{\sqrt{5+2\sin x}}dx\leq\frac{2\pi}{\sqrt 3}.$

 

6.370. б) Оценить интеграл $\int\limits_0^1\sqrt{(1+x)(1+x^3)}\,dx,$ пользуясь неравенством Коши-Буняковского.

Решение.

Неравенство Коши-Буняковского дает  $$|\int\limits_0^1\sqrt{(1+x)(1+x^3)}dx|\leq\sqrt{\int\limits_0^1(1+x)dx\int\limits_0^1(1+x^3)dx}.$$ 

Вычислим каждый интеграл, стоящей под корнем в правой части равенства:

$$\int\limits_0^1(1+x)dx=\left.\left(x+\frac{x^2}{2}\right)\right|_0^1=1+\frac{1}{2}-0=\frac{3}{2};$$ $$\int\limits_0^1(1+x^3)dx=\left.\left(x+\frac{x^4}{4}\right)\right|_0^1=1+\frac{1}{4}-0=\frac{5}{4};$$ Отсюда $$|\int\limits_0^1\sqrt{(1+x)(1+x^3)}dx|\leq\sqrt{\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{30}}{4}.$$ 

Ответ: $|I|\leq\frac{\sqrt{30}}{4}.$

 

6.374. Найти производную следующей функции: $\Phi(x)=\int\limits_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt.$

Решение.

Пользуемся свойством 10: 

$$\Phi'(x)=f(x)=\frac{\sin x}{x}.$$

Ответ: $\frac{\sin x}{x}.$

 

6.376. Найти производную следующей функции: $\Phi(x)=\int\limits_x^0\frac{dt}{\sqrt{1+t^3}}.$ 

Решение.

$\Phi(x)=\int\limits_x^0\frac{dt}{\sqrt{1+t^3}}=-\int\limits_0^x\frac{dt}{\sqrt{1+t^3}}.$ 

Пользуемся свойством 10: 

$$\Phi'(x)=f(x)=-\frac{1}{\sqrt{1+x^3}}.$$ 

Ответ: $-\frac{1}{\sqrt{1+x^3}}.$

 


 

Замена переменной в определенном интеграле.

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b],$ а функция $x=\varphi(t)$ непрерывно дифференцируема на отрезке $[t_1, t_2],$ причем $a=\varphi(t_1),\,\,\, b=\varphi(t_2),$ то $$\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_{t_1}^{t_2}f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt.$$ 

Примеры.

Вычислить интегралы с помощью указанных подстановок:

6.380. $\int\limits_1^6\frac{dx}{1+\sqrt{3x-2}},\quad 3x-2=t^2.$

Решение.

$$\int\limits_1^6\frac{dx}{1+\sqrt{3x-2}}=\left[\begin{array}{lcl}3x-2=t^2\Rightarrow x=\frac{1}{3}(t^2+2)\\dx=\frac{2}{3}dt\\x=1\Rightarrow t=1\\x=6\Rightarrow t=4\end{array}\right]=\int\limits_1^4\frac{2dt}{3(1+t)}=$$ $$=\left.\frac{2}{3}\ln|1+t|\right|_1^4=\frac{2}{3}\ln5-\frac{2}{3}\ln2=\frac{2}{3}\ln\frac{5}{2}.$$

Ответ: $\frac{2}{3}\ln\frac{5}{2}.$

 

 

6.382.  $\int\limits_0^{sh 1}\sqrt{x^2+1},\quad x=sh t.$

Решение.

$$\int\limits_0^{sh 1}\sqrt{x^2+1}dx=\left[\begin{array}{lcl}x=sh t\Rightarrow dx=ch t\\x=0\Rightarrow t=0\\x=sh 1\Rightarrow t=1\end{array}\right]=\int\limits_0^1\sqrt{sh^2 t+1}ch t\,dt=\int\limits_0^1ch^2t\,dt=$$ $$=\int\limits_0^1\frac{1}{2}(ch 2t+1)\,dt=\frac{1}{2}\left.\left(\frac{1}{2}sh 2t+t\right)\right|_0^1=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}sh 2+1-\frac{1}{2}sh 0-0\right)=$$ $$=\frac{1}{4}\left(sh 2+2\right).$$

Ответ: $\frac{1}{4}(sh 2+2).$

 

Вычислить интегралы с помощью замены переменой:

6.391. $\int\limits_1^5\frac{dx}{x+\sqrt{2x-1}}.$

Решение. 

$$\int\limits_1^{5}\frac{dx}{x+\sqrt{2x-1}}=\left[\begin{array}{lcl}t=\sqrt{2x-1}\Rightarrow x=\frac{1}{2}(t^2+1)\\dx=tdt\\x=1\Rightarrow t=1\\x=5\Rightarrow t=3\end{array}\right]=\int\limits_1^3\frac{tdt}{\frac{1}{2}(t^2+1)+t}=$$ $$=2\int\limits_1^3\frac{tdt}{t^2+2t+1}=2\int\limits_1^3\frac{tdt}{(t+1)^2}=2\int\limits_1^3\frac{t+1-1}{(t+1)^2dt}=2\int\limits_1^3\frac{dt}{1+t}-2\int\limits_1^3\frac{dt}{(t+1)^2}=$$ $$=\left.\left(2\ln|1+t|+2\frac{1}{t+1}\right)\right|_1^3=2\ln 4+\frac{1}{2}-2\ln 2-1=2\ln 2-\frac{1}{2}.$$

Ответ: $2\ln 2-\frac{1}{2}.$

 

6.393.$\int\limits_{-1}^1\frac{xdx}{\sqrt{5-4x}}.$

Решение. 

$$\int\limits_{-1}^{1}\frac{xdx}{\sqrt{5-4x}}=\left[\begin{array}{lcl}t=\sqrt{5-4x}\Rightarrow x=\frac{1}{4}(5-t^2)\\dx=-\frac{t}{2}dt\\x=-1\Rightarrow t=3\\x=1\Rightarrow t=1\end{array}\right]=-\int\limits_3^1\frac{(5-t^2)tdt}{8t}=$$ $$=\frac{1}{8}\int\limits_1^3{(5-t^2)dt}=\frac{1}{8}\left.\left(5t-\frac{t^3}{3}\right)\right|_1^3=\frac{1}{8}(15-9-5+\frac{1}{3})=\frac{1}{6}.$$ 

Ответ: $\frac{1}{6}.$

 

6.394. $\int\limits_{\ln 2}^{\ln 6}\frac{e^x\sqrt{e^x-2}}{e^x+2}\,dx.$

Решение. 

$$\int\limits_{\ln 2}^{\ln 6}\frac{e^x\sqrt{e^x-2}}{e^x+2}dx=\left[\begin{array}{lcl}t=\sqrt{e^x-2}\Rightarrow x=\ln(t^2+2)\\dx=\frac{2t}{t^2+2}dt\\x=\ln 2\Rightarrow t=0\\x=\ln 6\Rightarrow t=2\end{array}\right]=\int\limits_0^2\frac{(t^2+2)2t^2dt}{(t^2+2)(t^2+4)}=$$ $$=2\int\limits_0^2\frac{t^2}{t^2+4}dt=2\int\limits_0^2\frac{t^2+4-4}{t^2+4}dt=2\left.\left(t-\frac{4}{2}arctg\frac{t}{2}\right)\right|_0^2=2(2-2\frac{\pi}{4})=4-\pi.$$  

Ответ: $4-\pi.$

 

6.396. Показать, что $\int\limits_e^{e^2}\frac{dx}{\ln x}=\int\limits_1^2\frac{e^x}{x}\,dx.$ 

Решение. 

$$\int\limits_{e}^{e^2}\frac{dx}{\ln x}dx=\left[\begin{array}{lcl}t=\ln x\Rightarrow x=e^t\\dx=e^t\,dt\\x=e\Rightarrow t=1\\x=e^2\Rightarrow t=2\end{array}\right]=\int\limits_1^2\frac{(e^tdt}{t}.$$ Переобозначим переменные $t=x.$ Получим $$\int\limits_1^2\frac{(e^tdt}{t}\int\limits_1^2\frac{e^x\,dx}{x}.$$

Что и требовалось доказать.

 

 

Интегрирование по частям.

Если функции $u(x),\, v(x)$ и их производные $u'(x)$ и $v'(x)$ непрерывны на отрезке $[a, b],$ то $$\int\limits_a^budv=\left.uv\right|_a^b-\int\limits_a^bvdu.$$ (формула интегрирования по частям.)

Примеры.

Вычислить интегралы методом интегрирования по частям:

6.399. $\int\limits_0^1xe^xdx.$ 

Решение.  

$$\int\limits_0^1xe^xdx=\left[\begin{array}{lcl}u=x\Rightarrow du=dx\\dv=e^xdx\Rightarrow v=e^x\end{array}\right]=xe^x|_0^1-\int\limits_0^1 e^xdx=$$ $$=e-e^x|_0^1=e-e+1=1.$$  

Ответ: $1.$

 

6.402. $\int\limits_1^e\ln^2 x\,dx.$

Решение.  

$$\int\limits_1^e\ln^2 x\,dx=\left[\begin{array}{lcl}u=\ln^2x\Rightarrow du=\frac{2\ln x}{x}dx\\dv=dx\Rightarrow v=x\end{array}\right]=x\ln^2x|_1^e-\int\limits_1^e 2\frac{x\ln x}{x}dx=$$ $$=\left[\begin{array}{lcl}u=\ln x\Rightarrow du=\frac{dx}{x}\\dv=dx\Rightarrow v=x\end{array}\right]=x\ln^2x|_1^e-2x\ln x|_1^e+2\int\limits_1^e \frac{x}{x}dx=(x\ln^2 x-2x\ln x+2x)|_1^e=$$ $$=e-2e+2e-(0-0+2)=e-2.$$   

Ответ: $e-2.$

 

6.408.$\int\limits_0^{\pi/2}e^x\cos x\,dx.$

Решение.   

$$\int\limits_0^{\pi/2}e^x\cos x\,dx=\left[\begin{array}{lcl}u=\cos x\Rightarrow du=-\sin x dx\\dv=e^xdx\Rightarrow v=e^x\end{array}\right]=e^x\cos x|_0^{\pi/2}+\int\limits_0^{\pi/2} e^x\sin x\,dx=$$ $$=\left[\begin{array}{lcl}u=\sin x\Rightarrow du=\cos x\,dx\\dv=e^xdx\Rightarrow v=e^x\end{array}\right]=e^x\cos x|_0^{\pi/2}+e^x\sin x|_0^{pi/2}-\int\limits_0^{\pi/2}e^x\cos x dx.$$ Обозначим $I=\int\limits_0^{\pi/2}e^x\cos x dx.$ Получили уравнение $$I=e^x\cos x|_0^{\pi/2}+e^x\sin x|_0^{pi/2}-I\Rightarrow I=\frac{1}{2}(e^x\cos x+e^x\sin x)|_0^{\pi/2}=\frac{1}{2}(e^{\pi/2}-1).$$

 

Ответ: $\frac{1}{2}(e^{\pi/2}-1).$

 

 

Домашнее задание.

Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы:

6.327. $\int\limits_0^1(\sqrt x+\sqrt[3]{x^2})\,dx.$

6.332. $\int\limits_1^2e^x\,dx.$

6.337. $\int\limits_0^{\pi/4}\sin^2\varphi\,d\varphi.$

6.351. $\int\limits_0^2\frac{2x-1}{2x+1}\,dx.$

 

6.364. (б) Определить знак интеграла, не вычисляя его: $\int\limits_{-1}^1x^3e^x\,dx.$

6.365. (а) Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов больше: $\int\limits_1^2\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$ или$\int\limits_1^2\frac{dx}{x}.$

6.366. (а) Найти среднее значение функции на данном отрезке: $x^3,\,\, 0\leq x \leq 1.$

6.368. Оценить интеграл $\int\limits_{-1}^1\sqrt{8+x^3}dx.$

6.370.(а) Оценить интеграл $\int\limits_0^1\sqrt{(1+x)(1+x^3)}dx,$ пользуясь обобщенной теоремой об оценке интеграла.

Найти производные следующих функций:

6.375. $\Phi(x)=\int\limits_{1/x}^{\sqrt x}\sin t^2\,dt.$

6.377. $\Phi(x)=\int\limits_{x^2}^{x^3}\frac{dt}{\ln t},\quad (x>0).$

 

Вычислить интегралы с помощью указанных подстановок: 

6.381. $\int\limits_{ln 3}^{\ln 8}\frac{dx}{\sqrt{e^x+1}},\quad e^x+1=t^2.$

6.383. $\int\limits_0^{\pi/2}\frac{dx}{3+2\cos x},\quad tg\frac{x}{2}=t.$

Вычислить интегралы с помощью замены переменой:

6.387. $\int\limits_{-2}^{0}\frac{dx}{\sqrt{x+3}+\sqrt{(x+3)^3}}.$

6.395. $\int\limits_0^3x^2\sqrt{9-x^2}\,dx.$

6.397. Показать, что $\int\limits_{1/\sqrt 2}^1\frac{dx}{arcsin x}=\int\limits_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{\cos x}{x}\,dx.$

 

Вычислить интегралы методом интегрирования по частям:

6.400. $\int\limits_0^{1}\frac{arcsin x}{\sqrt{1+x}}\,dx.$

6.403. $\int\limits_0^{\pi/4}e^{3x}\sin 4x\,dx.$

6.405. $\int\limits_1^ex\ln x\,dx.$

 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить