Построение графиков функций заданных явно в декартовой системе координат.
Для того чтобы дифференцируемая на интервале $(a,b)$ функция $f(x)$ строго возрастала на этом интервале, достаточно, чтобы производная $f'(x)$ была строго положительна всюду на $(a,b),$ т.е. $f'(x)>0,\,\, x\in(a,b).$
Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a,b) функция $f(x)$ возрастала (не убывала) на этом интервале, достаточно, чтобы производная $f'(x)$ была положительна всюду на $(a,b),$ т.е. $f'(x)\geq 0,\,\, x\in(a,b).$
Аналогично, условием строгого убывания дифференцируемой функции $f(x),\,\,x\in (a,b)$ является условие $f'(x)<0,\,\, x\in (a,b).$
Условием убывания (не возрастания) дифференцируемой функции $f(x),\,\,x\in (a,b)$ является условие $f'(x)\leq0,\,\,x\in (a,b).$
Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки $x_0,$ кроме, быть может, самой точки $x_0,$ в которой, однако функция $f(x)$ непрерывна. Тогда точка $x_0$ является точкой строгого максимума, если существует окрестность точки $x_0$ в которой $f'(x)>0$ при $x<x_0$ и $f'(x)<0$ при $x>x_0.$
Если же $f'(x)<0$ при $x<x_0$ и $f'(x)>0$ при $x>x_0,$ то $x_0$ - точка строгого минимума.
Определение. Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значение функции в этой точке - экстремумами.
Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и имеет на нем $k$ локальных максимумов в точках $x_1,\, x_2,...x_k.$ Тогда наибольшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$ равно наибольшему из чисел: $$f(a,)\,f(x_1),...,f(x_k), f(b).$$
Аналогично, если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и имеет на нем $n$ локальных минимумов в точках $x_1',\,\, x_2',.., x'_n,$ то ее наименьшее значение на этом отрезке равно наименьшему из чисел: $$f(a),\, f(x_1'), f(x_2'),..., f(x_n'), f(b).$$
Для того, чтобы функция $f(x),$ дважды дифференцируемая на интервале $(a,b),$ была выпуклой вниз на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы вторая производная $f''(x)$ была неотрицательна на $(a,b),$ то есть $f''(x)\geq 0,\,\,x\in (a,b).$
Условие $f''(x)>0,\,\, x\in(a,b) -$ условие строгой выпуклости вниз.
Если $f''(x)\leq 0,\,\, x\in (a,b) -$ функция выпукла вверх. $f''(x)<0 -$ условие строгой выпуклости.
Если функция $f(x)$ при переходе через точку $x_0$ меняет направление выпуклости, то точка $x_0$ называется точкой перегиба.
Функция $f(x)$ называется четной, если $f(x)=f(-x);$
Функция $f(x)$ называется нечетной, если $f(x)=-f(-x).$
Нахождение асимптот.
Если $\lim\limits_{x\rightarrow X_0-0} f(x)=\infty$ или $\lim\limits_{x\rightarrow x_0+0}f(x)=\infty,$ то прямая $x=x_0$
называется вертикальной асимптотой графика.
Чтобы прямая $y=kx+b$ была асимптотой графика функции $y=f(x)$ при $x\rightarrow+\infty\,\,\,$ при $(x\rightarrow -\infty)$ необходимо и достаточно, чтобы $$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=k \quad \left(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{f(x)}{x}=k\right)$$
$$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}(f(x)-kx)=b\quad (\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}(f(x)-kx)=b).\qquad\qquad(1)$$
в случае горизонтальной асимптоты $(k=0)$ вместо (1) имеем: для того чтобы прямая $y=b$ была горизонтальной асимптотой графика функции $y=f(x)$ при $x\rightarrow+\infty$ (при $x\rightarrow-\infty$) необходимо и достаточно, чтобы
$$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=b\quad (\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)=b).$$
{jumi[*4]}
Построение графиков.
При построении графика функции удобно придерживаться следующей схемы.
1. Найти область определения функции.
2. проверить является ли функция четной, нечетной, периодической.
3. Найти точки пересечения графика с осями координат, промежутки, где значения функции положительны, отрицательны. Найти точки разрыва функции.
4. Найти асимптоты графика.
5. Вычислить первую производную, определить промежутки возрастания и убывания функции. Найти точки экстремума.
6. Найти вторую производную, найти точки перегиба графика, промежутки выпуклости вверх и вниз.
7. Нарисовать график функции.
Пример полного исследования функции и построения графика.
Провести полное исследование функции и построить ее график.
Решение.
1) Найдем область определения функции, интервалы непрерывности и точки разрыва функции:
Область определения . Данная функция, как элементарная, непрерывная в каждой точке области определения. Точка - точка разрыва.
функция не является ни четной, ни нечетной.
Функция не периодичная.
Точки пересечения с осью Oy нет: .
Точка пересечения с осью Ox: . Т.е. кривая проходит через точку .
2) Найдем асимптоты графика.
Вертикальные асимптоты могут быть в точках разрыва. Найдем односторонние пределы функции в этой точке.
.
Таким образом оба предела бесконечны и прямая является вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты задаются уравнением , где
;
.
Таким образом, наклонных асимптот функция не имеет.
3) Вычислим производную функции и найдем ее интервалы монотонности и экстремумы.
$x$ |
$(-\infty;0)$ |
0 |
(0; 1) |
1 |
$(1;\infty)$ |
$y'$ |
– |
Не существует |
– |
0 |
+ |
$y$
|
|
Не существует
|
|
Минимиум
|
|
В точке $x=1$ производная меняет знак с «–» на «+», поэтому в этой точке функция имеет минимум .
4) Вычислим вторую производную и с ее помощью исследуем график на интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.
$x$ | $(-\infty;-\sqrt[3]2)$ | $-\sqrt[3]2$ | $(\sqrt[3]2;0)$ | 0 | $(0; +\infty)$ |
$y''$ | + | 0 | - | не существует | + |
$y$ | $\cup$ | 0 | $\cap$ | не существует | $\cup$ |
При , то есть функция выпукла вверх, При , то есть функция выпукла вниз.
5) Используя полученные данные, построим график.
Еще пример построения графика функции $y=\frac{x^2}{x-1}$ Скачать