Рейтинг:   / 6
ПлохоОтлично 

Логическая символика. Необходимые и достаточные условия. 

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Пусть $\alpha, \beta, ... -$ некоторые высказывания, или утверждения, то есть повествовательные предложения, про каждое из которых можно сказать истино оно или ложно. 

Запись $\overline{\alpha}$ означает "не $\alpha$", то есть отрицание утверждения $\alpha.$

Запись ${\alpha}\Rightarrow\beta$ означает "из утверждения $\alpha$ следует утверждение $\beta$". ($\Rightarrow -$  символ импликации).

Запись ${\alpha}\Leftrightarrow\beta$ означает "Утверждение $\alpha$ эквивалентно утверждению $\beta$", то есть из $\alpha$ следует $\beta,$ а из  $\beta$ следует $\alpha $ ("$\Leftrightarrow-$ " символ эквивалентности).

Запись ${\alpha}\wedge\beta$ означает "$\alpha$ и $\beta$" ($\wedge -$ символ коньюнкции).

Запись ${\alpha}\vee\beta$ означает "$\alpha$ или $\beta$" ($\vee -$ символ дизьюнкции).

Запись $\forall x\in X\,\,\,\alpha$ означает "для  любого элемента $x\in X$ справедливо утверждение $\alpha$" ($\forall -$ квантор всеобщности).

Запись $\exists x\in X\,\,\,\alpha$ означает "существует элемент $x\in X$ для которого справедливо утверждение $\alpha$" ($\exists -$ квантор существования).

Запись $\exists ! x\in X\,\,\,\alpha$ означает "существует единственный элемент $x\in X$ для которого справедливо утверждение $\alpha.$" 

Примеры. 

Прочитать приведенные ниже высказывания, выяснить их смысл и установить истинны они или ложны (символами  $x,\, y,\, z,\, a,\, b,\, c$ обозначены действительные числа).

1.83. a) $\forall x\,\exists y\, (x+y=3).$

Решение.

Запись $\forall x\,\exists y\, (x+y=3)$ означает, что для любого элемента $x$ существует такой элемент $y,$ для которого выполняется равенство $x+y=3.$

Это утверждение истинно. Действительно, для любого элемента $x$ существует такой элемент $y$ и он равен $3-x.$ 

Ответ: высказывание истинно.

 

1.87. $\forall x(x^2>x\Leftrightarrow x>1\vee x<0).$

Решение.

Запись $\forall x(x^2>x\Leftrightarrow x>1\vee x<0)$ означает, что для любого элемента $x$ утверждение $x^2>x$ верно в том и только том случае, когда выполняется либо условие $x>1,$ либо условие $x<0.$ Проверим истинность этого высказывания.

Если в неравенстве $x^2>x\,\,$ $x=0,$ то выполняется неравенство $0>0,$ что неверно. Следовательно, $x\neq 0.$

Разделим  обе части неравенства $x^2>x$ на $x.$ Тогда $x>1$ если $x>0$ и $x<1$ если $x<0.$ Возьмем пересечения полученных множеств $(x>1)\cap (x>0)$ и $(x<1)\cap (x<0).$

Получаем, что либо $x>1,$ либо $x<0.$ Что и требовалось доказать.

Ответ: высказывание истинно.

 

1.88. $\forall x (x>2\wedge x>3\Leftrightarrow 2<x\leq 3).$

Решение.

Запись $\forall x (x>2\wedge x>3\Leftrightarrow 2<x\leq 3)$ означает, что для любого элемента $x$ утверждение "$x>2$ и $x>3$" верно в том и только том случае, когда выполняется условие $2<x\leq 3.$ Проверим истинность этого высказывания.

Множество элементов $x$ для которых одновременно выполняются условия $x>2$ и $x>3$ это пересечение множеств $(2,\, \infty)\cap(3,\, \infty)=(3, \,\infty). $ А условие $2<x\leq 3$ соответствует выражению $x\in(2, \,3].$ Очевидно, что полученные множества не совпадают. То есть выражение $\forall x (x>2\wedge x>3\Leftrightarrow 2<x\leq 3)$ ложно.

Ответ: высказывание ложно.

 

Установить точный смысл приведенных ниже высказываний и записать их с использованием логической символики, сформулировать и записать их отрицания.

1.92.(а). Число $x_0$ есть решение уравнения $f(x)=0.$

Решение.

Утверждение "Число $x_0$ есть решение уравнения $f(x)=0$"  озанчает, что в точке $x_0$ функция $f(x)$ принимает значение $0.$ С помощью логической символики это можно записать как $f(x_0)=0.$

Отрицание: в точке $x_0$ функция $f(x)$ не принимает значение $0$ или $f(x_0)\neq 0.$

Ответ: $f(x_0)=0,$ $f(x_0)\neq 0.$

 

1.93.(б). Число $m$ есть наименьший элемент множества $X.$

Решение.

Данное высказывание означает, что число $m$ приндлежит множеству $X$ и все другие элементы множества $X$ больше либо равны $m.$ Запишем это с помощью логической символики: $(m\in X)\wedge(\forall x\in X  (m\leq x)).$

Отрицание: число $m$ не приндлежит множеству $X$ либо существует элемент множества $X$ который меньше чем $m.$ Запишем это с помощью логической символики:

$(m\notin X)\vee (\exists x\in X   (x<m)).$

Ответ: $(m\in X)\wedge(\forall x\in X  (m\leq x)),$ $(m\notin X)\vee (\exists x\in X   (x<m)).$

 

1.94.(а). Число $m\in Z$ является делителем числа $n\in Z$ или в краткой записи $m|n.$

Решение.

Данное высказывание означает, что существует такое целое число $k,$ что $km=n.$ Запишем это с помощью логической символики:

$\exists k\in Z  (km=n).$

Отрицание: для любого целого числа $k,$ что $km\neq n.$ Или $\forall k\in Z  (km\neq n).$

Ответ: $\exists k\in Z  (km=n),$ $\forall k\in Z  (km\neq n).$

 

Домашнее задание: 

Прочитать приведенные ниже высказывания, выяснить их смысл и установить истинны они или ложны (символами  $x,\, y,\, z,\, a,\, b,\, c$ обозначены действительные числа).

1.83. б) $\exists y\,\forall x\,\, (x+y=3).$

Ответ: высказывание ложно.

 

в) $\exists x,\, y\,\, (x+y=3).$

Ответ: высказывание истинно.

 

г) $\forall x\, y\, (x+y=3).$

Ответ: высказывание ложно.

 

1.84. $\exists x,\, y\,\,(x>y>0\,\wedge\, x+y=0).$

Ответ: высказывание ложно.

 

1.85.$\forall x, y\,\, (x<y)\,\Leftrightarrow\,\exists \,z\, (x<z<y).$

Ответ: высказывание истинно.

 

1.86.$\forall x, y\,\, (x^2\neq 2y^2).$

Ответ: высказывание ложно.

 

1.89.$\exists x\,\, (\sqrt {x^2}<x).$

Ответ: высказывание ложно.

Установить точный смысл приведенных ниже высказываний и записать их с использованием логической символики, сформулировать и записать их отрицания.

 

1.92.

б) Число $x_0$ есть единственное решение уравнения $f(x)=0.$

Ответ$f(x_0)=0\wedge\forall x (x\neq x_0\Rightarrow f(x_0)\neq 0);$ $f(x_0)\neq 0\vee (f(x_0)=0\wedge\exists x (x\neq x_0\,\wedge f(x)=0)).$

 

в) Уравнение $f(x)=0$ имеет единственное действительное решение.

Ответ$\exists x_0(f(x_0)=0)\wedge\forall x (x\neq x_0\Rightarrow f(x)\neq 0);$ $\forall x (f(x)\neq 0)\vee (\exists x_1, x_2(x_1\neq x_2\wedge f(x_1)=f(x_2)=0)).$

 

1.93.

а)Множество $X\subset R$ ограничено сверху.

Ответ: $\exists M \forall x\in X (x\leq M),$ $\forall M \exists x\in X (x>M).$

 

в)Множество $X$ имеет наименьший элемент.

Ответ: $(\exists m\in X)\wedge(\forall x\in X  (m\leq x)),$ $\forall x'\in X\, \exists x\in X \,\,(x<x').$

 

1.94.

б) Если число $n\in Z$ делится на $ 2$ и на $3,$ то оно делится на $6.$

Ответ$(2\mid n\vee 3\mid n)\Rightarrow 6\mid n; $ $(2\mid n\vee 3\mid n)\Rightarrow 6\nmid n. $

 

в) Число $p\in N $ простое.

Ответ$\forall n\in N (n\mid p\Rightarrow (n=1\vee n=p));$ $\exists n\in N (n\mid p\wedge (n\neq 1\vee n\neq p)).$