Рейтинг:   / 6
ПлохоОтлично 

Производные и дифференциалы высших порядков.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. 

Частными производными 2-го порядка функции $u=f(x_1, x_2, ..., x_n)$ называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Производные второго порядка обозначаются следующим образом: $$\frac{\partial}{\partial x_k}\left(\frac{\partial u}{\partial x_k}\right)=\frac{\partial^2u}{\partial x^2_k}=f''_{x_kx_k}(x_1, x_2, ..., x_k, ..., x_n).$$ $$\frac{\partial}{\partial x_l}\left(\frac{\partial u}{\partial x_k}\right)=\frac{\partial^2u}{\partial x_k\partial x_l}=f''_{x_kx_l}(x_1, x_2, ..., x_k, ..., x_l, ..., x_n).$$ и т. д.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго.

Дифференциалом 2-го порядка $d^2f$ функции $u=f(x_1, x_2,..., x_n)$ называется дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка, рассматриваемого ка функция переменных $x_1, x_2, .., x_n$ при фиксированных значениях $dx_1, dx_2, ..., dx_n:$ $$d^2u=d(du).$$

Аналогично определяется дифференциал 3-го порядка:$$d^3u=d(d^2u).$$

Вообще, $$d^mu=d(d^{m-1}u).$$

Дифференциал $m$-го порядка функции $u=f(x_1, x_2,..., x_n),$ где $x_1, x_2, .., x_n -$ независимые переменные, выражается символической формулой $$d^mu=\left(\frac{\partial}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial}{\partial x_2}dx_2+...+\frac{\partial}{\partial x_n}dx_n\right)^mu,$$ которая формально раскрывается по биномиальному закону.

 

Например, в случае функции $z=f(x, y)$ двух независимых переменных и для дифференциалов 2-го и 3-го порядков справедливы формулы $$d^2z=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}dx^2+2\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}dy^2,$$

 

$$d^3z=\frac{\partial^3 z}{\partial x^3}dx^3+3\frac{\partial^3 z}{\partial x^2\partial y}dx^2dy++3\frac{\partial^3 z}{\partial x\partial y^2}dxdy^2+\frac{\partial^3 z}{\partial y^3}dy^3.$$

 

Примеры.

Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков следующих функций: ($x, y, z -$ независимые переменные):

7.101. $z=x^3+3x^2y-y^3.$

Решение.

$$dz=z'_xdx+z'_ydy.$$

$$z'_x=(x^3+3x^2y-y^3)'_x=3x^2+6xy;$$

$$z'_y=(x^3+3x^2y-y^3)'_y=3x^2-3y^2.$$

Таким образом

$$dz=(3x^2+6xy)dx+(3x^2-3y^2)dy.$$

Дифференцируем вторично, учитывая, что $dx$ и $dy$ не зависят от $x$ и $y$ (т.е. считая $dx$ и $dy$ постоянными): $$d^2z=d((3x^2+6xy)dx+(3x^2-3y^2)dy)=d(3x^2+6xy)dx+d(3x^2-3y^2)dy=$$ $$=(6xdx+6xdy+6ydx)dx+(6xdx-6ydy)dy=6((x+y)dx^2+2xdxdy-ydy^2).$$Ответ: $dz=(3x^2+6xy)dx+(3x^2-3y^2)dy;$ $d^2 z=6((x+y)dx^2+2xdxdy-ydy^2).$

 

7.108.$u=xy+yz+zx.$

Решение.

$$du=d(xy+yz+zx)=xdy+ydx+ydz+zdy+zdx+xdz=$$ $$=(y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz.$$

Дифференцируем вторично, учитывая, что $dx,\,\, dy$ и $dz$ не зависят от $x,\,\, y$ и $z$ (т.е. считая $dx,\, dy$ и $dz$ постоянными): $$d^2u=d((y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz)=$$ $$=(dy+dz)dx+(dx+dz)dy+(dx+dy)dz=2(dxdy+dxdz+dydz).$$Ответ: $du=(y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz;$ $d^2 u=2(dxdy+dxdz+dydz).$

  

7.110.Найти $d^3z,$ если $z=e^y\sin x.$

Решение.

$$dz=d(e^y\sin x)=e^y\cos xdx+\sin xe^y dy.$$ Дифференцируем вторично, учитывая, что $dx$ и $dy$ не зависят от $x$ и $y$ (т.е. считая $dx$ и $dy$ постоянными): $$d^2z=d(e^y\cos xdx+\sin xe^y dy)=$$ $$=-\sin x e^ydxdx+\cos x e^y dydx+e^y\cos xdxdy+\sin xe^ydydy=$$ $$=-\sin x e^y dx^2+2e^y\cos xdxdy+\sin xe^y dy^2.$$

$$d^3z=d(-\sin x e^y dx^2+2e^y\cos xdxdy+\sin xe^y dy^2)=$$ $$=(-\cos xe^ydx^2-2e^y\sin xdxdy+\cos xe^ydy^2)dx+$$ $$+(-\sin xe^ydx^2+2e^y\cos xdxdy+\sin xe^ydy^2)dy=$$ $$=-\cos xe^ydx^3+-3e^y\sin xdx^2dy+3\cos xy^ydxdy^2+\sin xe^ydy^3.$$

Ответ$d^3z=-\cos xe^ydx^3+-3e^y\sin xdx^2dy+3\cos xy^ydxdy^2+\sin xe^ydy^3.$

 

7.112. Найти $d^6u,$ если $u=\ln(x+y+z).$

Решение.

Будем пользоваться формулой

$$d^mu=\left(\frac{\partial}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial}{\partial x_2}dx_2+...+\frac{\partial}{\partial x_n}dx_n\right)^mu,$$

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{1}{x+y+z};$$

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2u}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2u}{\partial x\partial z}=\frac{\partial^2u}{\partial z\partial x}=\frac{\partial^2u}{\partial y\partial z}=\frac{\partial^2u}{\partial z\partial y}=$$ $$=-\frac{1}{(x+y+z)^2};$$

...

$$\frac{\partial^6 u}{\partial x^6}=\frac{\partial^6 u}{\partial y^6}=\frac{\partial^6 u}{\partial z^6}=\frac{\partial^6u}{\partial x^5\partial y}=\frac{\partial^6u}{\partial x^4\partial y^2}=...\frac{\partial^6u}{\partial x\partial y^5}=\frac{\partial^6u}{\partial x^5\partial z}=...=$$ $$=\frac{\partial^6u}{\partial x\partial z^5}=\frac{\partial^6u}{\partial y^5\partial z}=...=\frac{\partial^6 u}{\partial y\partial z^5}=(-1)^55!\frac{1}{(x+y+z)^6}=\frac{5!}{(x+y+z)^6}.$$

Отсюда получаем $$d^6(\ln(x+y+z))=\left(\frac{\partial}{\partial x}dx+\frac{\partial}{\partial y}dy+\frac{\partial}{\partial z}dz\right)^6(\ln(x+y+z))=$$ $$=-\frac{5!}{(x+y+z)^6}(dx+dy+dz)^6.$$

Ответ$d^6u=-\frac{5!}{(x+y+z)^6}(dx+dy+dz)^6.$

 

 

Домашнее задание.

Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков следующих функций: ($x, y, z -$ независимые переменные):

7.102. $z=\frac{y}{x}-\frac{x}{y}.$

7.103. $z=\sqrt{x^2+2xy}.$

7.105. $z=(x+y)e^{xy}.$

7.106. $z=x\ln\frac{y}{x}.$

7.111. Найти $d^3u,$ если $u=x^3+y^3+z^3-3xyz..$

7.113. Найти $d^mu,$ если $u=e^{ax+by+cz}.$

 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить