Касательная плоскость и нормаль к явно заданной поверхности.

Касательной плоскостью к поверхности в ее точке $M_0$ (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Если уравнение поверхности имеет вид $$F(x,y,z)=0,$$ то уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ есть $$F_x'(x_0, y_0, z_0)(x-x_0)+F_y'(x_0, y_0, z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0, y_0, z_0)(z-z_0)=0.$$

Уравнение нормали $$\frac{x-x_0}{F_x'(x_0, y_0, z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y'(x_0, y_0, z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z'(x_0, y_0, z_0)}.$$

В случае задания поверхности в явной форме $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0),$$ а уравнение нормали $$\frac{x-x_0}{f_x'(x_0, y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y'(x_0, y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}.$$

Примеры:

7.229. а) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $z=\sin x\cos y$ в точке $(\pi/4, \pi/4, \pi/4).$

Решение.

Для поверхности $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0),$$ а уравнение нормали $$\frac{x-x_0}{f_x'(x_0, y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y'(x_0, y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}.$$

Находим частные производные:

$z'_x=(\sin x\cos y)'_x=\cos x\cos y;$

$z'_x(\pi/4, \pi/4)=\cos \frac{\pi}{4}\cos \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt 2}\cdot\frac{1}{\sqrt 2}=\frac{1}{2};$ 

$z'_y=(\sin x\cos y)'_y=-\sin x\sin y;$

$z'_y(\pi/4, \pi/4)=-\sin \frac{\pi}{4}\sin \frac{\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt 2}\cdot\frac{1}{\sqrt 2}=-\frac{1}{2};$

Таким образом, уравнение касательной плоскости: $$z-\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{4})-\frac{1}{2}(y-\frac{\pi}{4})\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}x -\frac{1}{2}y-z+\frac{\pi}{4}=0.$$ 

Уравнение нормали: $$\frac{x-\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{y-\frac{\pi}{4}}{-\frac{1}{2}}=\frac{z-\frac{\pi}{4}}{-1}.$$

Ответ: уравнение касательной плоскости: $\frac{1}{2}x -\frac{1}{2}y-z+\frac{\pi}{4}=0;$ уравнение нормали: $\frac{x-\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{y-\frac{\pi}{4}}{-\frac{1}{2}}=\frac{z-\frac{\pi}{4}}{-1}.$

7.232. Для поверхности $z=4x-xy+y^2$ найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости $4x+y+2z+9=0.$

Решение. 

Для поверхности $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0).$$ 

Находим частные производные: 

$z'_x=(4x-xy+y^2)'_x=4-y;$ 

$z'_y=(4x-xy+y^2)'_y=-x+2y;$ 

Отсюда находим уравнение касательной плоскости: $$z-z_0=(4-y_0)(x-x_0)+(-x_0+2y_0)(y-y_0)\Rightarrow$$ $$(4-y_0)(x-x_0)+(-x_0+2y_0)(y-y_0)-z+z_0=0.$$

Найдем точку поверхности $M(x_0, y_0, x_0)$ касательная плоскость к которой будет параллельна плоскости $4x+y+2z+9=0:$

$$\frac{4-y_0}{4}=\frac{-x_0+2y_0}{1}=\frac{-1}{2}\Rightarrow 4-y_0=-2\Rightarrow y_0=6;$$ $$-x_0+12=-\frac{1}{2}\Rightarrow x_0=\frac{25}{2};$$ $$z_0=4\cdot\frac{25}{2}-\frac{25}{2}\cdot 6+6^2=50-75+36=11.$$

Таким образом, уравнение касательной плоскости: $$z-11=(4-6)(x-\frac{25}{2})+(-\frac{25}{2}+2\cdot 6)(y-6)\Rightarrow$$ $$z-11=-2(x-\frac{25}{2})-\frac{1}{2}(y-6)\Rightarrow 2x+\frac{1}{2}y+z-11-25-3=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow4x+y+2z-78=0.$$ 

Ответ: $4x+y+2z-78=0.$

7.233. а) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $x(y+z)(xy-z)+8=0$ в точке $(2, 1, 3).$

Решение. 

Для поверхности $$F(x,y,z)=0,$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ есть $$F_x'(x_0, y_0, z_0)(x-x_0)+F_y'(x_0, y_0, z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0, y_0, z_0)(z-z_0)=0.$$ 

$F(x, y, z)=x(y+z)(xy-z)+8=x^2y^2-xyz+x^2yz-xz^2+8=0$

Находим частные производные: 

$F'_x=(x^2y^2-xyz+x^2yz-xz^2+8)'_x=2xy^2-yz+2xyz-z^2;$ 

$F'_x(2, 1, 3)=4-3+12-9=4;$ 

$F'_y=(x^2y^2-xyz+x^2yz-xz^2+8)'_y=2x^2y-xz+x^2z;$ 

$F'_y(2, 1, 3)=8-6+12=14;$ 

$F'_z=(x^2y^2-xyz+x^2yz-xz^2+8)'_z=-xy+x^2y-2xz;$ 

$F'_z(2, 1, 3)=-2+4-12=-10.$ 

Отсюда находим уравнение касательной плоскости: $$4(x-2)+14(y-1)-10(z-3)=0\Rightarrow 4x+14y-10z+8.$$ 

Ответ: $2x+7y-5z+4=0.$

Домашнее задание.

7.229. б) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $z=e^{x\cos y}$ в точке $(1, \pi/ 1/e).$ 

7.230. Найти расстояние от начала координат до касательной плоскости к поверхности $z=y tg\frac{x}{a}$ в точке $\left(\frac{\pi a}{a, a, a}\right).$

7.233. б) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $2^{x/z}+2^{y/z}=8$ в точке $(2, 2, 1).$

7.234. Для поверхности $x^2-z^2-2x+6y=4$ найти уравнение нормали, параллельной прямой $\frac{x+2}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{4}.$