Рейтинг:   / 5
ПлохоОтлично 

Построение графиков функций заданных явно в декартовой системе координат.

Для того чтобы дифференцируемая на интервале $(a,b)$ функция $f(x)$ строго возрастала на этом интервале, достаточно, чтобы производная $f'(x)$ была строго положительна всюду на $(a,b),$ т.е. $f'(x)>0,\,\, x\in(a,b).$

Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a,b) функция $f(x)$ возрастала (не убывала) на этом интервале, достаточно, чтобы производная $f'(x)$ была положительна всюду на $(a,b),$ т.е. $f'(x)\geq 0,\,\, x\in(a,b).$

Аналогично, условием строгого убывания дифференцируемой функции $f(x),\,\,x\in (a,b)$ является условие $f'(x)<0,\,\, x\in (a,b).$ 

Условием убывания (не возрастания) дифференцируемой функции $f(x),\,\,x\in (a,b)$ является условие $f'(x)\leq0,\,\,x\in (a,b).$ 

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки $x_0,$ кроме, быть может, самой точки $x_0,$ в которой, однако функция $f(x)$ непрерывна. Тогда точка $x_0$ является точкой строгого максимума, если существует окрестность точки  $x_0$ в которой $f'(x)>0$ при $x<x_0$ и $f'(x)<0$ при $x>x_0.$

Если же $f'(x)<0$ при $x<x_0$ и $f'(x)>0$  при $x>x_0,$ то $x_0$ - точка строгого минимума.

 

Определение.  Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значение функции в этой точке - экстремумами.

 Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и имеет на нем $k$ локальных максимумов в точках $x_1,\, x_2,...x_k.$ Тогда наибольшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$ равно наибольшему из чисел: $$f(a,)\,f(x_1),...,f(x_k), f(b).$$

Аналогично, если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$  и имеет на нем $n$ локальных минимумов в точках $x_1',\,\, x_2',.., x'_n,$ то ее наименьшее значение на этом отрезке равно наименьшему из чисел: $$f(a),\, f(x_1'), f(x_2'),..., f(x_n'), f(b).$$

 

Для того, чтобы функция $f(x),$ дважды дифференцируемая на интервале $(a,b),$ была выпуклой вниз на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы вторая производная $f''(x)$ была неотрицательна на $(a,b),$ то есть $f''(x)\geq 0,\,\,x\in (a,b).$

Условие $f''(x)>0,\,\, x\in(a,b) -$ условие строгой выпуклости вниз.

Если $f''(x)\leq 0,\,\, x\in (a,b) -$ функция выпукла вверх. $f''(x)<0  -$ условие строгой выпуклости.

Если функция $f(x)$ при переходе через точку $x_0$ меняет направление выпуклости, то точка $x_0$ называется точкой перегиба.

Функция $f(x)$ называется четной, если $f(x)=f(-x);$

Функция $f(x)$ называется нечетной, если $f(x)=-f(-x).$

 

Нахождение асимптот.

Если $\lim\limits_{x\rightarrow X_0-0} f(x)=\infty$ или $\lim\limits_{x\rightarrow x_0+0}f(x)=\infty,$ то прямая $x=x_0$

называется вертикальной асимптотой графика.

Чтобы прямая $y=kx+b$ была асимптотой графика функции  $y=f(x)$ при $x\rightarrow+\infty\,\,\,$ при $(x\rightarrow -\infty)$ необходимо и достаточно, чтобы $$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=k \quad \left(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{f(x)}{x}=k\right)$$

$$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}(f(x)-kx)=b\quad (\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}(f(x)-kx)=b).\qquad\qquad(1)$$

в случае горизонтальной асимптоты $(k=0)$ вместо (1) имеем: для того чтобы прямая $y=b$ была горизонтальной асимптотой графика функции  $y=f(x)$ при $x\rightarrow+\infty$ (при $x\rightarrow-\infty$) необходимо и достаточно, чтобы

$$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=b\quad (\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)=b).$$

 

 Построение графиков.

При построении графика функции удобно придерживаться следующей схемы.

1. Найти область определения функции.

2. проверить является ли функция четной, нечетной, периодической.

3. Найти точки пересечения графика с осями координат, промежутки, где значения функции положительны, отрицательны. Найти точки разрыва функции.

4. Найти асимптоты графика.

5. Вычислить первую производную, определить промежутки возрастания и убывания функции. Найти точки экстремума.

6. Найти вторую производную, найти точки перегиба графика, промежутки выпуклости вверх и вниз.

7. Нарисовать график функции.

 

Пример полного исследования функции и построения графика.

 Провести полное исследование функции  и построить ее график. 

Решение.

 

1)     Найдем область определения функции, интервалы непрерывности и точки разрыва функции:

Область определения . Данная функция, как элементарная, непрерывная в каждой точке области определения. Точка  - точка разрыва.

 функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция не периодичная.

Точки пересечения с осью Oy нет:  .

Точка пересечения с осью Ox:  . Т.е. кривая проходит через точку .

2)    Найдем асимптоты графика.

Вертикальные асимптоты могут быть в точках разрыва. Найдем односторонние пределы функции  в этой точке.

.

Таким образом оба предела бесконечны и прямая  является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты задаются уравнением , где

;

.

 Таким образом, наклонных асимптот функция не имеет.

3)    Вычислим производную функции и найдем ее интервалы монотонности и экстремумы.

 

 

 

$x$

$(-\infty;0)$

0

(0; 1)

1

$(1;\infty)$

$y'$

Не существует

0

+

$y$

 

 

Не существует

 

 

Минимиум

 

 

В точке $x=1$ производная  меняет знак с  «–» на «+», поэтому в этой точке функция имеет минимум .

 

4)    Вычислим вторую производную и с ее помощью исследуем график на интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.

 

 

     $x$       $(-\infty;-\sqrt[3]2)$     $-\sqrt[3]2$     $(\sqrt[3]2;0)$   0   $(0; +\infty)$  
    $y''$    + 0 -   не существует    +
   $y$    $\cup$ 0 $\cap$ не существует $\cup$

 

  При     , то есть функция выпукла вверх, При     , то есть функция выпукла вниз.

5)     Используя полученные данные, построим график.

 

 

Еще пример построения графика функции $y=\frac{x^2}{x-1}$ Скачать

 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить