Рейтинг:   / 20
ПлохоОтлично 

Направление выпуклости. Точки перегиба.

График дифференцируемой функции $y=f(x)$ называется выпуклым вниз (или вогнутым вверх) на интервале $(a, b)$ если дуга кривой на этом промежутке расположена выше касательной, проведенной к графику функции $y=f(x)$ в любой точке $x\in (a, b).$

Если же на интервале $(a, b)$ всякая касательная распологается выше дуги кривой, то график дифференцируемой функции на этом интервале называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз) (на рис. 1 график функции $y=f(x)$ является выпуклым вниз на интервале $(a, x_0)$ и выпуклым вверх на интервале $(x_0, b)$).

Если функция дважды дифференцируема на $(a, b)$ и $f''(x)>0$ ($f''(x)<0$), то ее график является выпуклым вниз (вверх) на этом интервале.

В простейших случаях область определния функции $f(x)$ можно разбить на конечное число интервалов с постоянным направлением выпуклости. Каждый из этих интервалов ограничен точками в которых $f''(x)=0$ либо $f''(x)$ не существует. Точка $(x_0, f(x_0)),$ в которой направление выпуклости графика функции меняется на противоположное, называется точкой перегиба (см. рис. 1).

Достаточное условие точки перегиба.

Пусть функция $f(x)$ дважды дифференцируема в некоторой окрестности $U_0(x_0)$ точки $x_0$ в которой $f''(x_0)=0$ или $f''(x_0)$ не существует. Если при этом в интервалах $(x_0-\delta, x_0)$ и $(x_0, x_0+\delta)$ производная $f''(x)$ имеет противоположные знаки, то $x_0 -$ точка перегиба.

Примеры:

Найти интервалы выпуклости графика функции точки перегиба и угловые коэффициенты касательных в точках перегиба:

5.440. $y=x^7+7x+1.$

Решение.

Чтобы найти интервалы выпуклости функции, найдем ее вторую производную и исследуем на знакопостоянство:

$$y''=(x^7+7x+1)''=(7x^6+7)'=42x^5.$$

$y''=0\Rightarrow x=0;$

$y''>0\Rightarrow  x>0;$

$y''<0\Rightarrow x<0.$

Таким образом, При $x\in(0, +\infty)$ функция $y(x)$ выпукла вниз, при $x\in(-\infty, 0)$ функция $y(x)$ выпукла вверх, а точка c координатой $x=0$ является точкой перегиба.

$y(0)=1.$ Следовательно, точка перегиба $(0, 1).$

Найдем угловой касательной в точке перегиба:

$k=y'(0)=7.$

Ответ: При $x\in(0, +\infty)$ функция $y(x)$ выпукла вниз, при $x\in(-\infty, 0)$ функция $y(x)$ выпукла вверх, $(0, 1) -$ точка перегиба; $k=y'(0)=7.$

 

5.444.$y=\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{(x-1)^2}.$

Решение.

Найдем вторую производную функции $y(x)$ и исследуем на знакопостоянство:

$$y''=(\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{(x-1)^2})''=\left(\frac{2}{3}(x+1)^{-\frac{1}{3}}+\frac{2}{3}(x-1)^{-\frac{1}{3}}\right)'=$$ $$=-\frac{2}{9}(x+1)^{-\frac{4}{3}}-\frac{2}{9}(x-1)^{-\frac{4}{3}}=-\frac{2}{9}\left((x+1)^{-4/3}+(x-1)^{-4/3}\right).$$

$y''<0$ на всей области определения. Следовательно график всюду выпуклый вверх.

Ответ: График всюду выпуклый вверх.

 

5.447. $y=x^3\ln x+1.$

Решение.

Найдем вторую производную функции $y(x)$ и исследуем на знакопостоянство:

$$y''=(3x^2\ln x+x^2)'=6x\ln x+3x+2x=6x\ln x+5x=x(6\ln x+5).$$

$y''=0\Rightarrow x_1=0;\,\, x_2=e^{-5/6}$

$y''>0\Rightarrow  x>e^{-5/6};$

$y''<0\Rightarrow x\in(0, e^{-5/6}).$

Таким образом, При $x\in(e^{-5/6}, +\infty)$ функция $y(x)$ выпукла вниз, при $x\in(0, e^{-5/6})$ функция $y(x)$ выпукла вверх, а точка c координатой $x=e^{-5/6}$ является точкой перегиба.

$y(e^{-5/6})=e^{-15/6}\ln e^{-5/6}+1=-\frac{5}{6}e^{-5/2}+1.$ Следовательно, точка перегиба $\left(e^{-5/6}, -\frac{5}{6}e^{-15/6}+1\right).$

Найдем угловой касательной в точке перегиба:

$k=y'(e^{-5/6})=3e^{-10/6}\ln e^{-5/6}+e^{-10/6}=-\frac{15}{6}3e^{-5/3}+e^{-5/3}=-1,5e^{-5/3}.$

Ответ: При $x\in(e^{-5/6}, +\infty)$ функция $y(x)$ выпукла вниз, при $x\in(0, e^{-5/6})$  функция $y(x)$ выпукла вверх, $\left(e^{-5/6}, 1-\frac{5}{6}e^{-15/6}\right) -$  точка перегиба; $k=y'(0)=-1,5e^{-5/3}.$

 

 

 Далее смотрите Полное исследование функции с помощью методов дифференциального исчисления и построение графиков. Примеры.

 

 

 

 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить