Рейтинг:   / 13
ПлохоОтлично 

1.230. Найти $a=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n$ и определить номер $N(\varepsilon)$ такой что $|x_n-a|<\varepsilon$ при всех $n>N(\varepsilon),$ если:

б) $x_n=\frac{\sqrt{n^2+1}}{n},\qquad \varepsilon=0,005.$

Решение.

$a=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n^2+1}}{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt{\frac{n^2+1}{n^2}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}=\sqrt{1+0}=1.$

Найдем номер $N(\varepsilon)$ такой что $|x_n-a|<\varepsilon$ при всех $n>N(\varepsilon):$ 

$$|x_n-a|<\varepsilon\Rightarrow \left|\frac{\sqrt{n^2+1}}{n}-1\right|<0,005\Rightarrow \sqrt{n^2+1}<1,005n\Rightarrow $$

$$\Rightarrow n^2+1<1,010025n^2\Rightarrow 1<0,010025n^2\Rightarrow 1<0,100125n\Rightarrow $$ $$\Rightarrow n>\frac{1}{0,100125}\sim 9,99.$$

Таким образом, если мы выберем номер $N(\varepsilon)=9,$ то для всех $n>N=9$ выполняется $|x_n-1|<0,005.$ 

Ответ: $a=1,\,\, N=9.$

 

в) $x_n=\frac{1}{n}\sin\frac{\pi n}{2},\qquad \varepsilon=0,001.$

Решение.

$a=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sin\frac{\pi n}{2}=0.$

Найдем номер $N(\varepsilon)$ такой что $|x_n-a|<\varepsilon$ при всех $n>N(\varepsilon):$ 

$$|x_n-a|<\varepsilon\Rightarrow \left|\frac{1}{n}\sin\frac{\pi n}{2}\right|<0,001\Rightarrow |\sin\frac{\pi n}{2}|<0,001 n.$$

В левой стороне неравенства $|\sin\frac{\pi n}{2}|$ принимает значение $0$ для четных $n$ и $1$ для нечетных $n,$ а в правой - элементы монотонно возрастающей последовательности $0,001n.$ Чтобы неравенство $|$\sin\frac{\pi n}{2}|<0,001 n$$ выполнялось для всех $n>N(\varepsilon),$ мы найдем номер, начиная с которого $0,001n>1.$

$$0,001n>1\Rightarrow n>\frac{1}{0,001}=1000.$$

Таким образом, если мы выберем номер $N(\varepsilon)=999,$ то для всех $n>N=999$ выполняется $|x_n|<0,001.$ 

Ответ: $a=0,\,\, N=999.$

 

Вычислить пределы:

1.231. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{n-1}{3n}.$

Решение.

$$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{n-1}{3n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{n}{3n}-\frac{1}{3n}\right)=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3n}\right)=\frac{1}{3}.$$

Ответ: $\frac{1}{3}.$

 

1.233. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{(n+1)^2}{2n^3}.$

Решение.

$$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{(n+1)^2}{2n^3}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{n^2+2n+1}{2n^3}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{n^2}{2n^3}+\frac{2n}{2n^3}+\frac{1}{2n^3}\right)=$$ $$=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2n}+\frac{2}{2n^2}+\frac{1}{2n^3}\right)=0.$$

Ответ: $0.$

 

1.235. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{(n+2)^3-(n-2)^3}{95n^3+39n}.$

Решение.

$$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{(n+2)^3-(n-2)^3}{95n^3+39n}=$$ $$=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{n^3+6n^2+12n+8-n^3+6n^2-12n+8}{95n^3+39n}=$$ $$=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{12n^2+16}{95n^3+39n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{12n^2}{n^3}+\frac{16}{n^3}}{\frac{95n^3}{n^3}+\frac{39n}{n^3}}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{12}{n}+\frac{16}{n^3}}{95+\frac{39}{n^2}}=\frac{0}{95}=0.$$

Ответ: $0.$

 

1.237. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt[3]{n^4+3n+1}}{n-1}.$

Решение.

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[3]{n^4+3n+1}}{n-1}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{\sqrt[3]{n^4+3n+1}}{n^{4/3}}}{\frac{n-1}{n^{4/3}}}=$$   $$=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt[3]{\frac{n^4}{n^4}+\frac{3n}{n^4}+\frac{1}{n^4}}}{\frac{n}{n^{4/3}}-\frac{1}{n^{4/3}}}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt[3]{1+\frac{3}{n^3}+\frac{1}{n^4}}}{\frac{1}{n^{1/4}}-\frac{1}{n^{4/3}}}=\left[\frac{1}{+0}\right]=+\infty.$$

Ответ: $+\infty.$

 

1.238. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt n).$

Решение.

$$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt n)(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=$$

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\left[\frac{1}{\infty}\right]=0.$$

Ответ: $0.$

 

1.241. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+...+\frac{n-1}{n^2}\right).$

Решение.

$$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+...+\frac{n-1}{n^2}\right)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1+2+...+n-1}{n^2}.$$ В числителе арифметическая прогрессия с $a_1=1,\,\, d=1.$ Сумму первых $n-1$ членов найдем по формуле $S_{n-1}=\frac{a_1+a_{n-1}}{2}(n-1):$

$$S_{n-1}=\frac{1+n-1}{2}(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}.$$

Таким образом,

$$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+...+\frac{n-1}{n^2}\right)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n(n-1)}{2n^2}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n-1}{2n}=$$

$$=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n}{2n}-\frac{1}{2n}\right)=\frac{1}{2}.$$

Ответ: $\frac{1}{2}.$

 

1.248. Является ли заданная последовательность бесконечно большой $x_n=n^{(-1)^n}.$

Решение.

Элементы данной последовательности с четными номерами можно записать в виде  $x_{2k}=(2k)^{(-1)^{2k}}=2k;$

с нечетными номерами можно записать в виде  $x_{2k+1}=(2k+1)^{(-1)^{2k+1}}=\frac{1}{2k+1}.$

По определению последовательность $(x_n)_{n\in N}$ называется бесконечно большой (сходящейся к бесконечности), что записыватся в виде $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}=\infty,$ если для любого числа $E>0$ существует номер $N(E)$ такой, что при $n>N(E)$ выполняется неравенство $|x_n|>E.$ 

Для заданной последовательности для любого фиксированного числа $E>0 \forall N$ существует номер $n: $ $n=(2E+1)N>N$ для нечетных $N$ и $n=(2E+1)(N+1)>N$ для четных $N$ такой что $x_n=\frac{1}{n}leq\frac{1}{(2E+1)(2N+1)}<E.$

Таким образом, заданная последовательность не является бесконечно большой.

Ответ: Не является.

 

1.252. Найти все предельные точки последовательности $x_n=\cos\frac{\pi n}{4}.$

Решение.

Данную последовательность разделим на несколько подпоследовательностей:

$\{x_{8k}\}: \,\,x_{8k}=\cos\frac{8k\pi }{4}=\cos 2k\pi=1;$

$\{x_{8k+1}\}: \,\,x_{8k+1}=\cos\frac{(8k+1)\pi }{4}=\cos (2k\pi+\frac{\pi}{4})=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt 2};$

$\{x_{8k+2}\}:\,\,x_{8k+2}=\cos\frac{(8k+2)\pi }{4}=\cos (2k\pi+\frac{2\pi}{4})=\cos\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}=0;$

$\{x_{8k+3}\}: \,\,x_{8k+3}=\cos\frac{(8k+3)\pi }{4}=\cos (2k\pi+\frac{3\pi}{4})=\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt 2};$

$\{x_{8k+4}\}: \,\,x_{8k+4}=\cos\frac{(8k+4)\pi }{4}=\cos (2k\pi+\frac{4\pi}{4})=\cos\frac{4\pi}{4}=\cos\pi=-1;$

$\{x_{8k+5}\}: \,\,x_{8k+5}=\cos\frac{(8k+5)\pi }{4}=\cos (2k\pi+\frac{5\pi}{4})=\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt 2};$

$\{x_{8k+6}\}:\,\,x_{8k+6}=\cos\frac{(8k+6)\pi }{4}=\cos (2k\pi+\frac{6\pi}{4})=\cos\frac{6\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}=0;$

$\{x_{8k+7}\}: \,\,x_{8k+7}=\cos\frac{(8k+7)\pi }{4}=\cos (2k\pi+\frac{7\pi}{4})=\cos\frac{7\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt 2}.$

Таким образом, все элементы последовательности принимают лишь 5 различных значений: $1, \, \frac{1}{\sqrt 2}, \, 0, \, -\frac{1}{\sqrt 2},\,\, 1,$ причем каждое из этих значений повторяются бесконечное число раз. То есть для любого $\varepsilon_1>0$ найдется бесконечно большое число членов этой последовательности (все члены подпоследовательности $\{x_{8k}\}$), удовлетворяющих условию $|x_n-1|<\varepsilon_1.$

Таким образом, $1 -$ предельная точка последовательности. Аналогично $\frac{1}{\sqrt 2}, \, 0, \, -\frac{1}{\sqrt 2},\,\, 1 -$ также предельные точки последовательности.

Ответ: $1, \, \frac{1}{\sqrt 2}, \, 0, \, -\frac{1}{\sqrt 2},\,\, 1.$ 

 

В задачах 1.255 и 1.257 для заданных последовательностей $(x_n)_{n\in N}$ найти $\inf(x_n),\,\, \sup(x_n),\,\, \varlimsup\limits_{n\rightarrow\infty}x_n, $ $\varliminf\limits_{n\rightarrow\infty}x_n, $

1.255. $x_n=1+\frac{1}{n}.$

Решение.

Запишем последовательность в виде 

$$X=\left\{x_n: x_n=1+\frac{1}{n}\right\}=$$ $$=\left\{2,\, 1\frac{1}{2},\, 1\frac{1}{3}, .., 1+\frac{1}{n},...\right\}=\left\{2,\, \frac{3}{2},\,\,\frac{4}{3},\,\,...,\frac{n+1}{n},...\right\}.$$ 

Данное множество имеет наибольший элемент $M=2$ поскольку для всех элементов последовательности $\{x_n\}$ выполняется неравенство $x_n\leq 2.$ При этом $x_1=2.$

Наименьшего элемента заданная последовательность не имеет, так как для любого элемента $x_n=1+\frac{1}{n}$ всегда найдется элемент $x_{n+1}=1+\frac{1}{n+1}\in X$ для которого выполняется неравенство  $x_{n+1}\leq x_n.$

Поскольку для всех элементов последовательности $x_n$ выполняется неравенство $x\leq 2,$ причем $2$ является элементом последовательности, то множество верхних граней для множества $X$ это множество $\left[2, +\infty\right)$ c наименьшим элементом равным $2.$ Таким образом, $\sup X=\sup (x_n)=2.$

Наименьшего элемента заданная последовательность не имеет. Очевидно, что для всех элементов $x_n$ последовательности выполняется $x\geq 1, $ то есть множество $X$ ограничено снизу. Покажем, что $1$ является предельным значением множества $X.$ Действительно, для любого $\varepsilon>0$ можно найти натуральное число $$n>\frac{1}{\varepsilon}\,\,\Rightarrow \frac{1}{n}<\varepsilon\Rightarrow\,\,1+\frac{1}{n}-1<\varepsilon,\quad 1+\frac{1}{n}\in X.$$ Таким образом, множество нижних граней для $X$ это множество $(-\infty, 1]$ c наибольшим элементом равным $1.$ Отсюда находим $\inf X=\inf(x_n)=1.$

Поскольку заданная последовательность имеет предел, то $$\varliminf\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=\varlimsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1.$$

Ответ: $\sup (x_n)=2,$ $\inf (x_n)=1;$ $\varliminf\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=\varlimsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1.$

 

 

1.257. $x_n=(-1)^n(2n+1).$

Решение.

Запишем последовательность в виде 

$$X=\left\{x_n: x_n=(-1)^n(2n+1)\right\}=$$ $$=\left\{-3,\, 5,\, -7,\, 9, .., (-1)^n(2n+1),...\right\}.$$ 

Из заданной последовательности можно выделить две подпоследовательности:

$x_{2k}=4k+1;$

$x_{2k+1}=-(4k+3).$

Найдем пределы этих подпоследовательностей при $k\rightarrow\infty:$

$\lim\limits_{k\rightarrow\infty}(4k+1)=+\infty;$

$\lim\limits_{k\rightarrow\infty}(-(4k+3))=-\infty.$

Таким образом, заданная последовательность неограничена и сверху и снизу.

$\varliminf\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=$ $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}x_{2k+1}=$ $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}(-(4k+3))=-\infty.$

$\varlimsup\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=$ $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}x_{2k}=$ $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}(4k+1)=+\infty.$

Ответ: Последовательность неограничена сверху и снизу; $\varliminf\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=-\infty;\,\,\,\,\varlimsup\limits_{x\rightarrow\infty}x_n=+\infty.$

 

Домашнее задание.

В задачах 1.214, 1.216 написать первые пять членов последовательности:

1.214. $x_n=n(1-(-1)^n).$

1.216. $x_n=(-1^n)\arcsin\frac{\sqrt 3}{2}+\pi n.$

 

В задачах 1.219 - 1.222 написать формулу общего члена последовательности:

1.219. $\left\{2,\, \frac{4}{3},\,\,\frac{6}{5},\,\, \frac{8}{7}, ...\right\}$

1.221. $\left\{-3,\,\,\frac{5}{3},\,\,-\frac{7}{5},\,\,\frac{9}{7},\,\,-\frac{11}{9}\right\}$

1.222. $\left\{0,\,\,\frac{\sqrt 2}{2},\,\,1,\,\,\frac{\sqrt 2}{2},\,\,0,\,\,-\frac{\sqrt 2}{2}, -1,\, -\frac{\sqrt 2}{2}, 0, ...\right\}.$

 

В задачах 1.224,1.225 найти наибольший (наименьший) член ограниченной сверху (снизу) последовательности $(x_n)_{n\in N}.$

1.224. $x_n=e^{10n-n^2-24}.$

1.225. $x_n=\frac{\sqrt n}{9+n}.$

1.229. Используя логическую символику записать следующие высказывания, а так же их отрицания:

в) число $a$ есть предел последовательности.

1.230. Найти $a=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n$ и определить номер $N(\varepsilon)$ такой что $|x_n-a|<\varepsilon$ при всех $n>N(\varepsilon),$ если:

а) $x_n=0,333333...3$ (после запятой 3 стоит $n$ раз), $\varepsilon=0,001.$

г) $x_n=\frac{5n^2+1}{7n^2-3},$ $\varepsilon=0.005.$

 

Вычислить пределы:

1.232. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{5n+1}{7-9n}.$

1.234. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{3n^2-7n+1}{2-5n-6n^2}.$

1.236. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{2n-1}{5n+7}-\frac{1+2n^3}{2+5n^3}\right).$

1.239. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}n^{3/2}(\sqrt{n^3+1}-\sqrt {n^3-2}).$

1.240. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{2^n+3^n}{2^n-3^n}.$

1.244. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{n(n+1)}\right).$

 

В задачах 1.247, 1.249 установить, какие из заданных последовательностей являются бесконечно большими.

1.247. $x_n=2^{\sqrt n}.$

1.249. $x_n=n\sin\frac{\pi n}{2}.$

 

Найти все предельные точки последовательности:

1.251. $x_n=\frac{2+(-1)^n}{2-(-1)^n}.$

 

В задачах 1.256 и 1.258 для заданных последовательностей $(x_n)_{n\in N}$ найти $\inf(x_n),\,\, \sup(x_n),\,\, \varlimsup\limits_{n\rightarrow\infty}x_n, $ $\varliminf\limits_{n\rightarrow\infty}x_n, $

1.256. $x_n=\frac{n+1}{n}\cos^2\frac{\pi n}{4}.$

1.258. $x_n=\frac{n+2}{n-2}\sin\frac{\pi n}{3},\quad n\geq 2.$

 

 

 

 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить