Дифференциал функции. Дифференциалы первого порядка.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Определение. Функция $y=f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x_0,$ если ее приращение $\Delta y(x_0, \Delta x)$ может быть представлено в виде $$\Delta y(x_0, \Delta x)=A\Delta x+o(\Delta x).$$

Главная линейная часть $A\Delta x$ приращения $\Delta y$ называется дифференциалом этой функции в точке $x_0,$ соответствующим приращению $\Delta x,$ и обозначается символом $dy(x_0, \Delta x).$

Для того, чтобы функция $y=f(x)$ была дифференцируема в точке $x_0,$ необходимо и достаточно, чтобы существовала производная $f'(x_0),$ при этом справедливо равенство $A=f'(x_0).$

Выражение для дифференциала имеет вид $$dy(x_0, dx)=f'(x_0)dx,$$ где $dx=\Delta x.$

Свойства дифференциала:

1. $d(C)=0,$ где $C -$ постоянная;

2. $d(C_1u+C_2v)=C_1du+C_2dv;$

3. $d(uv)=udv+vdu;$

4. $d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{vdu-udv}{v^2};$

5. Пусть $z(x)=z(y(x)) -$ сложная функция, образованная компазицией функций $y=y(x)$ и $z=z(y).$ Тогда

$$dz(x, dx)=z'(y)dy(x, dx), $$ то есть выражение для дифференциала сложной функции через дифференциал промежуточного аргумента имеет такую же форму, что и основное определение $dz(x, dx)=z'(x)dx.$ Это утверждение называется инвариантностью формы 1-го дифференциала.

Примеры.

Найти дифференциалы указанных функций при произвольных значениях аргумента $x$ и при произвольном его приращении $\Delta x=dx:$

5.285. $x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin\frac{x}{a}-5.$

Решение.

Пусть $y(x)=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin\frac{x}{a}-5.$ Тогда $dy=y'(x)dx.$

Найдем $y'(x):$

$y'(x)=(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin\frac{x}{a}-5)'=$ $=x'\sqrt{a^2-x^2}+x(\sqrt{a^2-x^2})'+a^2(\arcsin\frac{x}{a})'=$ $=\sqrt{a^2-x^2}+\frac{x}{2\sqrt{a^2-x^2}}(a^2-x^2)'+\frac{a^2}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}}\left(\frac{x}{a}\right)'=$ $=\sqrt{a^2-x^2}+\frac{x(-2x)}{2\sqrt{a^2-x^2}}+\frac{a^2}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}}\left(\frac{1}{a}\right)=$ $=\sqrt{a^2-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}+\frac{a^2}{\frac{1}{a}\sqrt{a^2-x^2}}\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{a^2-x^2-x^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}=2\sqrt{a^2-x^2}.$

Таким образом, $dy=2\sqrt{a^2-x^2}dx.$

Ответ: $dy=2\sqrt{a^2-x^2}dx.$

  {jumi[*4]}

 5.286. $\sin x-x\cos x+4.$

Решение.

Пусть $y(x)=\sin x-x\cos x+4.$

Тогда $dy=y'(x)dx.$

Найдем $y'(x):$

$y'(x)=(\sin x-x\cos x+4)'=\cos x-x'\cos x-x(\cos x)'+4'=$ $=\cos x-\cos x+x\sin x=x\sin x.$

Таким образом, $dy=x\sin xdx.$

Ответ: $dy=x\sin xdx.$

Найти дифференциалы следующих неявно заданных функций $y=y(x):$

5.290. $y^5+y-x^2=1.$

Решение.

Перепишем заданное равенство в виде тождества 

$y^5(x)+y(x)-x^2=1$

и вычислим дифференциалы левой и правой части. Используя свойства дифференциала, находим:

$d(y^5+y-x^2)=d(y^5)+dy-d(x^2)=5y^4dy+dy-2xdx=$ $=-2xdx+(5y^4+1)dy;$

$d(1)=0.$

Приравнивая полученные выражения, получаем $-2xdx+(5y^4+1)dy=0.$ Из этого уравнения выражаем $dy$ через $x, y$ и $dx:$

$dy=\frac{2x}{5y^4+1}dx.$

Ответ: $dy=\frac{2x}{5y^4+1}dx.$

5.293. $e^y=x+y.$

Решение.

Перепишем заданное равенство в виде тождества 

$e^y(x)=x+y(x).$

и вычислим дифференциалы левой и правой части. Используя свойства дифференциала, находим:

$d(e^y)=e^ydy;$

$d(x+y)=dx+dy.$

Приравнивая полученные выражения, получаем $e^ydy=dx+dy.$ Из этого уравнения выражаем $dy$ через $x, y$ и $dx:$

$(e^y-1)dy=dx\Rightarrow dy=\frac{1}{e^y-1}dx$

Ответ: $ dy=\frac{1}{e^y-1}dx$

5. 297. $\cos (xy)=x.$

Решение.

Перепишем заданное равенство в виде тождества 

$\cos (xy(x))=x.$

и вычислим дифференциалы левой и правой части. Используя свойства дифференциала, находим:

$d(\cos (xy))=-\sin (xy)d(xy)=-\sin (xy)(ydx+xdy)=-y\sin (xy)dx-x\sin (xy)dy;$

$d(x)=dx.$

Приравнивая полученные выражения, получаем $-y\sin (xy)dx-x\sin (xy)dy=dx.$ Из этого уравнения выражаем $dy$ через $x, y$ и $dx:$

$x\sin (xy)dy=-(1+y\sin (xy))dx\Rightarrow dy=-\frac{1+y\sin (xy)}{x\sin (xy)}dx$

Ответ: $dy=-\frac{1+y\sin (xy)}{x\sin (xy)}dx$

Домашнее задание.

Найти дифференциалы указанных функций при произвольных значениях аргумента $x$ и при произвольном его приращении $\Delta x=dx:$

5.287. $x arctg x-\ln\sqrt{1+x^2}.$

Ответ: $arctg xdx.$

5.288. $x\ln x-x+1.$

Ответ: $ln xdx.$

Найти дифференциалы следующих неявно заданных функций $y=y(x):$

5.291. $x^4+y^4=x^2y^2.$

Ответ: $\frac{x(y^2-2x^2)}{y(2y^2-x^2)}dx.$

5.294. $y=x+arctg y.$

Ответ: $\frac{y^2-1}{y^2}dx.$

5.295. $y=\cos (x+y).$

Ответ: $\frac{\sin(x+y)}{1+\sin(x+y)}dx.$

5.296. $arctg\frac{y}{x}=\ln\sqrt{x^2+y^2}.$

Ответ: $\frac{x+y}{x-y}dx.$