Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Тригонометрическая форма комплексного числа:
Для всякого комплексного числа $z=x+iy$ справедливо равенство $$z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi).\qquad\qquad\qquad (1)$$ Здесь $|z|=\sqrt{x^2+y^2},$ a $\varphi$ удовлетворяет условиям: $$\cos\varphi=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\qquad \sin\varphi=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},\qquad \varphi\in[0, 2\pi).$$
Равенство (1) называют тригонометрической формой комплексного числа $z.$
Примеры:
Следующие комплексные числа представить в тригонометрической форме и изобразить точками на комплексной плоскости:
1.435. $-i$
Решение.
Пусть $z=x+iy=-i,$ то есть $x=0,\,\, y=-1.$ Тогда $$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt 1=1.$$
$$\cos\varphi=\frac{0}{1}=0,\qquad \sin\varphi=\frac{-1}{1}=-1\Rightarrow \varphi=\frac{3\pi}{2}.$$
Таким образом, $z=\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}.$
Ответ: $\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}.$
1.438. $\frac{1-i}{1+i}.$
Решение.
Запишем число $z=\frac{1-i}{1+i}$ в алгебраической форме:
$$\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-2i+i^2}{1-i^2}=\frac{1-2i-1}{1+1}=\frac{-2i}{2}=-i.$$
Тригонометрическая форма числа $-i$ найдена в предыдущемпримере (1.435):
$z=-i=\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}.$
Ответ: $\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}.$
1.441. $1+\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7}.$
Решение.
Пусть $z=x+iy=1+\cos\frac{\pi}{7}+i\sin{\pi}{7},$ то есть $x=1+\cos\frac{\pi}{7},\,\, y=\sin{\pi}{7}.$ Тогда $$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt {\left(1+\cos\frac{\pi}{7}\right)^2+\sin^2\frac{\pi}{7}}=$$ $$=\sqrt{1+2\cos\frac{\pi}{7}+\cos^2\frac{\pi}{7}+\sin^2\frac{\pi}{7}}=\sqrt{2+2\cos\frac{\pi}{7}}=$$ $$=\sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{14}}=2\cos\frac{\pi}{14}.$$
$$\cos\varphi=\frac{x}{|z|}=\frac{1+\cos\frac{\pi}{7}}{2\cos\frac{\pi}{14}}=\frac{2\cos^2\frac{\pi}{14}}{2\cos\frac{\pi}{14}}=\cos\frac{\pi}{14}.$$
$$\sin\varphi=\frac{y}{|z|}=\frac{sin\frac{\pi}{7}}{2\cos\frac{\pi}{14}}=\frac{2\cos\frac{\pi}{14}\sin\frac{\pi}{14}}{2\cos\frac{\pi}{14}}=\sin\frac{\pi}{14}.$$
Таким образом, $\varphi=\frac{\pi}{14}.$
Отсюда находим показательную форму комплексного числа $z=x+iy=1+\cos\frac{\pi}{7}+i\sin{\pi}{7}:$
$$z=2\cos\frac{\pi}{14}\left(\cos\frac{\pi}{14}+i\sin\frac{\pi}{14}\right).$$
Ответ: $2\cos\frac{\pi}{14}\left(\cos\frac{\pi}{14}+i\sin\frac{\pi}{14}\right).$
Показательная форма комплексного числа:
Символом $e^{i\varphi}$ обозначается комплексное число $\cos\varphi+i\sin\varphi.$ С помощью этого обозначения всякое комплексное число $z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ может быть представлено в показательной форме $$z=|z|e^{i\varphi}.$$
Примеры.
Представить в показательной форме следующие комплексные числа:
1.475. $\frac{7+24i}{5}.$
Решение.
Приведем число $z=\frac{7+24i}{5}$ к алгебраическому виду:
$$z=x+iy=\frac{7+24i}{5}=\frac{7}{5}+\frac{24}{5}i.$$
$$|z|=\sqrt{\left(\frac{7}{5}\right)^2+\left(\frac{24}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{49+576}{25}}=\sqrt{\frac{625}{25}}=\sqrt{25}=5.$$
$$tg\varphi=\frac{y}{x}=\frac{\frac{24}{5}}{\frac{7}{5}}=\frac{24}{7}.$$ Поскольку число $z$ принадлежит первой четверти, то $\varphi=arctg\frac{24}{7}.$
Таким образом, $z=5e^{i arctg\frac{24}{7}}.$
Ответ: $z=5e^{i arctg\frac{24}{7}}.$
1.479. $\sin\alpha-i\cos\alpha.$
Решение.
$$z=x+iy=\sin\alpha-i\cos\alpha\Rightarrow \,\,x=\sin\alpha,\,\,y=-cos\alpha.$$
$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=1.$$
$$tg\varphi=\frac{y}{x}=\frac{-\cos\alpha}{\sin\alpha}=-ctg\alpha=tg(\alpha+\frac{\pi}{2})=tg(\alpha+\frac{3\pi}{2}).$$
Кроме этого должны выполняться условия
$$\cos\varphi=\frac{x}{|z|}=\sin\alpha;\qquad \sin\varphi=\frac{y}{|z|}=\cos\alpha.$$
Отсюда находим
$$\varphi=\alpha+\frac{3\pi}{2}.$$
Таким образом, $$z=\sin\alpha-i\cos\alpha=e^{i\left(\alpha+\frac{3\pi}{2}\right)}.$$
Ответ: $e^{i\left(\alpha+\frac{3\pi}{2}\right)}.$
1.482 (а). Данные числа $z_1$ и $z_2$ представить в показательной форме и выполнить указанные действия над ними:
$z_1z_2;$ $\frac{z^2_1}{z_2},$ если $z_1=2\sqrt 3-2i,$ $z_2=3-3\sqrt 3i.$
Решение.
Запишем числа $z_1$ и $z_2$ в показательной форме:
$$|z_1|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(2\sqrt 3)^2+(-2)^2}=\sqrt{16}=4.$$
$$tg\varphi=\frac{y}{x}=\frac{-2}{2\sqrt 3}=-\frac{1}{\sqrt 3}.$$
Поскольку число $z_1$ принадлежит четвертой четверти, то $\varphi_1=arctg{-\frac{1}{\sqrt 3}}=-\frac{\pi}{6}.$
Отсюда $$z_1=4e^{-i\frac{\pi}{6}}.$$
$$|z_2|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{3^2+(-3\sqrt 3)^2}=\sqrt{36}=6.$$
$$tg\varphi=\frac{y}{x}=\frac{-3\sqrt 3}{3}=-\sqrt 3.$$
Поскольку число $z_2$ принадлежит четвертой четверти, то $\varphi_2=arctg{\sqrt 3}=-\frac{\pi}{3}.$
Отсюда $$z_2=6e^{-i\frac{\pi}{3}}.$$
Далее находим $z_1z_2$ и $\frac{z^2_1}{z_2}:$
$$z_1z_2=4e^{-i\frac{\pi}{6}}6e^{-\frac{\pi}{3}}=24e^{i\left(\frac{-\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\right)}=24e^{-i\frac{\pi}{2}}=$$
$$=24\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=24(0-1)=-24.$$
$$\frac{z^2_1}{z_2}=\frac{(4e^{-i\frac{\pi}{6}})^2}{6e^{-\frac{\pi}{3}}}=\frac{16}{6}e^{i\left(\frac{-2\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{8}{3}e^{i\cdot 0}=\frac{8}{3}.$$
Ответ: $-24, \frac{8}{3}.$
Домашнее задание.
Следующие комплексные числа представить в тригонометрической форме и изобразить точками на комплексной плоскости:
1.436. $1-i\sqrt 3.$
Ответ: $2\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right).$
1.437. $-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}.$
Ответ: $\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}.$
1.440. $\sin\frac{\pi}{3}+i\cos\frac{\pi}{3}.$
Ответ: $\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}.$
Представить в показательной форме следующие комплексные числа:
1.476. $5-12i.$
Ответ: $13e^{-i arctg\left(-\frac{12}{5}\right)}.$
1.477. $-3-4i.$
Ответ: $5e^{i arctg\left(\frac{4}{3}+\pi\right)}.$
1.479.$\sin\alpha-i\cos\alpha.$
Ответ: $e^{i \left(\alpha+\frac{3\pi}{2}\right)}.$
1.480. $\sin\alpha+i(1-\cos\alpha).$
Ответ: $2\sin\frac{\pi}{2}e^{i \frac{\alpha}{2}}.$
1.482 (б). Данные числа $z_1$ и $z_2$ представить в показательной форме и выполнить указанные действия над ними:
$z^2_1\overline z_2;$ $\frac{\overline z_2}{z_1},$ если $z_1=-\sqrt 3+i\sqrt 2,$ $z_2=\sqrt 8-\sqrt 8.$
Ответ: $16e^{i\frac{7\pi}{4}}; 2e^{-i\frac{\pi}{2}}.$