Предел функции, вычисление пределов. 

Определение 1. Число $a$ называется пределом функции $f(x)$ в точке $x_0$ (или при $x\rightarrow x_0),$ если для каждого числа $\varepsilon>0$ существует такое число $\delta>0,$ что для всех $x$ удовлетворяющих условию $0<|x-x_0|<\delta,$ выполняется неравенство $|f(x)-a|<\varepsilon.$

Число $a$ - предел функции $f(x)$ в точке $x_0:\,\,\,
\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=a,$ если для $\forall
\varepsilon>0 \exists\delta>0, \forall x: 0<|x-x_0|<\delta
\Rightarrow |f(x)-a|<\varepsilon.$

Число $a$ - не является пределом функции $f(x)$ в точке $x_0:\,\,\, \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)\neq a,$ если
$\exists \varepsilon>0$ такое, что для $ \forall\delta>0 \exists
x: 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-a|\geq\varepsilon.$

Свойства предела:

1) Если $f(x)$ и $g(x)$ имеют пределы в точке $x_0,$ то функции $f(x)\pm g(x)$ и $f(x)g(x)$ также имеют пределы в точке $x_0,$ причем
$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}(f(x)\pm g(x))=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)\pm\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x);$$
$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}(f(x)g(x))=(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x))(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x))$$

2) Для любого числа $C,\,\,\, \lim\limits_{x\rightarrow x_0}(C
f(x))=C\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$

3) Если функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют пределы в точке $x_0$ и $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)\neq 0,$ то функция $\frac{f(x)}{g(x)}$ также имеет предел в точке $x_0,$ причем
$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)}.
$$.

4) Пусть существует $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=a$ ($f(x)\neq a $ при $x\neq x_0$) и $\lim\limits_{y\rightarrow
a}g(y);$ тогда в точке $x_0$ существует предел композиции $g(f(x)),$ причем $\lim\limits_{x\rightarrow
x_0}g(f(x))=\lim\limits_{y\rightarrow a}g(y).$

Если разность $f(x)-g(x)$ представляет собой неопределенность вида $\infty-\infty,$ или частное $\frac{f(x)}{g(x)}$ представляет собой при неопрделенность вида $\frac{\infty}{\infty} $ или $\frac{0}{0},$ то вычисление пределов называют "раскрытием неопределенностей."

Примеры.

$$1)\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-4}{x^2-x-2}=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 1}(x^2-4)}{\lim\limits_{x\rightarrow 1}(x^2-x-2)}=\frac{1-4}{1-1- 2}=\frac{3}{2}.$$

$2)\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x^2-x-2}$

    {jumi[*4]}

$$\lim\limits_{x\rightarrow 2}(x^2-4)=4-4=0;\,\,\,\lim\limits_{x\rightarrow 2}(x^2-x-2)=4-2-2=0.$$ Таким образом, имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$

$$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x^2-x-2}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x+2}{x+1}=\frac{4}{3}.$$

$$3)\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2-4}{x^2-x-2}=[\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(x^2-4)=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(x^2-x-2)=\infty].$$
Следовательно $$\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2-4}{x^2-x-2}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{x^2}{x^2}-\frac{4}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-\frac{x}{x^2}-\frac{2}{x^2}}=1.$$

$$4)\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^2+4x-5}{x^2-1}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x+5)}{(x-1)(x+1)}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x+5}{x+1}=\frac{6}{2}=3.$$

$$5)\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2+4x-5}{x^2-1}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim\limits_{x\rightarrow
\infty}\frac{1-\frac{4}{x}-\frac{5}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}=1.$$

$$6)\lim\limits_{x\rightarrow-1}\frac{x^2+4x-5}{x^2-1}=\frac{1-4-5}{0}=\infty. $$

$$7)\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{x^3+3x^2}{x^2+1}-x\right)=[\infty-\infty]=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{x^3+3x^2-x^3-x}{x^2+1}=$$ $$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{3x^2-x}{x^2+1}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{3-\frac{x}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}=3.$$

$$8)\lim\limits_{x\rightarrow 6}\frac{\sqrt{x-2}-2}{x-6}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim\limits_{x\rightarrow 6}\frac{(\sqrt{x-2}-2)(\sqrt{x-2}+2)}{(x-6)(\sqrt{x-2}+2)}=$$ $$=\lim\limits_{x\rightarrow 6}\frac{x-2-4}{(x-6)(\sqrt{x-2}+2)}=\lim\limits_{x\rightarrow 6}\frac{1}{\sqrt{x-2}+2}=\frac{1}{4}.$$

$$9)\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{5-x^6}{\sqrt{x^{12}+5x^5-1}}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac{5-\frac{1}{x^6}}{\sqrt{1+\frac{5}{x^7}- \frac{1}{x^{12}}}}=5.$$

$$10)\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(\sqrt{x^4+2x^2-1}-\sqrt{x^4-2x^2-1})=[\infty-\infty]=$$

$$=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{(\sqrt{x^4+2x^2-1}-\sqrt{x^4-2x^2-1})(\sqrt{x^4+2x^2-1}+\sqrt{x^4-2x^2-1})}{\sqrt{x^4+2x^2-1}+\sqrt{x^4-2x^2-1}}=$$

$$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{x^4+2x^2-1-x^4+2x^2+1}{\sqrt{x^4+2x^2-1}+\sqrt{x^4-2x^2-1}}=$$

$$=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{4x^2}{\sqrt{x^4+2x^2-1}+\sqrt{x^4-2x^2-1}}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{4}{\sqrt{1+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^4}}+\sqrt{1-\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^4}}}=2.$$

Некоторые замечательные пределы.

Вычисление пределов во многих случаях производится с помощью двух
важных формул:

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1; \,\,\,\,\,\,\, \lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}=e}.$$

Часто используются следующие формулы, которые являются следствием
вышеприведенных формул.

$$\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e.$$
$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\log_a(1+x)}{x}=\frac{1}{\ln a},\,\,\, a>0, a\neq 1.$$
Частный случай при $a=e:$ $$\lim\limits_{x\rightarrow
0}\frac{\ln{(1+x)}}{x}=1.$$

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a, \,\,\,\, a>0.$$
В частный случае, когда $a=e:$ $$\lim\limits_{x\rightarrow
0}\frac{e^x-1}{1}=1.$$

Таким образом, можно выписать следующие эквивалентные функции:

 $$\sin x\sim tg x\sim arctg x\sim arcsin x\sim x \qquad (x\rightarrow 0);$$

 $$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2} \qquad (x\rightarrow 0);$$

 $$e^x-1\sim \ln(1+x)\sim x \qquad (x\rightarrow 0);$$

 $$a^x-1\sim x\ln a \qquad(x\rightarrow 0);$$

 $$\log_a(1+x)\sim x \log_a e \qquad (x\rightarrow 0).$$

Примеры.

$$1)\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ax}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{a\sin ax}{ax}=a\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ax}{ax}=a.$$

 {jumi[*4]}

Другой способ: 

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ax}{x}=[\sin ax\sim ax (x\rightarrow 0)]=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{ax}{x}=a.$$

$$2)\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{arctg x}{x}=[y=arctg x;\,\, x=tg y]=\lim\limits_{y\rightarrow 0}\frac{y}{tg y}=\lim\limits_{y\rightarrow 0}\frac{y}{\frac{\sin y}{\cos y}}=\lim\limits_{y\rightarrow 0}\frac{\cos y}{\frac{\sin y}{y}}=1.$$

$$3)\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tg 4x}{\sin x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin 4x}{4x}\frac{4x}{\cos 4x \sin x}\right)=4.$$

$$4)\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{x}{2x+1}\right)^x=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\left(\left(\frac{2x}{2x+1}\right)^{2x}\right)^{\frac{1}{2}}\frac{1}{2^x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\left(\frac{1}{1+\frac{1}{2x}}\right)^{2x}\right)^{\frac{1}{2}}\frac{1}{2^x}= $$ $$ e^{-1/2}\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{2^x}=0.$$

$$5)\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x^2}-\cos x}{\sin^2 x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x^2}-1+1-\cos x}{x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x^2}-1}{x^2}+\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=$$ $$=[e^{x^2}-1\sim -x^2, (x\rightarrow 0); 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}, x\rightarrow 0]=$$

$$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{-x^2}{x^2}+\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^2/2}{x^2}=-1+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$

$$6)\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\ln(e+tg \alpha x))^{1/\sin \beta x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\ln(e\left(1+\frac{tg\alpha x}{e}\right)\right)^{\frac{1}{\sin\beta x}}=$$

$$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\ln e+\ln\left(1+\frac{tg\alpha x}{e}\right)\right)^{\frac{1}{\sin\beta x}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(1+\ln\left(1+\frac{tg\alpha x}{e}\right)\right)^{\frac{1}{\sin\beta x}}.$$

При $x\rightarrow 0,$ $\ln\left(1+\frac{tg\alpha x}{e}\right)\sim\frac{tg\alpha x}{e}\rightarrow 0.$ Поэтому

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(1+\ln\left(1+\frac{tg\alpha x}{e}\right)\right)^{\frac{1}{\sin\beta x}}=$$

$$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(1+\ln\left(1+\frac{tg\alpha x}{e}\right)\right)^{\frac{1}{\ln\left(1+\frac{tg\alpha x}{e}\right)}\ln\left(1+\frac{tg\alpha x}{e}\right)\frac{1}{\sin\beta x}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}e^{\frac{\ln\left(1+\frac{tg\alpha x}{e}\right)}{\sin\beta x}}=$$

$$=e^{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln\left(1+\frac{tg\alpha x}{e}\right)}{\sin\beta x}}=[\ln\left(1+\frac{tg\alpha x}{e}\right)\sim\frac{\alpha x}{e},\,\, (x\rightarrow 0); \sin\beta x\sim\beta x,\,\, (x\rightarrow 0)]=$$ $$e^{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\alpha x}{e\beta x}}=e^{\frac{\alpha}{e\beta}}$$

$$7)\lim\limits_{x\rightarrow 0}ctg^2 x(3^{\cos x}-3)=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{3^{\cos x}-3}{x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{3(3^{\cos x-1}-1)}{x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{3(\cos x-1)\ln 3}{x^2}=$$ $$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{3\ln 3(-\sin^2\frac{x}{2})}{x^2}=-6\ln 3\cdot\frac{1}{4}=-\frac{3}{2}\ln 3$$