Ограниченность числовых множеств, их точные границы. Предельные точки числовых множеств.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Пусть $X -$ произвольное непустое множество действительных чисел. Число $M=\max X$ называется наибольшим (максимальным) элементом множества $X,$ если $M\in X$ и для всякого $x\in X$ выполняется неравенство $x\leq M$. Аналогично определяется понятие наименьшего (минимального) элемента $m=\min X$ множества $X.$

Множество $X$ называется ограниченным сверху, если существует действительное число $a$ такое, что $x\leq a$ для всех $x\in X.$ Всякое число, обладающее этим свойством, называется верхней гранью множества $X.$ Для заданного ограниченного сверху множества $X$ множество всех его верхних граней имеет наименьший элемент, который называется точной верхней гранью множества $X$ и обозначается символом $\sup X.$ Очевидно $\sup X=\max X$ тогда и только тогда когда $\sup X\in X.$

Аналогично определяются понятия ограниченного снизу множества, нижней грани и точной нижней грани множества $X.$ Последняя обозначается символом $\inf X.$

Множество $X,$ ограниченное снизу и сверху, называется ограниченным.

Пусть $x\subset R.$ Число $x_0\in R$ называется предельной точкой множества X, если любая окрестность точки $x_0$ содержит точку из множества $X,$ отличную от $x_0,$ то есть для $$\forall\varepsilon>0\,\,\exists y\in X, y\neq x_0: |y-x_0|<\varepsilon.$$

Сама точка $x_0$ может принадлежать, а может и не принадлежать множеству $X$.

Примеры.

1.73. Пусть $X=\left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{n}\right\}.$ 

а) Указать наименьший и наибольший элементы этого множества, если они существуют.

б) Каковы множества верхних и нижних граней для множества $X.$ Найти $\sup X$ и $\inf X.$

Решение.

а) Данное множество имеет наибольший элемент $M=1$ поскольку для всех элементов множества $x\in X $ выполняется неравенство $x\leq 1$ и при этом $1\in X.$

Наименьшего элемента заданное множество не имеет, так как для любого элемента $x_n=\frac{1}{n}\in X$ всегда найдется элемент $x_{n+1}=\frac{1}{n+1}\in X$ для которого выполняется неравенство  $x_{n+1}\leq x_n.$

б) Поскольку для всех элементов $x$ множества $X$ выполняется неравенство $x\leq 1,$ причем $1\in X,$ то множество верхних граней для множества $X$ это множество $[1, +\infty)$ c наименьшим элементом равным $1.$ Таким образом, $\sup X=1.$

Наименьшего элемента множества $X$ не существует. Очевидно, что для всех элементов $x$ множества $X$ выполняется $x\geq 0, $ то есть множество $X$ ограничено снизу. Покажем, что $0$ является предельным значением множества $X.$ Действительно, для любого $\varepsilon>0$ можно найти натуральное число $$n>\frac{1}{\varepsilon}\,\,\Rightarrow\,\,\frac{1}{n}<\varepsilon,\quad\frac{1}{n}\in X.$$ Таким образом, множество нижних граней для $X$ это множество $(-\infty, 0]$ c наибольшим элементом равным $0.$ Отсюда находим $\inf X=0.$

Ответ: $M=1,$ наименьшего элемента не существует, $[1, +\infty),$ $(-\infty, 0],$ $\sup X=1,$ $\inf X=0.$

1.74. Для множества $X=\left\{x\in R|\,\, x=\frac{1}{2^n},\,\, n\in N\right\}$ найти $\max X, \,\, \min X,$ $\sup X$ и $\inf X$ если они существуют.

Решение.

Запишем множество $X$ в виде 

$$X=\left\{x\in R|\,\, x=\frac{1}{2^n},\,\, n\in N\right\}=\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, .., \frac{1}{2^n},...\right\}$$ 

Данное множество имеет наибольший элемент $M=\frac{1}{2}$ поскольку для всех элементов множества $x\in X $ выполняется неравенство $x\leq \frac{1}{2}.$ При этом $\frac{1}{2}\in X.$

Наименьшего элемента заданное множество не имеет, так как для любого элемента $x_n=\frac{1}{2^n}\in X$ всегда найдется элемент $x_{n+1}=\frac{1}{2^{n+1}}\in X$ для которого выполняется неравенство  $x_{n+1}\leq x_n.$

Поскольку для всех элементов $x$ множества $X$ выполняется неравенство $x\leq \frac{1}{2},$ причем $\frac{1}{2}\in X,$ то множество верхних граней для множества $X$ это множество $\left[\frac{1}{2}, +\infty\right)$ c наименьшим элементом равным $\frac{1}{2}.$ Таким образом, $\sup X=\frac{1}{2}.$

Наименьшего элемента множества $X$ не существует. Очевидно, что для всех элементов $x$ множества $X$ выполняется $x\geq 0, $ то есть множество $X$ ограничено снизу. Покажем, что $0$ является предельным значением множества $X.$ Действительно, для любого $\varepsilon>0$ можно найти натуральное число $$n>\log_2\frac{1}{\varepsilon}\,\,\Rightarrow 2^n>\frac{1}{\varepsilon}\Rightarrow\,\,\frac{1}{2^n}<\varepsilon,\quad\frac{1}{2^n}\in X.$$Таким образом, множество нижних граней для $X$ это множество $(-\infty, 0]$ c наибольшим элементом равным $0.$ Отсюда находим $\inf X=0.$

Ответ: $M=\frac{1}{2},$ наименьшего элемента не существует $\sup X=\frac{1}{2},$ $\inf X=0.$

1.80. Пусть $X\subset R -$ произвольное ограниченное множество. Доказать, что множество $-X=\{x|\,\, -x\in X\}$ так же ограничено и справедливы равенства $$\sup (-X)=-\inf X,\qquad \inf (-X)=-\sup X.$$

Доказательство.

Так как множество $X$ ограничено, то оно ограничено сверху и снизу, а значит существуют соответственно, числа $a$ и $b$ такие, что $\forall x\in X, \,\,  a\leq x\leq b. $ Отсюда, решая неравенство видно, что для элементов $-x$ верно неравенство $-b\leq -x\leq -a.$ То есть множество $-X=\{x|\,\, -x\in X\}$ также является ограниченным.

Пусть $a=\inf X.$ Тогда из неравенства $-x\leq -a$ получаем $-x\leq -\inf X.$

Если $a\in X,$ то $-a\in -X.$ В этом случае очевидно, что $$-a=\sup(-X)\Rightarrow \sup(-X)=-\inf X.$$

Если $a\notin X,$ то $-a\notin -X.$ Покажем, что $-a$ это наименьшй элемент принадлежащий множеству верхних граней. Действительно, пусть существует элемент $c\neq a, \,\,-c\notin -X,$ такой что для всех $-x\in -X$ $-x\leq -c\leq -a.$ Тогда $c\notin X$ и віполняется неравенство $a\leq c\leq x.$ Следовательно, $a\neq \inf X.$ Получили противоречие. Таким образом, $$-a=\sup(-X)\Rightarrow \sup(-X)=-\inf X.$$

Аналогично доказывается, что $\inf (-X)=-\sup X.$

Что и требовалось доказать.

Домашнее задание.

1.75. Для множества $X=[-1, \, 1]$ найти $\max X, \,\, \min X,$ $\sup X$ и $\inf X$ если они существуют.

Ответ: $1,\, -1,\, 1,\, -1.$ 

1.76. Для множества $X=\left\{x\in Z|\,\, -5\leq x <0\right\}$ найти $\max X, \,\, \min X,$ $\sup X$ и $\inf X$ если они существуют.

Ответ: Не существует, $-5,\, 0,\, -5.$

1.81. Пусть $X,\,\, Y\subset R -$ произвольные ограниченные сверху множества. Доказать, что множество $X+Y=\{z\in R|\,\, z=x+y,|\,\, x\in X,\, y\in Y\}$ ограничено сверху и справедливы равенства $$\sup (X+Y)=\sup X+\sup Y.$$