Рейтинг:   / 29
ПлохоОтлично 

Метод Жордана-Гаусса для решения систем линейных уравнений.

С помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов, расширенная матрица системы (1) может быть приведена к виду 

$A=\begin{pmatrix}1&0&...&0&a_{1r+1}'&...&a_{1n}'\\0&1&...&0&a_{2,r+1}'&...&a_{2n}'\\...&...&...&...&...&...&...\\0&0&...&1&a_{r,r+1}'&...&a_{rn}'\\0&0&0&0&0&0&0\\...&...&...&...&...&...&...\\0&0&...&0&0&...&0\end{pmatrix};\qquad(4).$

Матрица (4) является расширенной матрицей системы 

$$\left\{\begin{array}{lcl}x_1\qquad\qquad\quad+a_{1,r+1}'x_{r+1}+...+a_{1n}'x_n=b_1'\\ \qquad x_2\qquad\quad+a_{2,r+1}'x_{r+1}+...+a_{2n}'x_n=b_2'\\\qquad\qquad..........................\\ \qquad\qquad\quad x_r+a_{r,r+1}'x_{r+1}+...+a_{rn}'x_n=b_r'\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0=b_{r+1}'\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad0=b_{r+2}'\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad........\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0=b_m'\end{array}\right.\qquad (5)$$ которая эквивалентна исходной системе.

Если хотя бы одно из чисел $b'_{r+1},...,b'_m$ отлично от нуля, то системы (5) и, следовательно, и исходная система (1) несовместны. Если же  $b'_{r+1}=...=b'_m=0,$ то система совместна и формулы (5) дают явное выражение для базисных неизвестных через свободные неизвестные $x_{r+1},...,x_n.$

Примеры: 

Методом Жордана-Гаусса исследовать совместность и найти общее решение следующих систем:

3.240. 

$$\left\{\begin{array}{lcl}x_1+2x_2+3x_3+4x_4=0\\7x_1+14x_2+20x_3+27x_4=0\\ 5x_1+10x_2+16x_3+19x_4=-2\\3x_1+5x_2+6x_3+13x_4=5\end{array}\right.$$

Решение.

Запишем расширенную матрицу: 

$\begin{pmatrix}1&2&3&4&|&0\\7&14&20&27&|&0\\5&10&16&19&|&-2\\3&5&6&13&|&5\end{pmatrix}.$

Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы получаем:

$\begin{pmatrix}1&2&3&4&|&0\\7&14&20&27&|&0\\5&10&16&19&|&-2\\3&5&6&13&|&5\end{pmatrix}\sim (I\times3)$ $\begin{pmatrix}3&6&9&12&|&0\\7&14&20&27&|&0\\5&10&16&19&|&-2\\3&5&6&13&|&5\end{pmatrix}\sim (IV-I)$ $\begin{pmatrix}3&6&9&12&|&0\\7&14&20&27&|&0\\5&10&16&19&|&-2\\0&-1&-3&1&|&5\end{pmatrix}\sim(I\times\frac{5}{3})$ $\begin{pmatrix}5&10&15&20&|&0\\7&14&20&27&|&0\\5&10&16&19&|&-2\\0&-1&-3&1&|&5\end{pmatrix}\sim(III-I;I:5)$ $\begin{pmatrix}1&2&3&4&|&0\\7&14&20&27&|&0\\0&0&1&-1&|&-2\\0&-1&-3&1&|&5\end{pmatrix}\sim(I\times 7)$ $\begin{pmatrix}7&14&21&28&|&0\\7&14&20&27&|&0\\0&0&1&-1&|&-2\\0&-1&-3&1&|&5\end{pmatrix}\sim(II-I;I: 7)$ $\begin{pmatrix}1&2&3&4&|&0\\0&0&-1&-1&|&0\\0&0&1&-1&|&-2\\0&-1&-3&1&|&5\end{pmatrix}\sim(III+II;II: -1)$ $\begin{pmatrix}1&2&3&4&|&0\\0&0&1&1&|&0\\0&0&0&-2&|&-2\\0&-1&-3&1&|&5\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}1&2&3&4&|&0\\0&-1&-3&1&|&5\\0&0&1&1&|&0\\0&0&0&-2&|&-2\end{pmatrix}\sim(I+II\times 2)$ $\begin{pmatrix}1&0&-3&6&|&10\\0&-1&-3&1&|&5\\0&0&1&1&|&0\\0&0&0&-2&|&-2\end{pmatrix}\sim(I+III\times 3;II+III\times 3;IV:-2)$ $\begin{pmatrix}1&0&0&9&|&10\\0&-1&0&4&|&5\\0&0&1&1&|&0\\0&0&0&1&|&1\end{pmatrix}\sim(I-IV\times 9;II-IV\times 4;III-IV)$ $\begin{pmatrix}1&0&0&0&|&1\\0&-1&0&0&|&1\\0&0&1&0&|&-1\\0&0&0&1&|&1\end{pmatrix}\sim(II:-1)$ $\begin{pmatrix}1&0&0&0&|&1\\0&1&0&0&|&-1\\0&0&1&0&|&-1\\0&0&0&1&|&1\end{pmatrix}.$

Отсюда сразу получаем ответ

Ответ: $x_1=1; x_2=-1; x_3=-1;x_4=1.$

3.241.

$$\left\{\begin{array}{lcl}x_1+x_2=1\\ x_1+x_2+x_3=4\\x_2+x_3+x_4=-3\\x_3+x_4+x_5=2\\x_4+x_5=-1\end{array}\right.$$

Решение.

Запишем расширенную матрицу: 

$\begin{pmatrix}1&1&0&0&0&|&1\\1&1&1&0&0&|&4\\0&1&1&1&0&|&-3\\0&0&1&1&1&|&2\\0&0&0&1&1&|&-1\end{pmatrix}.$

Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы получаем:

$\begin{pmatrix}1&1&0&0&0&|&1\\1&1&1&0&0&|&4\\0&1&1&1&0&|&-3\\0&0&1&1&1&|&2\\0&0&0&1&1&|&-1\end{pmatrix}\sim(II-I)$ $\begin{pmatrix}1&1&0&0&0&|&1\\0&0&1&0&0&|&3\\0&1&1&1&0&|&-3\\0&0&1&1&1&|&2\\0&0&0&1&1&|&-1\end{pmatrix}\sim(IV-II-V)$ $\begin{pmatrix}1&1&0&0&0&|&1\\0&0&1&0&0&|&3\\0&1&1&1&0&|&-3\\0&0&0&0&0&|&0\\0&0&0&1&1&|&-1\end{pmatrix}\sim$$\begin{pmatrix}1&1&0&0&0&|&1\\0&1&1&1&0&|&-3\\0&0&1&0&0&|&3\\0&0&0&1&1&|&-1\\0&0&0&0&0&|&0\end{pmatrix}\sim(I-II+III; II-III-IV)$ $\begin{pmatrix}1&0&0&-1&0&|&7\\0&1&0&0&-1&|&-5\\0&0&1&0&0&|&3\\0&0&0&1&1&|&-1\\0&0&0&0&0&|&0\end{pmatrix}\sim(I+IV)$ $\begin{pmatrix}1&0&0&0&1&|&6\\0&1&0&0&-1&|&-5\\0&0&1&0&0&|&3\\0&0&0&1&1&|&-1\\0&0&0&0&0&|&0\end{pmatrix}.$  Полагая $x_1, x_2, x_3, x_4 -$ базисными неизвестными, а $x_5 -$ свободной, получаем

$x_5=c;$

$x_4+x_5=-1 \Rightarrow x_4=-1-x_5=-1-c;$

$x_3=3$

$x_2-x_5=-5\Rightarrow x_2=-5+x_5=-5+c.$

$x_1+x_5=6\Rightarrow x_1=6-x_5=6-c.$

Ответ: $x_1=6-c; x_2=-5+c; x_3=3; x_4=1-c; x_5=c.$

   

Домашнее задание.

1. Методом Гаусса и Жордана-Гаусса исследовать совместность и найти общее решение следующей системы: $$\left\{\begin{array}{lcl}x_1-2x_2+3x_3=6\\ 2x_1+3x_2-4x_3=18\\3x_1-2x_2+5x_3=6\end{array}\right.$$

 

3.242. Методом Гаусса исследовать совместность и найти общее решение следующей системы:

$$\left\{\begin{array}{lcl}105x_1-175x_2-315x_3+245x_4=84\\ 90x_1-150x_2-270x_3+210x_4=72\\75x_1-125x_2-225x_3+175x_4=59\end{array}\right.$$

Ответ: Система несовместна.

 

3.243. Методом Жордана-Гаусса исследовать совместность и найти общее решение следующей системы:

$$\left\{\begin{array}{lcl}8x_1+12x_2=20\\ 14x_1+21x_2=35\\9x_3+11x_4=0\\16x_3+20x_4=0\\10x_3+12x_6=22\\15x_5+18x_6=33\end{array}\right.$$

Ответ: $x_1=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}c_1; x_2=c_1; x_3=0; x_4=0; x_5=\frac{11}{5}-\frac{6}{5}c_2; x_6=c_2.$

 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить