Рейтинг:   / 5
ПлохоОтлично 

Геометрический смысл производной.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Значение производной $f'(x_0)$ функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту $k=tg\varphi$ касательной $TT'$ к графику этой функции, проведенной через точку $M_0(x_0, y_0),$ где $y_0=f(x_0)$ (геометрический смысл производной).

Прямая $NN',$ проходящая через точку касания $M_0$ перпендикулярно к касательной, называется нормалью к графику функции $y=f(x)$ в этой точке. Уравнение нормали $$(x-x_0)+f'(x_0)(y-y_0)=0.$$Уравнение касательной $TT'$ к графику функции $y=f(x)$ в его точке $M_0(x_0, y_0)$ имеет вид $$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$$

Углом $\omega$ между кривыми $y=f_1(x)$ и $y=f_2(x)$ в их общей точке $M_0(x_0, y_0)$ называется угол между касательными к этим кривым в точке $M_0.$ Его можно вычислить по формуле $$tg\,\omega=\frac{f_2'(x_0)-f'_1(x_0)}{1+f'_1(x_0)f'_2(x_0)}.$$

Примеры.

Написать уравнения касательной и нормали к графику функции $y=f(x)$ в данной точке, если:

5.235. $y=x^2-5x+4,$ $x_0=-1.$

Решение.

Уравнение касательной будем искать по формуле $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0);$ уравнение нормали - по формуле $(x-x_0)+f'(x_0)(y-y_0)=0.$

 По условию, $x_0=-1.$

$y_0=y(x_0)=(-1)^2-5\cdot(-1)+4=1+5+4=10.$

$y'(x)=2x-5\Rightarrow y'(x_0)=y'(-1)=2\cdot (-1)-5=-2-5=-7.$

Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:

$y-10=-7(x+1)\Rightarrow 7x+y-3=0.$

Теперь находим уравнение нормали:

$(x+1)-7(y-10)=0\Rightarrow x-7y+71=0.$

Ответ: Уравнение касательной: $7x+y-3=0;$  уравнение нормали: $ x-7y+71=0.$

 

5.237. $y=\sqrt x,$ $x_0=4.$

Решение.

Уравнение касательной будем искать по формуле $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0);$ уравнение нормали - по формуле $(x-x_0)+f'(x_0)(y-y_0)=0.$

 По условию, $x_0=4.$

$y_0=y(x_0)=\sqrt 4=2.$

$y'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt x}\Rightarrow y'(x_0)=y'(4)=\frac{1}{2\sqrt 4}=\frac{1}{4}.$

Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:

$y-2=\frac{1}{4}(x-4)\Rightarrow 4(y-2)=x-4\Rightarrow 4y-8=x-4\Rightarrow x-4y+4=0.$

Теперь находим уравнение нормали:

$(x-4)+\frac{1}{4}(y-2)=0\Rightarrow 4(x-4)+(y-2)=0\Rightarrow 4x+y-18=0.$

Ответ: Уравнение касательной: $x-4y+4=0;$  уравнение нормали: $4x+y-18=0.$

 

5.241. Написать уравнения касательной и нормали в точке $M_0(2, 2)$ к кривой $x=\frac{1+t}{t^3},$ $y=\frac{3}{2t^2}+\frac{1}{2t},\,\, t\neq 0.$

Решение.

Найдем значение $t_0,$ подставляя координаты точки $M_0$ в уравнение кривой: $2=\frac{1+t}{t^3},$ $2=\frac{3}{2t^2}+\frac{1}{2t}.$

 $\left\{\begin{array}{rcl} 2=\frac{1+t}{t^3},\\ 2=\frac{3}{2t^2}+\frac{1}{2t},\end{array}\right.\Rightarrow$ $2=\frac{1+t}{t^3}=\frac{3}{2t^2}+\frac{1}{2t}$

Решим уравнение  

$\frac{1+t}{t^3}=\frac{3}{2t^2}+\frac{1}{2t}$

$2(1+t)=3t+t^2\Rightarrow$

$t^2+t-2=0\Rightarrow t_1=1, t_2=-2.$

Подставим полученные решения в равенство $\frac{1+t}{t^3}=\frac{3}{2t^2}+\frac{1}{2t}:$

$t_1=1: \frac{1+1}{1}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$

$t_2=-2: \frac{1-2}{-8}=\frac{3}{8}-\frac{1}{4}=\frac{1}{8}\neq 2$ -- не удовлетворяет нашей системе.

Найдем производную функции, заданной параметрически $y'_x.$

$y'_t=\left(\frac{3}{2}t^{-2}+\frac{1}{2}t^{-1}\right)'=\frac{3}{2}\cdot (-2)t^{-3}+\frac{1}{2}\cdot (-1)t^{-2}=-3t^{-3}-\frac{1}{2}t^{-2}$ 

$y'_t|_{t=1}=-3-1/2=-3,5;$

$x'_t=\left(\frac{1+t}{t^3}\right)'=\frac{(1+t)'t^3-(1+t)(t^3)'}{t^6}=\frac{t^3-(1+t)3t^2}{t^6}=\frac{t^3-3t^2-3t^3}{t^6}=\frac{-3t^2-2t^3}{t^6}.$ 

$x'_t|_{t=1}=-3-2=-5;$

$y'_x=\frac{y'_t}{x_t}.$

$y'_x|_{t=1}=\frac{-3,5}{-5}=\frac{7}{10}.$

 

Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:

$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\Rightarrow$ $y-2=\frac{7}{10}(x-2)\Rightarrow 10(y-2)=7(x-2)\Rightarrow 10y-20=7x-14\Rightarrow$ $7x-10y+6=0.$

Теперь находим уравнение нормали:

$(x-x_0)+f'(x_0)(y-y_0)=0\Rightarrow$ $(x-2)+\frac{7}{10}(y-2)=0\Rightarrow 10(x-2)+7(y-2)=0\Rightarrow 10x+7y-34=0.$

Ответ: Уравнение касательной: $7x-10y+6=0;$ уравнение нормали: $10x+7y-34=0.$

 

Найти углы, под которыми пересекаются заданные кривые:

5.254. $y=x^2$ и $y=x^3.$

Решение.

Угол между кривыми находим по формуле $$tg\,\omega=\frac{f_2'(x_0)-f'_1(x_0)}{1+f'_1(x_0)f'_2(x_0)}.$$

Найдем координаты точки пересечения заданных кривых. Решаем систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{rcl} y=x^2,\\ y=x^3,\end{array}\right.\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{rcl} y=x^2,\\ x^2=x^3,\end{array}\right.\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{rcl} y=x^2,\\ x_1=0\\x_2=1,\end{array}\right.$ Таким образом, кривые пересекаются в точках $M_1(0, 0)$ и $M_2(1, 1).$

Далее найдем значения производных заданых функций в точках пересечения.

$f_1(x)=x^2\Rightarrow f_1'(x)=2x$

$f_2(x)=x^3\Rightarrow f_2'(x)=3x^2$

$f_1'(0)=0;$

$f_2'(0)=0;$

 

$f_1'(1)=2;$

$f_2'(1)=3.$

Подставляем найденные значения, в формулу нахождения угла:

 $$tg\,\omega_1=\frac{f_2'(0)-f'_1(0)}{1+f'_1(0)f'_2(0)}=\frac{0-0}{1+0}=0.$$  

Следовательно, $\omega_1=0.$

 $$tg\,\omega_2=\frac{f_2'(1)-f'_1(1)}{1+f'_1(1)f'_2(1)}=\frac{3-2}{1+2\cdot 3}=\frac{1}{7}.$$

Следовательно, $\omega_2=arctg\frac{1}{7}.$

Ответ: В точке $M_1(0, 0)$ угол равен 0. (т.е. касательные совпадают), в точке $M_2(1, 1)$ угол равен $arctg\frac{1}{7}.$ 

 

Домашнее задание.

Написать уравнения касательной и нормали к графику функции $y=f(x)$ в данной точке, если:

5.236. $y=x^3+2x^2-4x-3,$ $x_0=-2.$

Ответ: Уравнение касательной: $y-5=0;$  уравнение нормали: $x+2=0.$

 

5.238. $y=tg 2x,\,\,\, x_0=0.$

Ответ: Уравнение касательной: $y-2x=0;$  уравнение нормали: $2y+x=0.$

 

5.239. $y=\ln x,\,\,\, x_0=1.$

Ответ: Уравнение касательной: $x-y-1=0;$  уравнение нормали: $x+y-1=0.$

 

5.242. Написать уравнения касательных к кривой  $$x=t\cos t, \,\,\, y=t\sin t,\,\,\, t\in(-\infty,\,\, +\infty),$$ в начале координат и в точке $t=\pi/4.$

Ответ: $y=0,$   $(\pi+4)x+(\pi-4)y-\pi^2\frac{\sqrt 2}{4}=0$

 

5.244. Написать уравнения касательной к кривой $$x^5+y^5-2xy=0 в точке $M_0(1, 1).$

Ответ: $ x+y-2=0.$

 

Найти углы,под которыми пересекаются заданные кривые:

5.255. $y=(x-2)^2$ и $y=4x-x^2+4.$

Ответ: $arctg\frac{8}{15}.$

 

5.256. $y=\sin x$ и $y=\cos x,\,\, x\in[0, 2\pi].$

Ответ: $arctg2\sqrt 2.$

 

5.260. Найти расстояние от начала координат до нормали к линии $y=e^{2x}+x^2,$ проведенной в точке с абсциссой $x=0.$

Ответ: $\frac{2}{\sqrt 5}.$

 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить