Рейтинг:   / 16
ПлохоОтлично 

Матрицы. Действия с матрицами.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Матрицей размера $m\times n$ называется прямоугольная таблица из чисел $a_{ij},\, i=1, 2, ...,m,$ $j=1, 2, ..., n$,

$$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{pmatrix}$$

состоящая из $m$ строк и $n$ столбцов.

 Суммой $A+B$ матриц размера $m\times n$ $A=\{a_{ij}\}$ и $B=\{b_{ij}\}$ называется матрица $C=\{c_{ij}\}$ того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц $A$ и $B:$

$$A+B=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&...&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&...&b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{m1}&b_{m2}&...&b_{mn}\end{pmatrix}=$$

$$=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&...&a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&...&a_{2n}+b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&...&a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}$$

 

Произведением $\alpha A$ матрицы $A=\{a_{ij}\}$ на число $\alpha$ (действительное или комплексное) называется матрица $B=\{b_{ij}\}$, каждый элемент которой равен произведению числа $\alpha$ на соответствующий элемент матрицы $A:$

$$\alpha A=\alpha\left(\begin{array}{} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{}\alpha a_{11}&\alpha a_{12}&...&\alpha a_{1n}\\ \alpha a_{21}&\alpha a_{22}&...&\alpha a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha a_{m1}&\alpha a_{m2}&...&\alpha a_{mn} \end{array}\right). $$

Произведением $AB$ матрицы $A=\{a_{ij}\}$ размера $m\times n$, на матрицу $B=\{b_{ij}\}$ размера $n\times k$ называется матрица $C=\{c_{ij}\}$ размера $m\times k,$ элемент которой, стоящий в $i$-й строке и $j$-м столбце равен сумме произведений соответствующих элементов $i$-й строки матрицы $A$ и $j$-го столбца матрицы $B:$

$$A\times B=\left(\begin{array}{}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{}b_{11}&b_{12}&...&b_{1k}\\ b_{21}&b_{22}&...&b_{2k}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ b_{n1}&b_{n2}&...&b_{nk}\end{array}\right)=$$  $$=\left(\begin{array}{}\sum\limits_{\nu=1}^na_{1\nu}b_{\nu 1}&\sum\limits_{\nu=1}^na_{1\nu}b_{\nu 2}&...&\sum\limits_{\nu=1}^na_{1\nu}b_{\nu k}\\ \sum\limits_{\nu=1}^na_{2\nu}b_{\nu 1}&\sum\limits_{\nu=1}^na_{2\nu}b_{\nu 2}&...&\sum\limits_{\nu=1}^na_{2\nu}b_{\nu k}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \sum\limits_{\nu=1}^na_{m\nu}b_{\nu 1}&\sum\limits_{\nu=1}^n a_{m\nu}b_{\nu 2}&...&\sum\limits_{\nu=1}^na_{m\nu}b_{\nu k} \end{array}\right)=C. $$

Матрица $A^T$ называется транспонированной к матрице $A,$ если выполняется условие $a_{ij}^T=a_{ji}$ для всех $i, j$, где $a_{ij},$ $a_{ij}^T$-- элементы матриц $A$ и $A^T$ соответственно:

 

$$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{pmatrix}\Rightarrow A^T=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&...&a_{m1}\\a_{12}&a_{22}&...&a_{m2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{1n}&a_{2n}&...&a_{mn}\end{pmatrix}$$

 

ПРИМЕРЫ.

1. Дано 

$$A=\begin{pmatrix} {} 2&1&3\\5&3&-6\\-1&2&4\end{pmatrix}; \quad B=\begin{pmatrix} {} 6&-3&2\\4&-2&5\\ 3&2&7\end{pmatrix}. $$

Вычислить

а) $A+B;$

б) $3A;$

в) $AB;$

г) $A^T.$

Решение.

а) $$A+B=\begin{pmatrix} {} 2&1&3\\5&3&-6\\-1&2&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} {} 6&-3&2\\4&-2&5\\ 3&2&7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{}2+6&1-3&3+2\\5+4&3-2&-6+5\\-1+3&2+2&4+7\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} {} 8&-2&5\\9&1&-1\\2&4&11\end{pmatrix}.$$

   

б) $$3A=3\begin{pmatrix}{}2&1&3\\5&3&-6\\-1&2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{} 3\cdot2&3\cdot1&3\cdot3\\3\cdot5&3\cdot3&3\cdot(-6)\\3\cdot(-1)&3\cdot2&3\cdot4\end{pmatrix}=$$ $$=\begin{pmatrix} {} 6&3&9\\15&9&-18\\-3&6&12\end{pmatrix}. $$

  

в) $$AB=\begin{pmatrix} {} 2&1&3\\5&3&-6\\-1&2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} {} 6&-3&2\\4&-2&5\\ 3&2&7\end{pmatrix}=$$ $$\begin{pmatrix}{}2\cdot6+1\cdot4+3\cdot3&2\cdot(-3)+1\cdot(-2)+3\cdot2&2\cdot2+1\cdot5+3\cdot7\\5\cdot6+3\cdot4-6\cdot3&5\cdot(-3)+3\cdot(-2)-6\cdot2&5\cdot2+3\cdot5-6\cdot7\\-1\cdot6+2\cdot4+4\cdot3&-1\cdot(-3)+2\cdot(-2)+4\cdot2&-1\cdot2+2\cdot5+4\cdot7\end{pmatrix}=$$ $$=\begin{pmatrix} {} 25&-2&30\\24&-33&-17\\14&7&36\end{pmatrix}.$$

 

г) $$A^T=\begin{pmatrix} {} 2&5&-1\\1&3&2\\3&-6&4\end{pmatrix}.$$

Комментарии   

 
+1 #2 admin 05.10.2012 09:20
Цитирую Виктор:
Ребят, у вас в примере в) явно ошибка в вычислениях, проверьте внимательно еще раз пожалуйста. Особенно для (1,1) - тут арифметическая ошибка и всего третьего столбца(тут ошибка другого сорта ;-) ).

Спасибо большое за замечание! Исправили!
Цитировать
 
 
+3 #1 Виктор 04.10.2012 20:10
Ребят, у вас в примере в) явно ошибка в вычислениях, проверьте внимательно еще раз пожалуйста. Особенно для (1,1) - тут арифметическая ошибка и всего третьего столбца(тут ошибка другого сорта ;-) ).
Цитировать
 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить