Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Пусть задана система $m$ линейных уравнений с $n$ неизвестными общего вида
$$\left\{\begin{array}{lcl}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\...............................\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\end{array}\right.\qquad (1)$$
Прямой ход метода Гаусса:
С помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов, расширенная матрица системы (1) может быть приведена к виду
$A=\begin{pmatrix}a_{11}'&a_{12}'&...&a_{1r}'&a_{1,r+1}'&...&a_{1n}'\\0&a_{22}'&...&a_{2r}'&a_{2,r+1}'&...&a_{2n}'\\...&...&...&...&...&...&...\\0&0&...&a_{rr}'&a_{r,r+1}'&...&a_{rn}'\\0&0&0&0&0&0&0\\...&...&...&...&...&...&...\\0&0&...&0&0&...&0\end{pmatrix};\qquad(2).$
Матрица (2) является расширенной матрицей системы
$$\left\{\begin{array}{lcl}a_{11}'x_1+a_{12}'x_2+...+a_{1r}'x_r+a_{1,r+1}'x_{r+1}+...+a_{1n}'x_n=b_1'\\ \qquad\qquad a_{22}'x_2+...+a_{2r}'x_r+a_{2,r+1}'x_{r+1}+...+a_{2n}'x_n=b_2'\\\qquad\qquad\qquad..............................\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\,\, a_{rr}'x_r+a_{r,r+1}'x_{r+1}+...+a_{rn}'x_n=b_r'\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0=b_{r+1}'\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad0=b_{r+2}'\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad........\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0=b_m'\end{array}\right.\qquad (3)$$
которая эквивалентна исходной системе.
Обратный ход метода Гаусса:
Если хотя бы одно из чисел $b'_{r+1}, ..., b'_m$ отлично от нуля, то системы (3) и, следовательно, и исходная система (1) несовместны. Если же $b'_{r+1}=...=b'_m=0,$ то система совместна и из формул (3) можно выразить базисные неизвестные через свободные неизвестные $x_{r+1},...,x_n.$
Примеры:
Методом Гаусса исследовать совместность и найти общее решение следующих систем:
3.240.
$$\left\{\begin{array}{lcl}x_1+2x_2+3x_3+4x_4=0\\7x_1+14x_2+20x_3+27x_4=0\\ 5x_1+10x_2+16x_3+19x_4=-2\\3x_1+5x_2+6x_3+13x_4=5\end{array}\right.$$
Решение.
Запишем расширенную матрицу:
$\begin{pmatrix}1&2&3&4&|&0\\7&14&20&27&|&0\\5&10&16&19&|&-2\\3&5&6&13&|&5\end{pmatrix}.$
Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы получаем:
$\begin{pmatrix}1&2&3&4&|&0\\7&14&20&27&|&0\\5&10&16&19&|&-2\\3&5&6&13&|&5\end{pmatrix}\sim (I\times3)$ $\begin{pmatrix}3&6&9&12&|&0\\7&14&20&27&|&0\\5&10&16&19&|&-2\\3&5&6&13&|&5\end{pmatrix}\sim (IV-I)$ $\begin{pmatrix}3&6&9&12&|&0\\7&14&20&27&|&0\\5&10&16&19&|&-2\\0&-1&-3&1&|&5\end{pmatrix}\sim(I\times\frac{5}{3})$ $\begin{pmatrix}5&10&15&20&|&0\\7&14&20&27&|&0\\5&10&16&19&|&-2\\0&-1&-3&1&|&5\end{pmatrix}\sim(III-I;I:5)$ $\begin{pmatrix}1&2&3&4&|&0\\7&14&20&27&|&0\\0&0&1&-1&|&-2\\0&-1&-3&1&|&5\end{pmatrix}\sim(I\times 7)$ $\begin{pmatrix}7&14&21&28&|&0\\7&14&20&27&|&0\\0&0&1&-1&|&-2\\0&-1&-3&1&|&5\end{pmatrix}\sim(II-I;I: 7)$
$\begin{pmatrix}1&2&3&4&|&0\\0&0&-1&-1&|&0\\0&0&1&-1&|&-2\\0&-1&-3&1&|&5\end{pmatrix}\sim(III+II;II: -1)$ $\begin{pmatrix}1&2&3&4&|&0\\0&0&1&1&|&0\\0&0&0&-2&|&-2\\0&-1&-3&1&|&5\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}1&2&3&4&|&0\\0&-1&-3&1&|&5\\0&0&1&1&|&0\\0&0&0&-2&|&-2\end{pmatrix}.$
Система совместна.
Обратный ход метода Гаусса:
$-2x_4=-2\Rightarrow x_4=1;$
$x_3+x_4=0\Rightarrow x_3=-x_4=-1;$
$-x_2-3x_3+x_4=5\Rightarrow x_2=-3x_3+x_4-5=3+1-5=-1$
$x_1+2x_2+3x_3+4x_4=0\Rightarrow x_1=-2x_2-3x_3-4x_4=2+3-4=1.$
Ответ: $x_1=1; x_2=-1; x_3=-1;x_4=1.$
{jumi[*4]}
3.241.
$$\left\{\begin{array}{lcl}x_1+x_2=1\\ x_1+x_2+x_3=4\\x_2+x_3+x_4=-3\\x_3+x_4+x_5=2\\x_4+x_5=-1\end{array}\right.$$
Решение.
Запишем расширенную матрицу:
$\begin{pmatrix}1&1&0&0&0&|&1\\1&1&1&0&0&|&4\\0&1&1&1&0&|&-3\\0&0&1&1&1&|&2\\0&0&0&1&1&|&-1\end{pmatrix}.$
Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы получаем:
$\begin{pmatrix}1&1&0&0&0&|&1\\1&1&1&0&0&|&4\\0&1&1&1&0&|&-3\\0&0&1&1&1&|&2\\0&0&0&1&1&|&-1\end{pmatrix}\sim(II-I)$
$\begin{pmatrix}1&1&0&0&0&|&1\\0&0&1&0&0&|&3\\0&1&1&1&0&|&-3\\0&0&1&1&1&|&2\\0&0&0&1&1&|&-1\end{pmatrix}\sim(IV-II-V)$
$\begin{pmatrix}1&1&0&0&0&|&1\\0&0&1&0&0&|&3\\0&1&1&1&0&|&-3\\0&0&0&0&0&|&0\\0&0&0&1&1&|&-1\end{pmatrix}\sim$
$\begin{pmatrix}1&1&0&0&0&|&1\\0&1&1&1&0&|&-3\\0&0&1&0&0&|&3\\0&0&0&1&1&|&-1\\0&0&0&0&0&|&0\end{pmatrix}.$
Система совместна.
Обратный ход метода Гаусса:
$x_5=c;$
$x_4+x_5=-1 \Rightarrow x_4=-1-x_5=-1-c;$
$x_3=3$
$x_2+x_3+x_4=-3\Rightarrow x_2=-3-x_3-x_4=-3-3+1+c=-5+c.$
$x_1+x_2=1\Rightarrow x_1=1-x_2=1+5-c=6-c$
Ответ: $x_1=6-c; x_2=-5+c; x_3=3; x_4=1-c; x_5=c.$
- Назад
- Вперёд >>